peux tu resoudre ceci et m'expliquer comment le fa...

Ci-dessous tu trouveras, exercice par exercice, une résolution détaillée (et en français) ainsi qu’une explication pas-à-pas de la méthode employée.
Pour garder le texte lisible je me limite aux démonstrations et résultats essentiels ; si tu as besoin d’un passage plus développé ou d’une vérification numérique précise, n’hésite pas ! Les notations sont celles de l’énoncé ; toutes les citations de l’énoncé proviennent du PDF fourni.

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Exercice 1 : expressions différentielles de la chaleur

(a) Détermination de l et h

On dispose de deux écritures équivalentes pour la chaleur élémentaire d’un corps pur (transformation réversible) :

$$\boxed{\;\delta Q=C_v\,\mathrm dT+l\,\mathrm dV = C_p\,\mathrm dT+h\,\mathrm dP\;}$$

1. À pression constante ($\mathrm dP=0$) :

   $$C_p\,\mathrm dT=C_v\,\mathrm dT+l\,\mathrm dV\quad\Longrightarrow\quad l=\frac{C_p-C_v}{\left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_P} =(C_p-C_v)\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P$$

2. À volume constant ($\mathrm dV=0$) :

   $$C_v\,\mathrm dT=C_p\,\mathrm dT+h\,\mathrm dP\quad\Longrightarrow\quad h=-\,(C_p-C_v)\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V$$

Résultat général

$$\boxed{\;l=(C_p-C_v)\left(\dfrac{\partial T}{\partial V}\right)_P\;},\qquad \boxed{\;h=-(C_p-C_v)\left(\dfrac{\partial T}{\partial P}\right)_V\;}$$

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(b) Cas du gaz parfait

Pour 1 mole : $PV=RT\Rightarrow T(P,V)=\dfrac{PV}{R}$.

• $\displaystyle\left(\frac{\partial T}{\partial V}\right)_P=\frac{P}{R}$
• $\displaystyle\left(\frac{\partial T}{\partial P}\right)_V=\frac{V}{R}$
• $C_p-C_v=R$

On obtient immédiatement

$$\boxed{\;l=P\;},\qquad\boxed{\;h=-V\;}$$

et l’expression classique

$$\delta Q=C_v\,\mathrm dT+P\,\mathrm dV=C_p\,\mathrm dT-V\,\mathrm dP.$$

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(c) Exactitude de $\delta Q$ et de $\delta Q/T$

En variables $(T,V)$ : $\delta Q=C_v\,\mathrm dT+P\,\mathrm dV$.
On teste la condition d’exactitude :

$$M=C_v\quad\Longrightarrow\quad\left(\frac{\partial M}{\partial V}\right)_T=0, \qquad N=P=\frac{RT}{V}\quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{\partial N}{\partial T}\right)_V=\frac{R}{V}\neq0.$$

Donc $\delta Q$ n’est pas une différentielle exacte.

Par contre

$$\frac{\delta Q}{T}=C_v\frac{\mathrm dT}{T}+R\frac{\mathrm dV}{V},$$

d’où
(\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial V}\Bigl(C_v/T\Bigr)\right)_T=0 =\left(\frac{\partial}{\partial T}\Bigl(R/V\Bigr)\right)_V).

La condition d’exactitude est vérifiée : $\delta Q/T=\mathrm dS$.

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Exercice 2 : travaux reçus par un gaz parfait

On note $R_s$ la constante des gaz pour l’unité de masse considérée ($R_s=R/M$).
Le piston, horizontal, est sans frottement ; l’extérieur est à $(P_a,T_a)$.

