阅读我上传的文献，中文回答我的问题，在论文里提到了公式（17），结合前后文分析（17），越详细越好，...

以下内容结合论文中出现的公式（17）以及其前后推导背景，给出一个较为详细的中文解读和推导说明。为了方便，先简单回顾文中相关符号、条件以及推导思路，然后逐步说明如何得到公式（17），以及其中使用到的关键原理和计算过程。

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1. 背景与主要思路

在论文中，作者研究了以下形式的泛函（此处以 $\lambda=1$ 的情形举例，方便说明）：

$$J(u) \;=\; \frac12 \|u\|^2 \;+\; \frac14 \int \phi_u\,u^2 \;-\; \frac{1}{2p} A(u),$$

其中

• $\|u\|$ 是在某个适当的能量空间 $E$ 上的范数（典型地为 $\|\nabla u\|_{L^2}^2 + \|u\|_{L^2}^2$ 的平方根）；
• $\displaystyle \phi_u = I_2 \ast |u|^2$ 表示通过泊松方程得到的电势项；
• $A(u) = \int \bigl(I_\alpha \ast |u|^p\bigr)\,\lvert u\rvert^p$ 则是含有 Riesz 位势 $I_\alpha$ 的非局部卷积项。

在讨论 Nehari流形 时，作者令

$$N \;=\;\bigl\{\,u \in E \setminus \{0\}\,\bigm|\,\langle J'(u),\,u\rangle \;=\; 0\bigr\}.$$

因为 $\langle J'(u),\,u\rangle = 0$ 等价于

$$\|u\|^2 \;+\; \int \phi_u\,u^2 \;-\; A(u) \;=\; 0,$$

这意味着每个 $u\in N$ 都是能量泛函 $J$ 的一个“非平凡”临界点候选（或处于与临界点相关的流形上）。

在引入了一个辅助函数

$$\psi(u) \;=\; \langle J'(u),\,u\rangle$$

之后，对 $\psi(u)$ 在 $u$ 上再做一次变分，可得到 $\psi'(u)$。文中想要用拉格朗日乘子法（Lagrange multiplier）来说明，当 $u$ 是 $J$ 在流形 $N$ 上的一个临界点时，必然存在某个实数 $\theta$，使得

$$J'(u) \;=\; \theta\,\psi'(u)\quad \text{(见公式(16))}.$$

然后，通过对这个等式取内积 $\langle \cdot,\,u\rangle$ 并结合 $\langle J'(u),u\rangle = 0$ 的约束，可以推出关于 $\langle \psi'(u),u\rangle$ 的不等式，即公式（17）。

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2. 公式（17）的具体形式

在论文截图中，公式（17）写作（根据原文可见）：

$$\langle \psi'(u),\,u\rangle \;=\; 2\,\|u\|^2 \;+\; 4\int \phi_u\,u^2 \;-\; 2p\,A(u) \;=\; -\,2\,\|u\|^2 \;-\;(2p - 4)\,A(u) \;\;\le\;\; -\,2\,\rho^2. \tag{17}$$

这里的 $\rho>0$ 是一个与 $u$ 的下界估计相关的常数（来自先前的推导，表明在该流形上 $\|u\|$ 不会太小，或有某种正下界），从而得到一个严格负的上界。

要看清楚该式的推导，我们需要知道：

1. 为什么 $\langle \psi'(u),\,u\rangle$ 可以化简为 $2\,\|u\|^2 + 4\int \phi_u\,u^2 - 2p\,A(u)$？
2. 为什么它又等于 $-\,2\,\|u\|^2 - (2p-4)\,A(u)$？
3. 最后为何能得到 $\le -2\rho^2$ 这样的不等式？

下面逐一解释。

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3. 详细推导过程

3.1 先写出 $\psi(u)$ 及其导数

定义

$$\psi(u) \;=\; \langle J'(u),\,u\rangle.$$

因为

$$J(u) =\; \frac12 \|u\|^2 \;+\; \frac14 \int \phi_u\,u^2 \;-\; \frac{1}{2p} A(u),$$

所以对 $u$ 做变分可得

$$J'(u) =\; \frac12 \cdot 2\,u \;\text{(来自 $\|u\|^2$ 的导数)}) \;+\; \frac14 \cdot \text{(关于 $\phi_u$ 的非局部导数)} \;-\; \frac{1}{2p}\,\frac{\partial}{\partial u} A(u).$$

将其与 $u$ 作内积，得到

$$\psi(u) =\; \langle J'(u),\,u\rangle =\; \|u\|^2 \;+\; \int \phi_u\,u^2 \;-\; A(u).$$

然而，由于在 Nehari 流形 $N$ 上有 $\psi(u) = 0$，这一步实际上等价于

$$\|u\|^2 \;+\; \int \phi_u\,u^2 \;-\; A(u) =\; 0.$$

但是要想计算 $\langle \psi'(u),\,u\rangle$，则需要对 $\psi(u)$ 再做一次“导数”，即求 $\psi'(u)$，然后再与 $u$ 作内积。

3.2 计算 $\langle \psi'(u),\,u\rangle$

通过对 $\psi(u) = \|u\|^2 + \int \phi_u\,u^2 - A(u)$ 做二次变分，可得到

$$\psi'(u) \;\longmapsto\; \langle \psi'(u),\,u\rangle \;=\; 2\,\|u\|^2 \;+\; 4\int \phi_u\,u^2 \;-\; 2p\,A(u).$$

这是因为：

1. $\|u\|^2$ 对 $u$ 的二次变分给出 $2\,\|u\|^2$；
2. $\int \phi_u\,u^2$ 对 $u$ 的二次变分会产生一个系数 4（大致可理解为对 $\phi_u$ 与 $u^2$ 的一阶导数，再乘以 2）；
3. $A(u)$ 的变分中，$|u|^p$ 的二次微分会带出 $p$ 和 2 个 $u$ 因子，故出现 $2p\,A(u)$ 的扣减项。

由此，就有了公式中的

$$\langle \psi'(u),\,u\rangle =\; 2\,\|u\|^2 \;+\; 4\int \phi_u\,u^2 \;-\; 2p\,A(u).$$

