реши задачу по оптимизации:

Interpreting the optimization problem

The user has provided an optimization problem, asking whether the solution $x = (7/3, 0, 1/3)^T$ is optimal. The objective is to maximize $9x_1 + 3x_2 + 7x_3$ , with specific constraints. No numerical algorithms can be used, so the proof of optimality likely requires linear programming theory, such as duality or complementary slackness.

Outlining the dual approach

To prove the optimality of the given solution without numerical algorithms, I'll use duality. First, I’ll express the primal problem in standard form: maximize $c^T x$ with constraints $Ax \leq b$ , $x \geq 0$ . By formulating the dual, I’ll ensure the primal and dual objectives match and satisfy complementary slackness.

Exploring dual constraints

Now, I have the dual constraints: for each decision variable in the primal, I’ll write out corresponding inequalities for the dual variables. Then, I'll try to find values for the dual variables $y_1, y_2, y_3$ that meet both the objective and constraints. I’ll check complementary slackness next by calculating slack values for each constraint.

Examining slack and dual variables

For the primal constraints, I computed the slack values and found that the first constraint isn’t tight, so $y_1$ must be zero. The second constraint is tight, meaning $y_2$ can be positive. The third constraint is also tight, so $y_3$ might be positive as well. I've calculated $y_2 = 1.8$ .

Thought for 27s

Задача

\begin{aligned} \max_{x\in\mathbb R^3}\; & 9x_{1}+3x_{2}+7x_{3} \\[4pt] \text{s.t.}\qquad & 2x_{1}+x_{2}+3x_{3}\le 6,\\ & 5x_{1}+4x_{2}+x_{3}\le 12,\\ & 3x_{3}\le 1,\\ & x_{1},x_{2},x_{3}\ge 0. \end{aligned}

Нужно доказать, что

x^{*}= \left(\tfrac73,\;0,\;\tfrac13\right)^{\!\top}

является оптимальным.

1. Запишем двойственную задачу

Приведём задачу к стандартному виду « $Ax\le b,\;x\ge0$ »

A=\begin{pmatrix} 2&1&3\\ 5&4&1\\ 0&0&3 \end{pmatrix},\quad b=\begin{pmatrix}6\\12\\1\end{pmatrix},\quad c=\begin{pmatrix}9\\3\\7\end{pmatrix}.

Двойственная (по правилу $\min\; b^{\!\top}y$ s.t. $A^{\!\top}y\ge c,\;y\ge0$ ):

\begin{aligned} \min_{y\ge0}\; & 6y_{1}+12y_{2}+y_{3} \\[4pt] \text{s.t.}\quad & 2y_{1}+5y_{2}\;\;\ge 9,\\ & y_{1}+4y_{2}\;\;\ge 3,\\ & 3y_{1}+y_{2}+3y_{3}\ge 7. \end{aligned}

2. Используем условия комплементарной нежёсткости

Для найденного $x^{*}$ :

1-е ограничение невязко: $2\cdot\frac73+0+3\cdot\frac13=\frac{17}{3}<6\;\Rightarrow\;y_{1}=0$ .
2-е и 3-е ограничения активны $\Rightarrow$ $y_{2},y_{3}$ могут быть положительными.
Т.к. $x_1>0$ и $x_3>0$ , соответствующие двойственные ограничения должны выполняться с равенством.

Получаем систему

\begin{cases} 5y_{2}=9,\\ y_{2}+3y_{3}=7. \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad y_{2}=\dfrac{9}{5},\qquad y_{3}= \dfrac{26}{15}.

Очевидно $y=(0,\frac95,\frac{26}{15})^{\!\top}\ge0$ .

3. Проверяем двойственную допустимость

$2y_{1}+5y_{2}=9 \ge 9$ — ровно.
$y_{1}+4y_{2}= \tfrac{36}{5}\ge3$ .
$3y_{1}+y_{2}+3y_{3}= \tfrac95+\tfrac{78}{15}=7$ — ровно.

Все условия выполнены ⇒ $y$ допустимо.

4. Проверяем равенство целей

c^{\!\top}x^{*}=9\cdot\tfrac73+3\cdot0+7\cdot\tfrac13 =21+\tfrac{7}{3} =\tfrac{70}{3}.

b^{\!\top}y=6\cdot0+12\cdot\tfrac95+1\cdot\tfrac{26}{15} =\tfrac{108}{5}+\tfrac{26}{15} =\tfrac{324+26}{15} =\tfrac{350}{15} =\tfrac{70}{3}.

Значения совпадают.

5. Вывод

$x^{*}$ — допустимо в прямой задаче.
$y$ — допустимо в двойственной.
$c^{\!\top}x^{*}=b^{\!\top}y$ .

По теореме сильной двойственности линейного программирования это возможно только в случае оптимальности обоих решений. Следовательно,

x^{*}= \left(\tfrac73,\;0,\;\tfrac13\right)^{\!\top}

является оптимальным, а максимальное значение целевой функции равно

\boxed{\displaystyle \max = \tfrac{70}{3}\approx 23{,}33}.

Ни одного численного алгоритма (симплекс, внутренние точки и т. д.) не применялось — использованы лишь свойства двойственности и условия комплементарной нежёсткости.