阅读文章，用中文回答问题，图片中的公式为什么用$u^+$，请给出详细解释，为什么不直接表示为$u$

为什么在能量泛函里写 $u^{+}$ 而不是直接写 $u$?

1. $u^{+}$ 的定义与作用
   论文把正部分记为 $u^{+}:=\max\{u,0\}$。在 Choquard-型非局域项中作者把卷积写成

   $$\bigl(I_{\alpha}\!*|u^{+}|^{p}\bigr)|u^{+}|^{p},$$

   并明确说明“其中 $u^{+}=\max\{u,0\}$”。
   这样做的第一目的就是保证卷积项始终非负且可微：一旦 $u<0$，该项自动为零，可避免 $|u|^{p}$ 在 $u=0$ 的不可导点带来的技术障碍。

2. 确保能量泛函有意义并下有界
   当空间维数 $N\ge 3$ 时，若直接写 $|u|^{p}$ 或 $|u|^{p-2}u$，能量

   $$J(u)=\frac12\int\bigl(g^{2}(u)|\nabla u|^{2}+V(x)u^{2}\bigr)-\frac1{2p}\int(I_{\alpha}\!*|u^{+}|^{p})|u^{+}|^{p}$$

   仍可能发散。作者指出 “不幸的是，对所有 $u\in H^{1}(\mathbb{R}^{N})$，函数 $J$ 并不一定良定义”。去掉负部分后，卷积只积正区的量，避免了正负相抵或无界积分，从而给后续再作变量替换 $v=G(u)$ 之前先加了一层安全保护。

3. 更方便地专注于“正解”
   本文目标是证明存在正解与基态正解（Theorem 1.2, 1.3）。若把任意 $u$ 换成 $u^{+}$，梯度项与势能项不会变大，而非局域项会减小；因此能量不升。于是任何能量最小化序列自然会被“拉”向非负，其极限解也就满足 $u\ge0$。用 $u^{+}$ 写在泛函里，可直接把变分框架限制在正锥内，从而简化 Mountain-Pass 构造和强极大原理的使用。

4. Gateaux 导数的良性结构
   取变分时，非局域项产生的导数含有

   $$(I_{\alpha}\!*|u^{+}|^{p})|u^{+}|^{p-2}u^{+},$$

   它在 $u<0$ 的区域等于 0，使 Euler–Lagrange 方程在正、负区域分段光滑，方便利用单调性与比较原理得到 $u>0$。

总结：写成 $u^{+}$ 不是因为对公式“少写一步”；而是同时兼顾
*（i）卷积项的可微与有界，
*（ii）能量泛函在 $H^{1}(\mathbb{R}^{N})$ 中良定义，
*（iii）变分法求得的临界点天然落在正锥，从而直接得到作者想要的正解。
若直接用 $u$，这些关键性质都会受到负值部分的干扰，导致技术难度和证明长度显著增加。