3.3 将 Nehari 流形的条件带入，化简为 $-2\,\|u\|^2 - (2p-4)\,A(u)$

由于 $u \in N$ 意味着 $\psi(u) = 0$，即

$$\|u\|^2 \;+\; \int \phi_u\,u^2 =\; A(u).$$

所以

$$\int \phi_u\,u^2 =\; A(u) \;-\; \|u\|^2.$$

将其代入上式可得

$$\langle \psi'(u),\,u\rangle =\; 2\,\|u\|^2 \;+\; 4\bigl[A(u) - \|u\|^2\bigr] \;-\; 2p\,A(u).$$

简单整理：

$$=\; 2\,\|u\|^2 + 4A(u) - 4\,\|u\|^2 \;-\; 2p\,A(u) \;=\; -2\,\|u\|^2 + (4 - 2p)\,A(u).$$

如果再把 $(4 - 2p)\,A(u)$ 写成 $-(2p-4)\,A(u)$，就得到

$$\langle \psi'(u),\,u\rangle =\; -2\,\|u\|^2 \;-\;(2p - 4)\,A(u).$$

3.4 不等式 $\le -2\,\rho^2$ 的由来

论文中在引理或命题之前，一般会先证明，在所考虑的 Nehari 流形上，$\|u\|$ 存在一个严格正的下界 $\rho$，即

$$\|u\| \;\ge\; \rho \;>\; 0,\quad \text{对所有 }u \in N.$$

这意味着 $\|u\|^2 \ge \rho^2$。并且由于 $A(u)$ 也和 $\|u\|$ 之间有相应的关系（比如利用 Hardy-Littlewood-Sobolev 类型或 Sobolev 嵌入估计等），可以保证上式中

$$-2\,\|u\|^2 \;-\;(2p - 4)\,A(u)$$

整体不会变为正数，甚至还能进一步估计出一个负数下界。文中给出的结果就是

$$\langle \psi'(u),\,u\rangle \;\;\le\;\; -\,2\,\rho^2.$$

这一步直观理解是：$\|u\|$ 不会无限接近 0，同时 $(2p-4)$ 又是正的(因为 $p>2$ 时 $2p-4>0$)，从而使得整个表达式严格小于某个负常数。

综上，公式（17）就顺利得到了。

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4. 拉格朗日乘子条件与 $\theta=0$ 的推断

在论文相邻的推导里，作者还用到了所谓“若 $u$ 在流形 $N$ 上是临界点，则由拉格朗日乘子定理可得 $J'(u)=\theta \,\psi'(u)$”（即公式(16)）。然后取与 $u$ 的内积，得到

$$\langle J'(u),\,u\rangle =\; \theta \,\langle \psi'(u),\,u\rangle.$$

但在 Nehari 流形上有 $\langle J'(u),\,u\rangle=0$。如果能够证明 $\langle \psi'(u),\,u\rangle$ 是一个严格负数（或小于等于某个负值），就可逼迫 $\theta$ 只能是 0，从而 $J'(u)=0$，说明 $u$ 不仅在流形上是极值，也是真正的能量泛函 $J$ 的临界点。公式（17）正是用来完成这一“严格负”估计的关键。

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5. 小结

• 核心思路：先定义 $\psi(u) = \langle J'(u),\,u\rangle$ 并在 Nehari 流形上有 $\psi(u)=0$。然后二次变分得到 $\langle \psi'(u),\,u\rangle$ 的显式表达。
• 关键代入：用 $\|u\|^2 + \int \phi_u u^2 = A(u)$（即 $\psi(u)=0$）化简，得到 $\langle \psi'(u),\,u\rangle$ 的等价形式。
• 不等式估计：依赖先前对 $\|u\|$ 和 $A(u)$ 的下界或上界估计，最终推得 $\langle \psi'(u),\,u\rangle \le -2\rho^2$，从而公式（17）成立。
• 用途：该不等式用于排除拉格朗日乘子中 $\theta\neq 0$ 的情况，从而帮助证明 $u$ 其实是整个泛函 $J$ 的临界点（即满足 $J'(u)=0$），并最终得到所需的解或基态解存在性结论。

这就是论文中公式（17）的来龙去脉以及完整的推导与计算原理。通过该步骤，可以保证当 $u$ 落在 Nehari 流形上并且满足一定条件时，$\langle \psi'(u),u\rangle$ 不会是零或正值，而是一个严格的负数，从而在后续的拉格朗日乘子法中得到 $\theta=0$ 的结论。

下面的回答将详细解释论文中**公式（20）**的由来及其计算原理，尤其是为什么会出现那些特定的幂指数。该公式出现在文中 Case 1: $\tfrac{3+\alpha}{3}<p<2$ 且 $2<\alpha<3$ 时，为了后续利用所谓的 Nehari–Pohozaev 方法或“缩放”技巧来处理泛函 $J(u)$ 的极值问题。

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1. 背景：为什么要引入公式（20）

论文中研究的能量泛函一般形如（此处以 $\lambda=1$ 为例）：

$$J(u) \;=\; \tfrac12 \|u\|^2 \;+\; \tfrac14 \int \phi_u\,u^2 \;-\; \tfrac{1}{2p} \int (I_\alpha \ast |u|^p)\,|u|^p,$$

其中

• $\|u\|^2 = \displaystyle \int_{\mathbb{R}^3} \bigl(|\nabla u|^2 + |u|^2\bigr)$；
• $\displaystyle \phi_u = I_2 \ast |u|^2$，满足 $-\Delta\phi_u = u^2$；
• $A(u) := \displaystyle \int (I_\alpha \ast |u|^p)\,|u|^p$。

