Proposition de rédaction académique détaillée pour l’Exercice 2
(Basée sur les principes de cinématique du solide et de dynamique générale. L’énoncé exact peut varier selon la figure, mais la démarche reste la même.)

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1. Rappel des formules et principes théoriques

Avant de résoudre point par point, il est utile de rappeler quelques formules fondamentales en cinématique et dynamique du solide.

1. Vitesse d’un point $P$ d’un solide $(S)$ en rotation autour d’un axe (ou en mouvement général) :

   $$\vec{V}_{P} = \vec{V}_{O} \;+\; \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OP},$$

   où

   • $\vec{V}_{O}$ est la vitesse d’un point $O$ de référence (souvent le centre de rotation ou un point particulier),
   • $\vec{\Omega}$ est le vecteur rotation du solide,
   • $\overrightarrow{OP}$ est le vecteur position de $P$ par rapport à $O$.

2. Accélération d’un point $P$ d’un solide $(S)$ :

   $$\vec{\gamma}_{P} \;=\; \vec{\gamma}_{O} \;+\; \frac{d\,\vec{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{OP} \;+\; \vec{\Omega} \wedge \bigl(\,\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{OP}\bigr).$$

   (Cette formule se déduit de la dérivation par rapport au temps de $\vec{V}_{P}$.)

3. Torseur cinétique d’un système $(S)$ par rapport à un repère $R_0$ :

   $$\bigl[\! \bigl[\,V(S/\,R_0)\bigr]\!\bigr] \;=\; \begin{Bmatrix} \displaystyle \vec{R}_{c}(S) \\[6pt] \displaystyle \vec{\sigma}_{c}(S,\,A) \end{Bmatrix} \quad\text{où}\quad \vec{R}_{c}(S) \;=\; \int_{S} m\,\vec{V}, \quad \vec{\sigma}_{c}(S,A) \;=\; \int_{S} \overrightarrow{AP} \wedge m\,\vec{V}.$$

4. Torseur dynamique (ou torseur des quantités d’accélération) :

   $$\bigl[\! \bigl[\,A(S/\,R_0)\bigr]\!\bigr] \;=\; \begin{Bmatrix} \displaystyle \vec{R}_{d}(S) \\[6pt] \displaystyle \vec{\delta}_{d}(S,\,A) \end{Bmatrix} \quad\text{où}\quad \vec{R}_{d}(S) \;=\; \int_{S} m\,\vec{\gamma}, \quad \vec{\delta}_{d}(S,A) \;=\; \int_{S} \overrightarrow{AP} \wedge m\,\vec{\gamma}.$$

5. Moment dynamique d’un système $(S)$ autour d’un point $O$ :

   $$\vec{\delta}_{d}(S,O) \;=\; \int_{S} \overrightarrow{OP}\,\wedge\,\bigl(m\,\vec{\gamma}_{P}\bigr).$$

   On peut aussi l’écrire en utilisant les relations de transport si besoin.

6. Formule de transport des moments (pour passer du moment en un point $A$ à un point $B$) :

   $$\vec{\sigma}_{c}(S,B) \;=\; \vec{\sigma}_{c}(S,A) \;+\; \overrightarrow{AB} \wedge \vec{R}_{c}(S),$$

   et de même pour le moment dynamique.

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2. Données du problème et configuration géométrique

D’après l’énoncé (et la figure jointe) :

• Le système matériel $(S)$ est constitué :

  1. D’une tige (T) de longueur $e$, de masse $m$, reliant deux points $A$ et $B$.
  2. D’une plaque circulaire (notée $(S_1)$), de masse $m_1$ et de rayon $R$.
  3. La tige est soudée sur cette plaque de sorte qu’elles forment un solide unique (indéformable).

• Le repère $\{R_0(O_0,\,x_0,\,y_0,\,z_0)\}$ est un repère orthonormé direct fixe (d’observation).

• Le mouvement se décrit (d’après l’image) par :

  1. Une rotation autour (par exemple) de l’axe $x_0$, d’angle $\phi(t)$.
  2. Éventuellement une translation ou un décalage suivant un axe donné (souvent l’axe $y_0$ ou $z_0$) – cela dépend de l’énoncé exact.
  3. On note $\vec{\Omega}(t)$ le vecteur vitesse angulaire du système $(S)$ par rapport à $R_0$.

• On lie parfois un repère $\{R_1(C,\,x_1,\,y_1,\,z_1)\}$ au solide, où $C$ est un point particulier de la plaque (souvent le centre géométrique de la plaque).

• Points à étudier :

  • Le point $O$ (dans l’énoncé, il semble s’agir d’un point de la plaque ou d’intersection).
  • Les points $A$ et $B$ (extrémités de la tige).
  • Le point $C$ (centre de la plaque circulaire).

