logoChat01.ai

Все десять цифр разбили на пары и в каждой вычисли...

Créé le : 5 novembre 2025

Répondu en utilisant GPT-5 Thinking par Chat01

Question

Все десять цифр разбили на пары и в каждой вычислили разность (вычитая из большей цифры меньшую). Какой наибольшей степени двойки может равняться произведение всех этихразностей?

Python

python
import itertools, functools

digits = list(range(10))

# Precompute allowed edges and weights (v2 of difference)
def v2(n):
    if n==0: return 0
    c=0
    while n%2==0:
        n//=2
        c+=1
    return c

allowed = {}
edges = []
for i in range(10):
    for j in range(i+1,10):
        d = j-i
        if d in (1,2,4,8):
            allowed[(i,j)] = v2(d)
            edges.append((i,j,v2(d)))
len(edges), edges[:10]

(25,
 [(0, 1, 0),
  (0, 2, 1),
  (0, 4, 2),
  (0, 8, 3),
  (1, 2, 0),
  (1, 3, 1),
  (1, 5, 2),
  (1, 9, 3),
  (2, 3, 0),
  (2, 4, 1)])

Python

python
from functools import lru_cache

edges_dict = {}
for (i,j),w in allowed.items():
    edges_dict.setdefault(i, []).append((j,w))
    edges_dict.setdefault(j, []).append((i,w))

@lru_cache(None)
def best(mask):
    # mask for used digits
    if mask == (1<<10)-1:
        return 0, ()
    # find first unused
    for i in range(10):
        if not (mask>>i)&1:
            first = i
            break
    best_val=-1
    best_pairing=None
    for (j,w) in edges_dict.get(first, []):
        if not (mask>>j)&1:
            val, pairing = best(mask | (1<<first)|(1<<j))
            if val!=-1 and val + w > best_val:
                best_val = val + w
                best_pairing = ((first,j,w),) + pairing
    return best_val, best_pairing

best_val, pairing = best(0)
best_val, pairing

(10, ((0, 8, 3), (1, 9, 3), (2, 6, 2), (3, 7, 2), (4, 5, 0)))

Réflexion

Verifying exponent of the product

The exponent is 10, which means the product is indeed 2102^{10}. However, I need to confirm the result and ensure that it's not more than 2102^{10}. I also need to explain why the pairing can't yield a greater exponent, focusing on maximizing powers-of-two differences and avoiding odd differences greater than 1.

Analyzing pairings for even differences

Okay, we're left with digits 2–7. To avoid odd differences greater than 1, we need to pair even digits with evens and odd digits with odds. However, the pair 4 and 5 is unavoidable, leading to a difference of 1. I wonder if I could sacrifice one of the 8-diff pairings to have more even differences and avoid this situation.

Ensuring an odd difference

To ensure all differences are even, I need to pair evens with evens and odds with odds. The problem is that with 5 even digits and 5 odd digits, it's impossible to pair all of them evenly. At least one pair will have to cross parity, leading to an odd difference of 1. This is unavoidable.

Handling even and odd pairings

When aiming for a perfect matching with even differences, I must pair even with even and odd with odd. Since we have 5 evens and 5 odds, at least one pair must cross parity, creating an odd difference. To keep the product a power of 2, this difference must be 1, which is achievable (such as by pairing 4,5 or 8,9). I can then optimize the even pairs with the remaining digits.

Thought for 2m 1s

Réponse

Ответ: 210=10242^{10}=1024 (то есть показатель степени — 1010).

Короткое обоснование:

  • Чтобы произведение было степенью двойки, каждая разность должна быть из {1,2,4,8}\{1,2,4,8\} (иначе появится нечётный простой множитель).
  • Среди цифр 0,1,…,90,1,\dots,9 по пять чётных и нечётных, значит хотя бы одна пара будет «разнопаритетной», её разность нечётна. Чтобы не испортить степенность по основанию 2, берём там разность 11.
  • Максимум «высоких» разностей: ровно две пары с разностью 88: (0,8)(0,8) и (1,9)(1,9) (даёт вклад 3+33+3 в показатель). Оставшиеся {2,3,4,5,6,7}\{2,3,4,5,6,7\} лучше всего парить как (2,6)(2,6) и (3,7)(3,7) (разность 44, вклад 2+22+2), а остаток (4,5)(4,5) — разность 11 (вклад 00).

Итого показатель 3+3+2+2+0=103+3+2+2+0=10, и это достигается:

(0,8),(1,9),(2,6),(3,7),(4,5)  ⇒  8⋅8⋅4⋅4⋅1=1024=210.(0,8),(1,9),(2,6),(3,7),(4,5)\;\Rightarrow\;8\cdot8\cdot4\cdot4\cdot1=1024=2^{10}.

Partager cette Q&R