在处理临界点问题时，作者往往需要一个缩放变换(scaling)来构造特殊的试探函数或在流形上进行“尺度分析”。在 Case 1 中，作者考虑了一类缩放：

$$u_t(x) \;:=\; t^s\,u\bigl(t^{-1}x\bigr),$$

其中 $t>0$ 和常数 $s$ 的取值范围是

$$s \;\in\; \Bigl(0,\;\frac{\alpha-2}{\,4-2p\,}\Bigr).$$

接着，将 $u_t$ 带入原泛函 $J$ 中，就得到公式（20）：

$$J(u_t) \;=\; \tfrac12\,t^{2s+1}\!\int |\nabla u|^2 \;+\;\tfrac12\,t^{2s+3}\!\int |u|^2 \;+\;\tfrac14\,t^{4s+5}\!\int \phi_u\,u^2 \;-\;\tfrac1{2p}\,t^{2ps+3+\alpha}\,A(u). \tag{20}$$

下面我们将分步解释这一公式中各项的由来，以及它们的指数是如何计算的。

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2. 缩放变换的具体形式

令

$$u_t(x) \;=\; t^s\,u\bigl(t^{-1}x\bigr),$$

要想将它代入到 $J(u)$ 的各个积分项中，需要对如下积分形式做变换：

1. $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u_t|^2$,
2. $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^3} |u_t|^2$,
3. $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^3} \phi_{u_t}\,(u_t)^2$,
4. $\displaystyle \int_{\mathbb{R}^3} (I_\alpha \ast |u_t|^p)\,|u_t|^p$, 即 $A(u_t)$.

在 $\mathbb{R}^3$ 中做坐标变换时，要注意：如果我们把 $y = t^{-1} x$，则 $x = t\,y$，且微元 $dx$ 与 $dy$ 的关系为

$$dx \;=\; t^3\,dy.$$

下面就逐项分析。

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2.1 梯度范数项 $\int |\nabla u_t|^2$ 的缩放

先看

$$\nabla u_t(x) \;=\; \nabla \Bigl(t^s\,u(t^{-1}x)\Bigr) \;=\; t^s \,\nabla \bigl(u(t^{-1}x)\bigr).$$

由于 $\nabla_x\,u(t^{-1}x) = t^{-1}\,\nabla_y\,u(y)$（其中 $y = t^{-1}x$），我们得到

$$|\nabla u_t(x)|^2 \;=\; t^{2s}\,\bigl|\nabla u(t^{-1}x)\bigr|^2 \;=\; t^{2s}\,t^{-2}\,\bigl|\nabla u(y)\bigr|^2 \;=\; t^{2s-2}\,\bigl|\nabla u(y)\bigr|^2.$$

接下来，把 $x$-积分换成 $y$-积分：

$$\int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u_t(x)|^2 \,dx \;=\; \int_{\mathbb{R}^3} t^{2s-2}\,|\nabla u(y)|^2 \,\bigl(t^3\,dy\bigr) \;=\; t^{2s-2} \,t^3 \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u(y)|^2\,dy \;=\; t^{2s+1}\,\int |\nabla u|^2.$$

由此得到梯度项 $\int|\nabla u_t|^2$ 在公式（20）中出现 $t^{2s+1}$ 的因子。

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2.2 $L^2$ 范数项 $\int |u_t|^2$ 的缩放

对 $\int |u_t|^2$ 做类似分析：

$$|u_t(x)|^2 \;=\; \bigl(t^s\,u(t^{-1}x)\bigr)^2 \;=\; t^{2s}\,\bigl|u(t^{-1}x)\bigr|^2.$$

同样令 $x = t\,y$，$dx = t^3\,dy$，则

$$\int_{\mathbb{R}^3} |u_t(x)|^2\,dx \;=\; \int_{\mathbb{R}^3} t^{2s}\,\bigl|u(y)\bigr|^2 \,\bigl(t^3\,dy\bigr) \;=\; t^{2s+3}\,\int_{\mathbb{R}^3} |u(y)|^2\,dy.$$

故在公式（20）里对应的 $L^2$ 项带来 $t^{2s+3}$。

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2.3 非局部项 $\int \phi_{u_t}\,(u_t)^2$

这一项的分析更复杂，因为 $\phi_{u_t}$ 本身也是卷积 $\phi_{u_t} = I_2 \ast |u_t|^2$。然而文中给出了一个简洁做法：在处理 Poisson 项时，记住 $\phi_u$ 满足

$$-\Delta \phi_u = u^2,$$

而在 $\mathbb{R}^3$ 里也有

$$\phi_u(x) = \frac{1}{4\pi}\int_{\mathbb{R}^3} \frac{u(y)^2}{|x-y|}\,dy.$$

从最终结果（20）来看，$\int \phi_u\,u^2$ 在缩放下出现了 $t^{4s+5}$。简单思路是：对 $\int \phi_{u_t}(x)\,(u_t)^2(x)\,dx$ 做变换，分拆为“$|u_t|^2$ + \Delta \phi_{u_t})”的结构，或者直接根据前人已知结论（见 [5]、[6] 等文献）：“在三维里，对 $\phi_u$ 的缩放大致会出现额外的 $t^2$ 的幂次累加”，具体推导与梯度、$L^2$ 的处理方法相似。作者在文中将这个计算过程省略到一句话或简单的引用，因此最终结论是：

$$\int_{\mathbb{R}^3} \phi_{u_t}(x)\,(u_t)^2(x)\,dx \;=\; t^{4s+5}\,\int_{\mathbb{R}^3} \phi_u(y)\,u(y)^2\,dy.$$

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2.4 Hartree 非线性项 $\int (I_\alpha \ast |u_t|^p)\,|u_t|^p$

令

$$A(u) \;=\; \int_{\mathbb{R}^3} (I_\alpha \ast |u|^p)\,|u|^p.$$

要分析 $A(u_t)$，需要注意：$|u_t(x)|^p = t^{ps}\,|u(t^{-1}x)|^p$，并结合三维空间的坐标变换，可得

$$A(u_t) \;=\; \int (I_\alpha \ast |u_t|^p)\,|u_t|^p \;=\; t^{2ps + (3 + \alpha)}\,\int (I_\alpha \ast |u|^p)\,|u|^p.$$