Selon l’énoncé, on nous demande successivement :

1. D’exprimer les composantes (sur la base $(x_0,y_0,z_0)$) du vecteur vitesse du point $O$ observé depuis $R_0$.
2. (Souvent) D’exprimer la vitesse d’un autre point (par exemple $B$).
3. D’exprimer l’accélération de ces points.
4. …
5. …
6. Calculer le moment dynamique en $O$ de $(S)$ par rapport à $R_0$.

Nous allons résoudre dans cet ordre, en explicitant à chaque fois les hypothèses et les étapes de calcul.

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3. Expression du vecteur vitesse du point $O$ (observé depuis $R_0$)

3.1. Hypothèses de mouvement

• Soit $\phi = \phi(t)$ l’angle de rotation autour de l’axe $x_0$.

• Le vecteur vitesse angulaire du solide $(S)$ peut alors s’écrire :

  $$\vec{\Omega}(t) \;=\; \dot{\phi}(t)\,\mathbf{x_0} \quad(\text{puisque la rotation se fait autour de }x_0).$$

  Ici, $\dot{\phi}(t)$ désigne la dérivée de $\phi$ par rapport au temps.

• Si le solide effectue en plus une translation (par exemple, le point $O$ se déplace le long de $y_0$), on écrira :

  $$\overrightarrow{O_0O}(t) \;=\; \bigl(0,\; y_0(t),\; 0\bigr) \quad\text{(par exemple)}.$$

  La vitesse de translation associée est alors

  $$\vec{V}_{\text{trans}}(t) \;=\; \bigl(0,\; \dot{y}_0(t),\; 0\bigr).$$

3.2. Position du point $O$ dans le repère $R_0$

• Supposons que dans la configuration initiale (à $t=0$), $O$ coïncide avec $O_0$.
• À l’instant $t$, si le solide a subi une translation $\overrightarrow{O_0O}$ (le long de $y_0$ par exemple) et une rotation $\phi(t)$ autour de $x_0$, on peut décrire la position de $O$ par un vecteur $\overrightarrow{O_0O}(t)$.

3.3. Vitesse de $O$

• Cas 1 : S’il n’y a que la rotation autour de $x_0$ et que $O$ est sur l’axe de rotation ($x_0$), alors $\vec{V}_{O} = \vec{0}$.

• Cas 2 : S’il y a une translation + une rotation, la vitesse absolue de $O$ (dans $R_0$) se décompose comme :

  $$\vec{V}_{O} \;=\; \underbrace{\vec{V}_{\text{trans}}}_{\text{translation}} \;+\; \underbrace{\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{O_\text{axe}\,O}}_{\text{rotation}}.$$

  Souvent, si $O$ n’est pas sur l’axe, on prend un point $C$ sur l’axe de rotation (ou un point fixe) et on utilise la formule :

  $$\vec{V}_{O} \;=\; \vec{V}_{C} \;+\; \vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{CO}.$$

  Ici, $\vec{V}_{C}$ peut être nul si $C$ est fixe dans $R_0$.

En pratique, pour exprimer les composantes de $\vec{V}_{O}$ sur $(x_0,y_0,z_0)$, on :

1. Identifie les coordonnées de $\overrightarrow{CO}$.
2. Calcule $\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{CO}$.
3. Ajoute la composante de translation éventuelle.

On obtient ainsi, par exemple (selon la figure type) :

$$\vec{V}_{O} = \bigl(0,\;\dot{y}_0,\;0\bigr) \;+\; \dot{\phi}(t)\,\mathbf{x_0} \,\wedge\, \bigl(0,\;O_y,\;O_z\bigr).$$

Puis on simplifie la forme du produit vectoriel.

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4. Vitesse d’un autre point (ex. $B$) de la tige ou de la plaque

Pour un point $B$ du solide $(S)$, on applique la relation de transport (mouvement de corps rigide) :

$$\vec{V}_{B} \;=\; \vec{V}_{O} \;+\; \vec{\Omega}\;\wedge\;\overrightarrow{OB}.$$

• On part de la vitesse de $O$ (trouvée à la question précédente).
• On ajoute $\vec{\Omega}\wedge\overrightarrow{OB}$.
• On projette le résultat dans la base $(x_0,y_0,z_0)$ pour obtenir les composantes.

Si le point $B$ est à l’extrémité de la tige, on connaît $\overrightarrow{OB}$ (en fonction de la longueur $e$ et de l’orientation de la tige).
Idem pour un point sur la plaque : on exprime son vecteur position depuis $O$.

