Биологи на планете X исследовали, что скорость при...

Question

Биологи на планете X исследовали, что скорость прироста V популяции B > 0 ядовитых змей выражается через популяцию B в данный момент времени и положительную постоянную A как
V = A(B-1)(B-2)^2(B-3)^3(B-6)^6
Какие значения популяции являются устойчивыми?

Варианты ответа 1,2,3,4

Réflexion

The user is asking about stable population equilibria for a given growth equation. To find the equilibrium points, we set the growth rate $V$ equal to zero. This occurs at $B = 1, 2, 3, 6$ , which are the roots of the equation. The user likely wants to know which of these roots are stable. To determine stability, we look at the sign of the derivative of $V$ close to these equilibrium points. If the derivative is negative, the equilibrium is stable.

To analyze the stability of equilibrium points B=1, 2, 3, and 6, we examine the changes in the sign of the growth rate (V) as B moves through these values. The behavior depends on whether the factor exponents are odd or even. For example, at B=1, the sign of V shifts, indicating stability. At B=2, the sign remains the same due to the even exponent of (B-2)^2. This suggests B=2 might not be a stable equilibrium after all. Further analysis confirms this.

To classify the stability of equilibrium points B=1, 2, 3, and 6, I found that B=1 is stable since the population increases to the right and decreases to the left. For B=2, it's unstable as the population flows away on both sides. B=3 shows instability too, since it attracts population on the left but pushes it away on the right. Lastly, B=6 is also unstable; population moves away in both directions. Therefore, only B=1 qualifies as a stable equilibrium.

Thought for 1m 4s

Réponse

Устойчивыми равновесными значениями $B$ являются те, куда вектор-поле «толкает» популяцию с обеих сторон.

Полином для скорости прироста

V(B)=A\,(B-1)(B-2)^2(B-3)^3(B-6)^6,\qquad A>0

обращается в нуль при $B=1,2,3,6$ .
Проверим знак $V$ в промежутках (достаточно взять по одной точке в каждом):

Интервал по $B$	Тестовая точка	$\operatorname{sign}V$
$0<B<1$	$0{,}5$	$+$
$1<B<2$	$1{,}5$	$–$
$2<B<3$	$2{,}5$	$–$
$3<B<6$	$4$	$+$
$B>6$	$7$	$+$

$B=1$ : слева $V>0$ (популяция растёт), справа $V<0$ (популяция убывает) ⇒ траектории сходятся к точке → устойчиво.
$B=2$ (кратность 2): знак $V$ с обеих сторон отрицателен ⇒ слева уводит от 2, справа ведёт к 2, но дальше не пересекает; точка полу-устойчива (неустойчива в обычном смысле).
$B=3$ : знак меняется с «–» на «+» ⇒ траектории расходятся от точки → неустойчива.
$B=6$ (кратность 6): знак $V$ одинаковый «+» с обеих сторон ⇒ оттолкновение → неустойчива.

Из предложенных вариантов только 1 соответствует устойчивому равновесию.
Ответ: 1.

Question

Réflexion

Réponse

Partager cette Q&R