其中 $\alpha$ 次势 $I_\alpha(x) \sim |x|^{\alpha - 3}$ 在缩放下会带来一个 $t^{-\alpha}$ 的因子，加上体积变换 $t^3$ 和函数本身的振幅 $t^{ps}$ 等综合起来，最后合并指数得到 $t^{2ps + 3 + \alpha}$。

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3. 将各项合并得到公式（20）

把上面四部分加到一起，就得到作者在 Case 1 中写下的公式（20）：

$$\begin{aligned} J(u_t) &=\; \frac12 \int \bigl|\nabla u_t\bigr|^2 \;+\; \frac12 \int \bigl|u_t\bigr|^2 \;+\;\frac14 \int \phi_{u_t}\,(u_t)^2 \;-\;\frac{1}{2p} \int (I_\alpha \ast |u_t|^p)\,|u_t|^p \\[6pt] &=\; \frac12\,t^{2s+1}\!\int |\nabla u|^2 \;+\;\frac12\,t^{2s+3}\!\int |u|^2 \;+\;\frac14\,t^{4s+5}\!\int \phi_u\,u^2 \;-\;\frac1{2p}\,t^{\,2ps+3+\alpha}\,A(u). \end{aligned}$$

这就是文中**公式（20）**的具体来源与推导过程。

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4. 公式（20）后续的用处：求导与构造流形

• 后续操作：作者接下来对 (20) 两边关于 $t$ 在 $t=1$ 处做导数（即令 $t=1$），从而得到类似

  $$G_1(u) \;=\; \frac{d}{dt}\Bigl[J(u_t)\Bigr] \Bigl|_{t=1},$$

  并将此记作Pohozaev 型约束（见公式（21））。这种技巧通常称为“在同一个函数 $u$ 的族 $u_t$ 上考察能量泛函”，从而得到额外的等式或不等式约束。

• 在文中作用：通过定义

  $$M_1 \;=\; \bigl\{\,u\neq 0 : G_1(u)=0\bigr\},$$

  就得到所谓的 Nehari–Pohozaev 流形或子流形，用于寻找能量泛函的极小值或极值点，从而证明在某些区间内存在非平凡解、基态解等。

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5. 小结

1. 公式（20）核心在于缩放：$u_t(x) = t^s\,u(t^{-1}x)$ 在三维空间中的体积变换 ($dx = t^3 dy$) 以及函数自身振幅变换 ($t^s$) 共同作用，导致每一项出现了不同的幂次 $t^{2s+1}, t^{2s+3}, t^{4s+5}, t^{2ps+3+\alpha}$ 等。
2. 非局部项 $\int \phi_u\,u^2$ 和 $A(u)$ 的缩放也可以通过更细的积分变化或参考已知文献中的标准结论来得到。
3. 得到公式（20）后，文中进一步对其在 $t=1$ 处做微分，得到后续的 (21) 及其他约束方程，进而分析出在特定参数范围下，能量泛函有无界性、或在 Nehari 流形上如何最小化等，最终帮助作者证明所需的存在性与基态解性质。

这就是论文中公式（20）的推导来龙去脉，以及它在后续分析中所发挥的关键作用。

下面给出论文中公式（32）的详细推导背景与计算原理，并说明在这一推导过程中所用到的关键步骤与相关公式是如何被运用的。该公式出现在文中证明某个最小化序列（或临界序列）的收敛性与极值性质时，作者引用了先前的等式 (27) 与 (31)，进而得到

$$\Psi(\eta_n) \;=\; m_1 \;-\;\Psi(\bar{u}) \;+\; o_n(1), \quad G_1(\eta_n) \;=\; -\,G_1(\bar{u}) \;+\; o_n(1), \tag{32}$$

其中 $\eta_n$ 通常是指 $u_n-\bar{u}$（或者文中记为 $v_n$ 等），代表在“极限函数”$\bar{u}$ 附近的偏差。下面按照论文中的思路，分几步来详述这一推导及所依赖的关键公式。

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1. 前置背景：最小化序列、Brezis–Lieb 型分裂以及函数 $\Phi$

在论文的相关部分，作者考虑了一个在流形上（如 Nehari–Pohozaev 流形或其子流形）构造的最小化序列 $\{u_n\}\subset M_1$（或某个类似的流形），并记它的极限函数为 $\bar{u}$。

• 这里的 $\bar{u}\neq 0$ 常常是由“集中紧致”原理或“翻译不变性”推断出来的：若极限函数 $\bar{u}$ 不为零，就有机会表明它本身也落在相应流形上并满足一定的变分方程。
• 在分析此最小化序列时，需要用到 Brezis–Lieb 分裂技巧 来处理非局部项(例如 $\int \phi_u\,u^2$ 或 $\int (I_\alpha \ast |u|^p)|u|^p$ 等)。简言之，如果我们定义 $$v_n \;=\; u_n - \bar{u},$$ 那么对某些泛函 $F(\cdot)$，会有 $$F(u_n) \;=\; F(\bar{u}) \;+\; F(v_n) \;+\; o_n(1),$$ 当 $n\to\infty$ 时，$o_n(1)\to 0$。这便是作者在文中 (31) 式一类的结论来源。

同时，作者还在文中定义了一个辅助函数（或算子）$\Phi$，常见形式为：

$$\Phi(u) \;=\; J(u)\;-\;\frac{1}{4s+5}\,G_1(u),$$

其中

• $J(u)$ 是原能量泛函（或某个修正后的能量函数），
• $G_1(u)$ 则是对应 Pohozaev 型约束衍生出的另一函数（常见于“拉格朗日乘子 + Pohozaev 恒等式”的联合使用）。

这一定义保证了 $\Phi(u)$ 仍然在相关流形（如 $M_1$）上有一些良好性质。文中 (27) 就是类似地给出了 $\Phi(u)$ 的下界估计或显式表达。

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2. 已知的两个关键式子： (27) 与 (31)

在文中，为了最终得到 (32)，作者先在 (27) 给出类似下式（仅示意）：

$$\Phi(u) \;=\; J(u) \;-\;\frac{1}{4s+5}\,G_1(u) \;\ge\; \text{某个正数}\times \|u\|^2 \;>\;0, \tag{27}$$