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5. Accélération d’un point (ex. $O$ ou $B$)

Pour le point $O$ (ou tout autre point), l’accélération s’écrit :

$$\vec{\gamma}_{O} \;=\; \vec{\gamma}_{C} \;+\; \frac{d\vec{\Omega}}{dt} \wedge \overrightarrow{CO} \;+\; \vec{\Omega} \wedge \bigl(\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{CO}\bigr).$$

• $\frac{d\vec{\Omega}}{dt}$ provient de la dérivée de $\vec{\Omega}$. Par exemple, si $\Omega = \dot{\phi}(t)\,\mathbf{x_0}$, alors $\frac{d\vec{\Omega}}{dt} = \ddot{\phi}(t)\,\mathbf{x_0}$.
• Le terme $\vec{\Omega} \wedge \bigl(\vec{\Omega} \wedge \overrightarrow{CO}\bigr)$ est la composante dite normale (ou centripète) de l’accélération, associée à la rotation.

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6. Calcul du moment dynamique $\vec{\delta}_{d}(S,O)$ du système $(S)$ par rapport à $R_0$

Le moment dynamique en un point $O$ se définit par :

$$\vec{\delta}_{d}(S,O) \;=\; \int_{(S)} \overrightarrow{OP} \;\wedge\; \bigl(m\,\vec{\gamma}_{P}\bigr).$$

6.1. Décomposition du solide en deux parties

Le système $(S)$ est composé :

• de la tige (T) (masse $m$),
• de la plaque (S1) (masse $m_1$).

On peut écrire :

$$\vec{\delta}_{d}(S,O) \;=\; \vec{\delta}_{d}(\text{tige},O) \;+\; \vec{\delta}_{d}(\text{plaque},O).$$

6.2. Stratégie de calcul

1. Si le solide a un point fixe en $O$ (c’est parfois le cas quand l’axe de rotation passe par $O$), alors l’accélération de $O$ est nulle, et on peut exploiter la formule simplifiée :

   $$\vec{\delta}_{d}(S,O) \;=\; \int_{(S)} \overrightarrow{OP} \wedge m \,\bigl(\dot{\vec{\Omega}} \wedge \overrightarrow{OP} \;+\; \vec{\Omega} \wedge (\vec{\Omega}\wedge \overrightarrow{OP})\bigr).$$

   On regroupe cela sous forme de l’opérateur d’inertie :

   $$\vec{\delta}_{d}(S,O) \;=\; \underbrace{\bigl(I_O(S)\bigr)\,\dot{\vec{\Omega}}}_{\text{terme en }\dot{\phi}(t)\text{ et }\ddot{\phi}(t)} \;+\; \underbrace{\vec{\Omega}\wedge\bigl(I_O(S)\,\vec{\Omega}\bigr)}_{\text{terme centrifuge / gyroscopique}}.$$

   où $I_O(S)$ est l’opérateur (ou la matrice) d’inertie du solide $(S)$ pris en $O$.

2. Si $O$ n’est pas fixe, on utilise la forme générale :

   $$\vec{\delta}_{d}(S,O) \;=\; \int_{(S)} \overrightarrow{OP}\,\wedge\,\bigl(m\,\vec{\gamma}_{P}\bigr).$$

   Puis on scinde $\vec{\gamma}_{P}$ en $\vec{\gamma}_{O} + \dots$, etc. On peut aussi passer par le théorème de transport du moment cinétique :

   $$\frac{d}{dt}\bigl(\vec{\sigma}_{c}(S,O)\bigr) \;=\; \vec{\delta}_{d}(S,O),$$

   et on calcule $\vec{\sigma}_{c}(S,O)$ puis on dérive par rapport au temps.

6.3. Exemple de calcul : opérateur d’inertie

• Pour la plaque circulaire (disque) de rayon $R$ et de masse $m_1$, on connaît, autour de son centre $C$, la matrice d’inertie standard (dans une base adaptée).
• Pour la tige (barre de longueur $e$ et de masse $m$), on connaît aussi son moment d’inertie autour de son milieu, etc.

Ensuite, on transporte ces moments d’inertie au point $O$ via le théorème de Huygens (ou Koenig) :

$$I_O(S) \;=\; I_G(S) \;+\; m(S)\,\overrightarrow{GO}^{\,2} \quad\text{(pour l’axe concerné, si besoin)}.$$

6.4. Expression finale

En rassemblant tous les termes, on obtient une expression vectorielle (ou dans la base $(x_0,y_0,z_0)$) de la forme :

$$\vec{\delta}_{d}(S,O) \;=\; I_O(S)\,\frac{d\vec{\Omega}}{dt} \;+\; \vec{\Omega}\,\wedge\,\bigl(I_O(S)\,\vec{\Omega}\bigr).$$

ou, si on préfère les composantes, on calcule

$$\delta_{d,x} \;=\; \dots,\quad \delta_{d,y} \;=\; \dots,\quad \delta_{d,z} \;=\; \dots$$

selon la géométrie précise du problème.