1) État initial

Équilibre avec l’extérieur :

$$P_0=P_a,\qquad T_0=T_a,\qquad V_0=\frac{mR_sT_a}{P_a}.$$

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2) Compression irréversible à effort (force) constant

On applique sur le piston une force $F$ ; la pression externe devient

$$P_{\text{ext}}=P_a+\frac{F}{S}\equiv P_1\;(>P_a).$$

Les parois sont diathermes ⇒ isotherme à $T_a$.
État final : (P_1=T_1=P_a+\dfrac{F}{S},;T_1=T_a,; V_1=\dfrac{mR_sT_a}{P_1}).

Évolution non-quasi-statique : $P_{\text{gas}}\neq P_{\text{ext}}$ pendant la course.

Travail reçu (convention positive quand le gaz reçoit du travail)

$$W_{\text{irr}}=\int_{V_0}^{V_1}P_{\text{ext}}\mathrm dV =P_1\,(V_1-V_0) =mR_sT_a\left(1-\frac{P_1}{P_a}\right)<0.$$

Le module (travail « fourni au gaz ») vaut

$$|W_{\text{irr}}|=mR_sT_a\left(\frac{P_1}{P_a}-1\right).$$

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3) Compression réversible menant au même état final

(a) Rappel

Pour une transformation réversible :

$$\delta W=P\,\mathrm dV\quad(\text{ce n’est pas une différentielle exacte}).$$

(b) Transformation réversible isotherme ($T=T_a$)

$$W_{\text{rev}}=\int_{V_0}^{V_1}P\,\mathrm dV =mR_sT_a\ln\!\left(\frac{V_1}{V_0}\right) =mR_sT_a\ln\!\left(\frac{P_0}{P_1}\right)\;(<0).$$

En module :

$$|W_{\text{rev}}|=mR_sT_a\ln\!\left(\frac{P_1}{P_a}\right),$$

nettement plus petit que |$W_{\text{irr}}$|.
L’effort sur le piston doit suivre $F(t)=S\bigl(P(t)-P_a\bigr)$ avec $P(t)=mR_sT_a/V(t)$.

(c) Chemin isobare P$_0$ puis isochore

Tenir $T_a$ constant tout en comprimant isobare est incompatible avec $PV/T=\text{cste}$ ; la première étape impliquerait donc un refroidissement.
Si l’on laissait $T$ varier :

• Étape 1 – isobare $P=P_a$ :
  $W_1=P_a\,(V_1-V_0)\;( <0)$.

• Étape 2 – isochore ($V=V_1$) : $W_2=0$.

Total : $|W_{1+2}|=P_a\,(V_0-V_1)$.

(d) Comparaison

$$|W_{\text{rev}}|<|W_{1+2}|<|W_{\text{irr}}|.$$

Plus la compression est « brusque » (écart de pression extérieur/intérieur élevé), plus il faut fournir de travail utile — l’irreversibilité se paye en énergie.

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Exercice 3 : lever un poids – méthode thermo-mécanique vs mécanique

• Système 1 : poids + gaz (ensemble adiabatique)
  Travail à fournir

  $$W_1 = m g (z_2-z_1)+\Delta U_{\text{gaz}} = mg\Delta z + \frac{P_2V_2-P_1V_1}{\gamma-1}.$$

  Le gaz s’expanse en prenant de l’énergie : $W_1>mg\Delta z$.

• Système 2 : seul poids

  $$W_2 = m g (z_2-z_1)=mg\Delta z.$$

Conclusion : la méthode purement mécanique est la plus économe ; introduire un gaz adiabatique ajoute la variation d’énergie interne du gaz.

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Exercice 4 : colonne d’hélium et piston de masse $M=50\text{ kg}$

On note $\gamma=5/3$ (hélium mono-atomique) et $S=100\,\text{cm}^2=10^{-2}\,\text{m}^2$.