并且在 (31) 中使用 Brezis–Lieb 分裂技巧（或相似的“分裂”结论）说明了对最小化序列 $\{u_n\}$，若定义

$$v_n := u_n - \bar{u},$$

就会有

$$J(u_n) = J(\bar{u}) + J(v_n) + o_n(1), \quad G_1(u_n) = G_1(\bar{u}) + G_1(v_n) + o_n(1). \tag{31}$$

这里 $o_n(1)$ 表示随 $n\to\infty$ 而消失的小量。

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3. 公式（32）的由来

由于作者要研究 $\Phi(u_n)$ 与 $\Phi(\bar{u})$ 的关系，以及相应的 $G_1(u_n)$ 与 $G_1(\bar{u})$ 之间的差异，所以把 (27) 与 (31) 结合在一起，套用到 $\{u_n\}$ 的分裂上，最后就得到下述形式的结论——也就是论文里的 (32)：

$$\Psi(\eta_n) \;=\; m_1 - \Psi(\bar{u}) \;+\; o_n(1), \quad G_1(\eta_n) \;=\; -\,G_1(\bar{u}) \;+\; o_n(1), \tag{32}$$

其中：

• $\eta_n$ 多数情况下就是上面所说的 $v_n = u_n - \bar{u}$（有的地方记作 $\eta_n$ 或 $v_n$）；
• $\Psi(\cdot)$ 可能就是 $\Phi(\cdot)$ 或等价变形（有时作者换了符号，但实质一样）；
• $m_1$ 是相应流形上的极小能量值（或极小值），即 $\displaystyle m_1=\inf_{u\in M_1} \Phi(u)$ 之类。

简言之，(32) 的第一部分 $\Psi(\eta_n) = m_1 - \Psi(\bar{u}) + o_n(1)$ 说明：

当把序列 $\{u_n\}$ 分裂成 $\bar{u} + \eta_n$ 时，$\eta_n$ 对 $\Psi$ 的贡献正好可以用“最小值 $- \Psi(\bar{u})$ + 小误差”来表示。

而 (32) 的第二部分 $G_1(\eta_n) = -\,G_1(\bar{u}) + o_n(1)$ 则体现：

同样地，$\eta_n$ 对 $G_1$ 的值也与 $\bar{u}$ 的值呈现“符号相反 + 小误差”的关系。

这些关系在后续证明“\bar{u}) 满足某个临界点条件”、“拉格朗日乘子 $\theta=0$”以及最终得到 $\bar{u}$ 是真正的解、能量泛函的极小解等过程中扮演了关键角色。

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4. 进一步解释：为什么能得到这样的分裂？

1. Brezis–Lieb 原理：
   对很多带非线性卷积项或非局部项的泛函 $J$，若 $\{u_n\}$ 有界并且 $u_n \rightharpoonup \bar{u}$（弱收敛），那么可以将泛函写成

   $$J(u_n) = J(\bar{u}) + J(u_n - \bar{u}) + o_n(1).$$

   这是“Brezis–Lieb 分裂”的典型结果（或者它的某些变形）。类似地，$G_1(u_n)$ 也可以拆分。

2. 把 (27) 与 (31) 代入：

   • (27) 中给出 $\Phi(u) = \dots \ge 0$ 以及相应的表达式；
   • (31) 中给出 $J(u_n) = J(\bar{u}) + J(v_n) + o_n(1)$ 及 $G_1(u_n) = G_1(\bar{u}) + G_1(v_n) + o_n(1)$。
     把 $\Phi$ 与 $G_1$ 的定义套用到上面分裂里，就自然能整理出公式 (32) 的两条等式。

3. $o_n(1)$ 的出现：
   $o_n(1)\to 0$ 反映的是当 $n\to\infty$ 时，某些误差项（例如积分中某部分的相互作用）逐渐变小或消失。关键在于要证明：在“好”的空间（如能量空间 $E$）里，非局部卷积项对分裂也有类似 Brezis–Lieb 的可加性。作者在文中（如 Lemma 2.2 等）详细说明了这类非局部分裂。

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5. 公式（32）后续用途：排除额外情况，得到主结论

在拿到 (32) 之后，作者往往会做如下操作：

• 取极限：令 $n\to\infty$，若假设 $\eta_n$（或 $v_n$）并不趋于 0，则会得到某些不可能的结论，从而迫使 $\bar{u}$ 满足相应的变分方程；或者反之，如果 $\eta_n\to 0$，也能说明 $\bar{u}$ 就是整个序列的极限解。
• 对比系数：因为 $\eta_n$ 与 $\bar{u}$ 在流形 $M_1$（或其它）里扮演不同角色，通过 (32) 可以推断出拉格朗日乘子必须为 0（这是论文中一大目标：消除“流形约束”只带来平凡的乘子，故而让 $\bar{u}$ 成为真正的自由临界点）。
• 结论：最终得到 $\bar{u}$ 确实是 (1) 式（或 (7) 式）非线性方程的非平凡解，并且由于是最小化序列，$\bar{u}$ 也具备“基态解”或“地能量解”的性质。

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6. 小结

1. (32) 的核心：

   $$\Psi(\eta_n) = m_1 - \Psi(\bar{u}) + o_n(1), \quad G_1(\eta_n) = - G_1(\bar{u}) + o_n(1).$$

   说明序列 $\eta_n$（即 $u_n-\bar{u}$）对辅助函数 $\Psi$ 与 $G_1$ 的贡献是“常数项 ± $\bar{u}$ 的贡献 + 小误差”。

2. 所用原理：

   • Brezis–Lieb 分裂或“分裂原理”在非局部泛函中的应用；
   • (27) 给出的辅助函数 $\Phi$ 或 $\Psi$ 的下界与显式表达；
   • (31) 则是对 $J(u_n)$、$G_1(u_n)$ 的分裂形式；
   • 将二者综合，就可推出 (32)。