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7. Conclusion et plan de rédaction

Pour résumer la structure de la solution (de manière académique) :

1. Introduction

   • Rappeler le système $(S)$, la géométrie (tige + plaque), le repère $R_0$.
   • Définir clairement l’axe de rotation, l’angle $\phi(t)$, la translation éventuelle, etc.

2. Calcul des vitesses

   1. Vitesse de $O$ :
      • Déterminer $\overrightarrow{O_0O}(t)$.
      • Différencier si besoin ou utiliser $\vec{V}_{O} = \vec{V}_{C} + \vec{\Omega}\wedge\overrightarrow{CO}$.
      • Projeter sur $(x_0,y_0,z_0)$.
   2. Vitesse d’un point $B$ :
      $\vec{V}_{B} = \vec{V}_{O} + \vec{\Omega}\wedge\overrightarrow{OB}$.

3. Calcul des accélérations

   • Appliquer la formule générale $\vec{\gamma}_{B} = \vec{\gamma}_{O} + \frac{d\vec{\Omega}}{dt}\wedge\overrightarrow{OB} + \vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge\overrightarrow{OB})$.

4. Calcul du moment dynamique $\vec{\delta}_{d}(S,O)$

   • Utiliser la définition : $\vec{\delta}_{d}(S,O) = \int_{S} \overrightarrow{OP}\wedge (m\,\vec{\gamma}_{P})$.
   • Décomposer le solide en tige + plaque.
   • Utiliser la somme des moments dynamiques.
   • Employer si possible l’opérateur d’inertie et la formule $\vec{\delta}_{d} = I_O(S)\,\dot{\vec{\Omega}} + \vec{\Omega}\wedge\bigl(I_O(S)\,\vec{\Omega}\bigr)$.
   • Calculer (ou rappeler) la matrice d’inertie de la plaque et de la tige, puis la transporter au point $O$.
   • En déduire l’expression finale des composantes de $\vec{\delta}_{d}(S,O)$.

Chaque étape se présente avec :

• Les formules (citées au début ou rappelées au moment opportun),
• Les hypothèses (ex. point fixe, axe de rotation, expression de $\vec{\Omega}$),
• Le calcul (produit vectoriel, dérivation, etc.),
• Le résultat (projection sur la base $(x_0,y_0,z_0)$).

C’est ce qui permet une rédaction claire et complète.

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Exemple succinct d’écriture finale (pour la question 6)

*« On cherche le moment dynamique de $(S)$ en $O$.
Soit $\vec{\Omega}(t) = \dot{\phi}(t)\,\mathbf{x_0}$.
L’accélération de tout point $P$ de $(S)$ s’écrit :
$\vec{\gamma}_{P} = \vec{\gamma}_{O} + \dot{\vec{\Omega}}\wedge \overrightarrow{OP} + \vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge \overrightarrow{OP}).$
En supposant $O$ fixe dans $R_0$, on a $\vec{\gamma}_{O}=\vec{0}$.
Alors :

$$\vec{\delta}_{d}(S,O) = \int_{S} \overrightarrow{OP} \wedge \bigl(m\,\vec{\gamma}_{P}\bigr) = \int_{S} \overrightarrow{OP} \wedge \Bigl(m\,\bigl(\dot{\vec{\Omega}}\wedge \overrightarrow{OP}\bigr)\Bigr) \;+\; \int_{S} \overrightarrow{OP} \wedge \Bigl(m\,\bigl(\vec{\Omega}\wedge(\vec{\Omega}\wedge \overrightarrow{OP})\bigr)\Bigr).$$

On regroupe ces intégrales sous la forme :
$\vec{\delta}_{d}(S,O) = I_O(S)\,\dot{\vec{\Omega}} + \vec{\Omega}\wedge\bigl(I_O(S)\,\vec{\Omega}\bigr)$.
Enfin, en projetant $\vec{\Omega}$ sur l’axe $x_0$, on obtient l’expression des composantes … »*

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Remarque finale

La clé d’une bonne rédaction académique est de :

1. Citer les formules avant de les utiliser,
2. Définir clairement tous les vecteurs, points, et angles,
3. Montrer la cohérence entre la géométrie (position des points, axes) et les calculs (produits vectoriels, dérivées),
4. Projeter sur la base $(x_0,y_0,z_0)$ à la fin pour donner les composantes explicites,
5. Conclure en récapitulant la formule du moment dynamique $\vec{\delta}_{d}(S,O)$ (ou toute autre grandeur demandée).

C’est exactement ce que l’on attend dans un devoir de mécanique générale ou de cinématique/dynamique du solide.