1 a) Descente quasi-statique (adiabatique)

• Pression finale

  $$P_1 = P_0 + \frac{Mg}{S}.$$

• Loi de Poisson : $P V^\gamma=\text{cste}$ $\Rightarrow$

  $$h_1 = h_0\left(\frac{P_0}{P_1}\right)^{1/\gamma}, \qquad T_1 = T_0\left(\frac{P_1}{P_0}\right)^{(\gamma-1)/\gamma}.$$

1 b) Piston lâché (adiabatique, irréversible)

Bilan d’énergie (gaz + piston) :

$$\frac{P_1Sh'_1-P_0Sh_0}{\gamma-1}=Mg(h_0-h'_1).$$

En remplaçant $P_1$ :

$$h'_1 = h_0 \frac{SP_0+\tfrac{2}{3}Mg}{SP_0+\tfrac{5}{3}Mg} < h_1, \qquad T'_1=\frac{P_1Sh'_1}{nR}.$$

Le gaz est plus chaud et davantage comprimé qu’en (a).

2) Fond diatherme à $T_0$

2 a) Compression lente (isotherme)

$$h_2 = h_0\frac{P_0}{P_1},\qquad Q = nRT_0\ln\!\left(\frac{P_0}{P_1}\right)\;(>0,\;chaleur extraite).$$

2 b) Piston lâché puis ré-équilibration thermique

L’état final est identique à (2 a) ; la chaleur totale

$$Q' = nRT_0\ln\!\left(\frac{P_0}{P_1}\right) +\,\underbrace{\left[\,\tfrac{P_1Sh'_1-P_1Sh_2}{\gamma-1}\right]}_{\text{refroidissement du gaz}} >Q,$$

car il faut en plus évacuer la surchauffe produite pendant la phase adiabatique.

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Exercice 5 : paroi mobile, deux gaz parfaits identiques

Deux moles $n$ identiques ($n$ dans chaque compartiment), paroi initialement adiabatique.

1) Schéma

(à réaliser – deux volumes $V_1,\;V_2$ séparés par la paroi mobile).

2) Température d’équilibre

Système global adiabatique ⟹ $U_{\text{tot}}$ constant :

$$nC_vT_1+nC_vT_2 =2nC_vT_3\quad\Longrightarrow\quad \boxed{\,T_3=\tfrac{1}{2}(T_1+T_2)\,}.$$

3) Pression finale

À l’équilibre la paroi est immobile : $P_3$ identique dans les deux compartiments,
et $P_3V_i=nRT_3\,(i=1,2)$.
Le volume total est constant ($V_1+V_2=V_{\text{tot}}$) ; on en déduit

$$P_3=\frac{2nRT_3}{V_{\text{tot}}} =\frac{nR(T_1+T_2)}{V_{\text{tot}}}.$$

4) Nature de la transformation

Chaque compartiment subit un échange de chaleur interne et un travail $\pm P_3\Delta V$ ; pour chacun,

$$W_i = \int P_3\,\mathrm dV_i = P_3\Delta V_i,\qquad Q_i = \Delta U_i - W_i.$$

Avec $\Delta U_i=nC_v(T_3-T_i)$ et $\Delta V_2=-\Delta V_1$, on obtient

$$W_1 = nR\frac{T_1-T_2}{2},\qquad Q_1 = nC_p\frac{T_3-T_1}{},$$

et les signes opposés pour le compartiment 2.
La somme globale vérifie bien $Q_{\text{tot}}=W_{\text{tot}}=0$.

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Conclusion générale

• Les expressions de $l$ et $h$ découlent directement du premier principe et d’un simple raisonnement « à $P$ ou $V$ constant ».
• Dans tous les exercices, comparer les chemins réversibles/irréversibles montre qu’on paye toujours un surcroît de travail (ou d’entropie) dès qu’on s’éloigne de la quasi-réversibilité.
• Les bilans énergétiques s’obtiennent systématiquement avec :
  1. l’état d’équilibre mécanique ($P$),
  2. la loi d’état du gaz,
  3. le premier principe ($\Delta U = Q - W$).

J’espère que cette résolution t’éclaire ! Dis-moi si tu souhaites un développement plus détaillé sur un point particulier ou des applications numériques.