3. 计算过程：

   • 明确定义 $v_n = u_n - \bar{u}$，将 $J(u_n)$、$G_1(u_n)$ 用“$\bar{u}$ + v_n + o_n(1)” 拆分；
   • 用 (27) 中对 $\Phi(u)$ 或 $\Psi(u)$ 的表达把这类分裂组合起来；
   • 整理后即可得到 (32) 的两个等式。

这样，(32) 在论文中就完成了对序列 $\{u_n\}$ 在流形上逼近极小值、且又与极限函数 $\bar{u}$ 发生“分裂”关系的定量描述，并为后续排除或证明某些乘子条件（如 $\theta=0$）提供了关键依据。正是借助 (32) 这样的分裂与估计，作者最终得到了所需的临界点存在性和基态解性质。

以下内容结合论文中出现的公式（37）及其前后文进行详细解读，阐述推导过程与所用原理，帮助理解为何会得到这样一个关系式。需要注意，论文中（35）式、（36）式和（37）式之间紧密关联：它们都来自研究在某个拉格朗日乘子框架下（即 $G_1'(u) = 0$）所引出的方程及其对应的 Pohozaev 恒等式。为方便说明，下文会先写出相关公式的原貌，然后分步解释推演逻辑。

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1. 相关背景：$G_1(u)$ 与方程 (35)

论文在研究 Nehari–Pohozaev 流形时，引入了一个函数（或算子）$G_1(u)$，其定义与参数 $\alpha, p$ 及辅助常数 $s$ 等相关。当在这个流形上寻找最小能量解时，需要用到拉格朗日乘子法，若某个极小化解 $u$ 同时满足

$$G_1(u)=0 \quad \text{且} \quad G_1'(u) = 0,$$

则可以得到一条满足一定非线性条件的椭圆型方程，即文中出现的公式 (35)。该式在弱形式上可写作

$$-\,(2s+1)\,\Delta u \;+\; (2s+3)\,u \;+\; (4s+5)\,\phi_u\,u \;-\; (2ps+3+\alpha)\,\bigl(I_\alpha \ast |u|^p\bigr)\,|u|^{p-2}\,u \;=\; 0, \tag{35}$$

这里

• $\Delta$ 是拉普拉斯算子，
• $\phi_u$ 满足 $-\Delta\phi_u = u^2$，
• $I_\alpha \ast |u|^p$ 则是 Riesz 位势卷积。

当 $G_1'(u)=0$ 时，上式即为 $u$ 所满足的椭圆方程。

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2. 由 (35) 得到的两个积分恒等式 (36)

一旦 (35) 成立，就可以对其做两种操作来获得积分形式的关系式：

1. 将 (35) 与 $u$ 相乘后在整个 $\mathbb{R}^3$ 上积分。
   这一步相当于在弱形式中取测试函数同为 $u$，从而得到第一个积分方程：

   $$(2s+1)\int |\nabla u|^2 \;+\;(2s+3)\int |u|^2 \;+\;(4s+5)\int \phi_u\,u^2 \;-\;(2ps+3+\alpha)\,A(u) \;=\; 0,$$

   其中 $A(u)=\displaystyle \int (I_\alpha\ast|u|^p)\,|u|^p$。

2. 对 (35) 应用 Pohozaev 恒等式。
   论文 Proposition 2.4 给出了适合该类非局部方程的 Pohozaev 等式。简单来说，Pohozaev 恒等式常见于对“$-\Delta u + \dots = 0$”类型方程做“乘以 $\sum x_i \partial_i u$”或“乘以 $x \cdot \nabla u$”后积分得到；文中则给出了适合包含 $\phi_u$ 与非局部卷积项 $\bigl(I_\alpha \ast |u|^p\bigr)$ 的版本。
   将此恒等式专门应用到方程 (35) 可得到论文 (36) 的第二条关系，形如

   $$\frac{2s+1}{2}\int |\nabla u|^2 \;+\;\frac{3\,(2s+3)}{2}\int |u|^2 \;+\;\frac{5\,(4s+5)}{4}\int \phi_u\,u^2 \;-\;\frac{(3+\alpha)\,\bigl(2ps+3+\alpha\bigr)}{2p}\,A(u) \;=\;0.$$

论文中将这两条结果并列写为 (36) 式，分别称“第一个方程”和“第二个方程”，即：

$$\begin{cases} (2s+1)\displaystyle\int |\nabla u|^2 + (2s+3)\displaystyle\int |u|^2 + (4s+5)\displaystyle\int \phi_u\,u^2 - (2ps+3+\alpha)\,A(u) = 0,\\[6pt] \dfrac{2s+1}{2}\displaystyle\int |\nabla u|^2 + \dfrac{3\,(2s+3)}{2}\displaystyle\int |u|^2 + \dfrac{5\,(4s+5)}{4}\displaystyle\int \phi_u\,u^2 - \dfrac{(3+\alpha)\,\bigl(2ps+3+\alpha\bigr)}{2p}\,A(u) = 0. \end{cases} \tag{36}$$

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3. 综合 (36) 式导出 (37)

接下来，论文将上面两条积分方程联立，经过线性组合或消去某些项，得到最终的公式 (37)。具体地，(37) 在文中写作：

$$2\,(2s+1)^2 \int |\nabla u|^2 \;+\;2\,(2s+3)^2 \int |u|^2 \;+\;(4s+5)^2 \int \phi_u\,u^2 \;-\;\frac{2}{p}\,(2ps+3+\alpha)^2\,A(u) \;=\;0. \tag{37}$$

3.1 为什么要得到 (37)？

在论文的推导中，(37) 用于展示：当假设 $G_1'(u)=0$（即 (35) 成立）时，会逼出某个不可能的结论（例如所有系数均为正却要求和为 0），从而说明在某些情形下不存在非平凡解，或者排除“拉格朗日乘子不为零”的可能性。正是因为 (37) 把若干积分量结合成一个整体等于 0，而每一项系数都可能是正或负，通过分析系数符号即可得出矛盾或限制。

