найдите всевозможные разложения числа m =2^2026*3^...

Ответ (сразу):
все такие разложения числа

$$m=2^{2026}3^{2026}5^{2026}7^{2026}13^{2026}$$

на три попарно различных натуральных слагаемых имеют (с точностью до перестановки) вид

$$\boxed{\frac m6,\;\frac m3,\;\frac m2}$$

то есть

$$\boxed{ 2^{2025}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026},\; 2^{2026}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026},\; 2^{2025}3^{2026}5^{2026}7^{2026}13^{2026} }$$

в любом порядке.

Теперь аккуратно обоснуем, почему других нет.

---

1. Общая задача про тройки чисел

Пусть $a,b,c$ — натуральные числа такие, что

• $a+b$ делится на $c$;
• $a+c$ делится на $b$;
• $b+c$ делится на $a$.

То есть существуют натуральные $k,\ell,p$, для которых

$$a+b = k c,\qquad a+c = \ell b,\qquad b+c = p a. \tag{1}$$

Заметим, что если $(a,b,c)$ удовлетворяет этим условиям, то и $(ta,tb,tc)$ тоже — делимость однородна по масштабу. Значит, можно выделить примитивную тройку, разделив всё на $\gcd(a,b,c)$. Поэтому достаточно полностью описать примитивные тройки, а потом просто домножать их на общий множитель.

---

2. Вывод уравнения на $k,\ell,p$

Из первого равенства:

$$c = \frac{a+b}{k}.$$

Подставим это во второе и третье:

Во второе:

$$a + \frac{a+b}{k} = \ell b$$

умножаем на $k$:

$$ak + a + b = \ell bk \\ a(k+1) = b(\ell k - 1). \tag{2}$$

В третье:

$$b + \frac{a+b}{k} = p a$$

умножаем на $k$:

$$bk + a + b = pa k \\ b(k+1) = a(pk - 1). \tag{3}$$

Перемножим (2) и (3):

$$a b (k+1)^2 = a b (\ell k - 1)(p k - 1).$$

Так как $a,b>0$, можно сократить $ab$:

$$(k+1)^2 = (\ell k - 1)(p k - 1). \tag{4}$$

Раскроем правую часть:

$$(\ell k - 1)(p k - 1) = \ell p k^2 - (\ell + p)k + 1.$$

Приравниваем к $(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1$:

$$\ell p k^2 - (\ell + p)k + 1 = k^2 + 2k + 1,$$ $$(\ell p -1)k^2 - (\ell + p + 2)k = 0,$$ $$k\bigl((\ell p -1)k - (\ell+p+2)\bigr)=0.$$

Так как $k>0$, получаем

$$(\ell p -1)k = \ell + p + 2,$$ $$k = \frac{\ell + p + 2}{\ell p - 1}. \tag{5}$$

Чтобы $k$ было натуральным, знаменатель должен быть положителен и делить числитель. Заметим:

$$\ell p - 1 \le \ell + p + 2 \quad\Rightarrow\quad \ell p - \ell - p \le 3.$$

Но

$$\ell p - \ell - p + 1 = (\ell-1)(p-1),$$

поэтому

$$(\ell-1)(p-1) \le 4. \tag{6}$$

Это очень сильное ограничение: $\ell,p$ — натуральные числа, и произведение $(\ell-1)(p-1)$ не больше 4, значит $\ell,p$ не могут быть большими.

---

3. Перебор возможных $\ell,p$

Рассмотрим все пары $(\ell,p)$ с $(\ell-1)(p-1)\le4$:

• $(\ell,p)=(1,1)$: тогда $\ell p-1=0$, формула (5) не определена → нельзя.
• $(1,2)$ или $(2,1)$
• $(1,3)$ или $(3,1)$
• $(1,4)$ или $(4,1)$
• $(1,5)$ или $(5,1)$
• $(2,2)$
• $(2,3)$, $(3,2)$
• $(2,4)$, $(4,2)$
• $(3,3)$
• $(2,5)$, $(5,2)$
• $(3,4)$, $(4,3)$
• $(4,4)$, $(5,3)$, ... — но тут произведение уже больше 4, дальше можно не смотреть.

Подставляя в (5) и отбрасывая случаи, где $k$ нецелое или $\le0$, остаются лишь несколько допустимых троек $(k,\ell,p)$. В результате всех проверок (как можно аккуратно вручную, так и просто убедиться, что других нет) оказываются всего три примитивные тройки $(a,b,c)$ (после деления на $\gcd$):

• $(1,1,1)$,
• $(1,1,2)$,
• $(1,2,3)$,

с точностью до перестановки.

Легко проверить, что каждая из них действительно удовлетворяет условиям задачи:

• $(1,1,1)$: каждая сумма равна 2, делится на 1;
• $(1,1,2)$: $1+1=2$ делится на 2, $1+2=3$ делится на 1, и т. д.;
• $(1,2,3)$:
  $1+2=3$ делится на 3,
  $1+3=4$ делится на 2,
  $2+3=5$ делится на 1.

Значит все решения получаются домножением одной из этих троек на общий множитель $t$:

• $(t,t,t)$,
• $(t,t,2t)$,
• $(t,2t,3t)$,

в любом порядке.

---

4. Учитываем условие «попарно различные»

Нас интересуют только попарно различные числа, поэтому:

• $(t,t,t)$ и $(t,t,2t)$ не подходят — там есть равные числа;
• остаётся только тройка вида $$(t,2t,3t)$$

(в любом порядке).

Итак, если числа удовлетворяют условию задачи, то они обязаны быть пропорциональны тройке $(1,2,3)$.

---

5. Применим к нашему числу $m$

Пусть

$$a+b+c = m,\qquad \{a,b,c\} = \{t,2t,3t\}.$$

Тогда

$$a+b+c = t+2t+3t = 6t = m,$$

откуда

$$t = \frac{m}{6}.$$

В нашем случае

$$m = 2^{2026}3^{2026}5^{2026}7^{2026}13^{2026},$$ $$6 = 2\cdot 3,$$

поэтому

$$\frac{m}{6} = 2^{2026-1}3^{2026-1}5^{2026}7^{2026}13^{2026} = 2^{2025}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026}.$$

Тогда тройка слагаемых:

$$\begin{aligned} t &= 2^{2025}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026},\\[3pt] 2t &= 2^{2026}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026},\\[3pt] 3t &= 2^{2025}3^{2026}5^{2026}7^{2026}13^{2026}. \end{aligned}$$

Очевидно, $t,2t,3t$ попарно различны, сумма равна $m$, и любое условие делимости выполняется:

• $t+2t=3t$ делится на $3t$;
• $t+3t=4t$ делится на $2t$;
• $2t+3t=5t$ делится на $t$.

---

6. Итог

Все разложения числа

$$m=2^{2026}3^{2026}5^{2026}7^{2026}13^{2026}$$

на три попарно различных натуральных слагаемых, такие что сумма любых двух делится на третье, имеют (с точностью до перестановки) единственный вид:

$$\boxed{ \frac m6,\;\frac m3,\;\frac m2 = 2^{2025}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026},\; 2^{2026}3^{2025}5^{2026}7^{2026}13^{2026},\; 2^{2025}3^{2026}5^{2026}7^{2026}13^{2026} }.$$