3.2 线性组合过程概述

从 (36) 的两条等式可见，每条方程都含有相同的四种积分项：

1. $\int |\nabla u|^2$
2. $\int |u|^2$
3. $\int \phi_u\,u^2$
4. $A(u)$

只是系数不同。要得到 (37) 这样同时含有 $(2s+1)^2$、$(2s+3)^2$、$(4s+5)^2$、$(2ps+3+\alpha)^2$ 的形式，做法就是分别把 (36) 的第一式、第二式乘以适当常数，然后相加或相减，使得最终组合中每个积分项的系数变成对应的平方。文中在 (37) 之前提到“By (36), one has ...”，正是指将这两式线性组合后得到 (37)。

更直观地看，可写成：

• 第一个方程的系数：$(2s+1),\,(2s+3),\,(4s+5),\,(2ps+3+\alpha)$；
• 第二个方程的系数：$\frac{2s+1}{2},\,\frac{3(2s+3)}{2},\,\frac{5(4s+5)}{4},\,\frac{(3+\alpha)(2ps+3+\alpha)}{2p}$。

将它们做合适的“倍数叠加”就能得到 (37) 中系数 $(2s+1)^2$、$(2s+3)^2$、$(4s+5)^2$、$(2ps+3+\alpha)^2$。这样就得到一个新的恒等式 (37)，其形式是一串系数乘对应积分量之和为零。

3.3 (37) 的作用

论文中紧接着利用 (37) 来说明各项系数都是正（或非负）时却要和为零，这会导致 $u$ 必须是平凡解 $u\equiv 0$（或出现与假设矛盾的结果）。因此可以推翻“$G_1'(u)=0$ 且 $G_1(u)=0$”同时成立的可能性，从而在最小化过程中排除不该出现的解或系数情况。这也正是文中 Proposition 3.7 后段的逻辑：

“It is readily checked that all coefficients of $\int|\nabla u|^2$, $\int|u|^2$, $\int\phi_u u^2$ in the above identity are positive. This is absurd ...”

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4. 小结

• (35) 的来历：当在 Nehari–Pohozaev 流形或类似约束 $G_1(u)=0$ 上寻找极值时，通过拉格朗日乘子法可令 $G_1'(u)=0$。该条件在弱形式上对应一个带有 $\phi_u$ 与非局部卷积 $(I_\alpha \ast|u|^p)$ 的椭圆方程 (35)。
• (36) 的两个积分式：分别由 (35) “乘以 $u$”并积分，以及对 (35) 应用 Pohozaev 等式而来。它们列出四种积分量的线性组合为 0。
• (37) 的推导：对 (36) 的两条式子做恰当线性组合，使每个积分量的系数成为相应的“平方”形式，从而得到 (37)。
• (37) 的用途：在其后续论证中，通过观察这些系数都大于 0 却要和为 0，产生矛盾，证明某些情况下方程 (35) 并无非平凡解，或者拉格朗日乘子只能取零值，从而完成文中排除或断言的目标。

这便是论文里公式（37）的完整推导思路：先从 (35) 出发得到 (36) 的两条等式，再经线性组合获得 (37)，最终用于关键的不可能性或排除性论证。

下面用更“算术化”的方式说明：在文中 (36) 给出的两条积分恒等式分别是

$$\begin{cases} \displaystyle (2s+1)\int|\nabla u|^2 \;+\;(2s+3)\int|u|^2 \;+\;(4s+5)\int\phi_u\,u^2 \;-\;(2ps+3+\alpha)\,A(u) \;=\;0, \\[6pt] \dfrac{2s+1}{2}\int|\nabla u|^2 \;+\;\dfrac{3\,(2s+3)}{2}\int|u|^2 \;+\;\dfrac{5\,(4s+5)}{4}\int\phi_u\,u^2 \;-\;\dfrac{(3+\alpha)\,(2ps+3+\alpha)}{2p}\,A(u) \;=\;0. \end{cases} \tag{36}$$

而想要得到 (37) 的目标公式是

$$2\,(2s+1)^2\int|\nabla u|^2 \;+\;2\,(2s+3)^2\int|u|^2 \;+\;(4s+5)^2\int\phi_u\,u^2 \;-\;\dfrac{2}{p}\,\bigl(2ps+3+\alpha\bigr)^2\,A(u) \;=\;0. \tag{37}$$

关键做法就是对 (36) 的“第一条方程”与“第二条方程”分别乘以合适的常数（即所谓“倍数叠加”），然后把它们加起来，使得每个积分项的系数恰好变成 (37) 里所需要的系数。下面分步展示这一过程。

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1. 先标记 (36) 的两条方程

令

$$\begin{aligned} \text{(I)}:\quad &(2s+1)\int|\nabla u|^2 \;+\;(2s+3)\int|u|^2 \;+\;(4s+5)\int\phi_u\,u^2 \;-\;(2ps+3+\alpha)\,A(u) \;=\;0, \\[4pt] \text{(II)}:\quad &\frac{2s+1}{2}\int|\nabla u|^2 \;+\;\frac{3\,(2s+3)}{2}\int|u|^2 \;+\;\frac{5\,(4s+5)}{4}\int\phi_u\,u^2 \\ &\hspace{3.2cm} -\;\frac{(3+\alpha)\,(2ps+3+\alpha)}{2p}\,A(u) \;=\;0. \end{aligned}$$

我们的目标是寻找某两个实数系数 $\lambda_1,\lambda_2$，使得

$$\lambda_1 \times \text{(I)} \;+\;\lambda_2 \times \text{(II)}$$

最终合并为 (37) 所示的形式。

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2. 逐项比较系数

2.1 梯度项 $\displaystyle \int|\nabla u|^2$ 的系数

• 在 $\text{(I)}$ 中，此系数为 $(2s+1)$。
• 在 $\text{(II)}$ 中，此系数为 $\tfrac{2s+1}{2}$。

若将 (I) 乘以 $\lambda_1$，(II) 乘以 $\lambda_2$，则合并后

$$\int|\nabla u|^2 \text{ 的系数 } =\; \lambda_1\,(2s+1)\;+\;\lambda_2\,\Bigl(\tfrac{2s+1}{2}\Bigr).$$

而 (37) 要求该项系数成为 $2\,(2s+1)^2$。因此我们需满足

$$\lambda_1\,(2s+1)\;+\;\lambda_2\,\Bigl(\tfrac{2s+1}{2}\Bigr) \;=\; 2\,(2s+1)^2.$$

把 $(2s+1)$提到外面，就得到

$$(2s+1)\,\bigl(\lambda_1 \;+\;\tfrac{\lambda_2}{2}\bigr) \;=\;2\,(2s+1)^2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 \;+\;\tfrac{\lambda_2}{2} \;=\;2\,(2s+1). \tag{A}$$

2.2 $\displaystyle \int|u|^2$ 的系数

• (I) 中为 $(2s+3)$。
• (II) 中为 $\tfrac{3(2s+3)}{2}$。

所以合并后

$$\int|u|^2 \text{ 的系数 } =\;\lambda_1\,(2s+3)\;+\;\lambda_2\,\Bigl(\tfrac{3\,(2s+3)}{2}\Bigr).$$

(37) 要它变成 $2\,(2s+3)^2$。同理，

$$(2s+3)\,\Bigl(\lambda_1 + \tfrac{3\,\lambda_2}{2}\Bigr) \;=\; 2\,(2s+3)^2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 + \tfrac{3\,\lambda_2}{2} \;=\;2\,(2s+3). \tag{B}$$

2.3 $\displaystyle \int \phi_u\,u^2$ 的系数

• (I) 中为 $(4s+5)$。
• (II) 中为 $\tfrac{5\,(4s+5)}{4}$。

合并后

$$\int \phi_u\,u^2 \text{ 的系数 } =\;\lambda_1\,(4s+5)\;+\;\lambda_2\,\Bigl(\tfrac{5\,(4s+5)}{4}\Bigr).$$

(37) 要它成为 $(4s+5)^2$，即

$$(4s+5)\,\Bigl(\lambda_1 + \tfrac{5\,\lambda_2}{4}\Bigr) \;=\; (4s+5)^2 \quad\Longrightarrow\quad \lambda_1 + \tfrac{5\,\lambda_2}{4} \;=\;(4s+5). \tag{C}$$

2.4 $\displaystyle A(u)$ 的系数

• (I) 中是 $-\,(2ps+3+\alpha)$；
• (II) 中是 $-\,\tfrac{(3+\alpha)\,(2ps+3+\alpha)}{2p}$。

合并后应为 $-\,\tfrac{2}{p}\,(2ps+3+\alpha)^2$。也就是

$$-\Bigl[\lambda_1\,(2ps+3+\alpha)\;+\;\lambda_2\,\tfrac{(3+\alpha)\,(2ps+3+\alpha)}{2p}\Bigr] \;=\; -\,\dfrac{2}{p}\,\bigl(2ps+3+\alpha\bigr)^2.$$

把负号和 $(2ps+3+\alpha)$ 提取，可得

$$(2ps+3+\alpha)\,\Bigl[\lambda_1 + \lambda_2\,\tfrac{(3+\alpha)}{2p}\Bigr] \;=\; \dfrac{2}{p}\,\bigl(2ps+3+\alpha\bigr)^2,$$

故

$$\lambda_1 + \lambda_2\,\tfrac{(3+\alpha)}{2p} \;=\; \dfrac{2}{p}\,\bigl(2ps+3+\alpha\bigr). \tag{D}$$

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3. 解联立方程求 $\lambda_1,\lambda_2$

我们有四组约束 (A)(B)(C)(D)，但其实只需从前三组 (A)(B)(C) 解出 $\lambda_1,\lambda_2$ 并检验 (D) 是否自动满足即可。

• 由 (A): $\lambda_1 = 2(2s+1) - \tfrac12\,\lambda_2.$
• 带入 (B): $$\bigl[2(2s+1) - \tfrac12\,\lambda_2\bigr] \;+\;\tfrac32\,\lambda_2 \;=\; 2\,(2s+3).$$ 这等于 $$2(2s+1)\;+\;\Bigl(-\tfrac12 + \tfrac32\Bigr)\lambda_2 \;=\;2(2s+3) \quad\Longrightarrow\quad 2(2s+1) + \lambda_2 = 2(2s+3).$$ 因此 $$\lambda_2 = 2(2s+3) - 2(2s+1) = 4.$$ 再回代到 $\lambda_1$ 得 $$\lambda_1 = 2(2s+1) - \tfrac12 \times 4 = 2(2s+1) - 2 = 4s.$$
• 检验 (C): $$\lambda_1 + \tfrac{5\,\lambda_2}{4} = 4s + \tfrac{5\times 4}{4} = 4s + 5,$$ 正好等于 $(4s+5)$。所以 (C) 也满足。
• 最后把 $\lambda_1=4s,\lambda_2=4$ 带入 (D)，同样满足。

由此可知：只要把 (36) 的“第一式”乘以 $4s$ 再加上“第二式”乘以 4，就能让每个积分项的系数匹配 (37) 的要求。也就是说

$$\underbrace{4s\,\times\text{(I)}}_{\text{(36)第一式}} \;+\;\underbrace{4\,\times\text{(II)}}_{\text{(36)第二式}} \quad\Longrightarrow\quad (37).$$

这就是如何选择倍数进行线性组合，从而把 (36) 的两条恒等式合成为 (37) 的具体过程。

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4. 小结

• (36) 给出两条关于 $\int|\nabla u|^2$、$\int|u|^2$、$\int\phi_u\,u^2$、$A(u)$ 的线性组合为 0 的等式。
• (37) 则希望每个积分量都带上类似“平方系数”的形式：$2(2s+1)^2$、$2(2s+3)^2$、$(4s+5)^2$、$\frac{2}{p}(2ps+3+\alpha)^2$。
• 通过对 (36) 的第一式乘以 $4s$、第二式乘以 4，再把它们相加，即可一一对应地让各项系数变为所需值，从而得到 (37)。
• 这正是文中所说“By (36), one has …” 并最终推导出公式 (37) 的关键“倍数叠加”方法。