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💤: 我不能理解为什么瞬时速度是位矢的一阶导数 💤: 而不是位移的一阶导数

Créé le : 23 février 2025

Répondu en utilisant O1 par Chat01

Question

💤:
我不能理解为什么瞬时速度是位矢的一阶导数

💤:
而不是位移的一阶导数

Réflexion

Clarifying concepts

I’m working through the user’s confusion about velocity and displacement, emphasizing that velocity is derived from the position vector over time, not displacement.

Clarifying velocity

I’m detailing that velocity is the derivative of the position vector with respect to time, distinguishing it from displacement, which represents a difference in position vectors over time.

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Réponse

在初等力学或者运动学的表述中，常常会听到「速度是位矢的一阶导数」这个说法，也就是

v(t)  =  dr(t)dt\mathbf{v}(t) \;=\; \frac{d \mathbf{r}(t)}{dt}

而不是说「速度是位移的一阶导数」。很多同学会感到疑惑：** 位移和位矢**听起来都跟“位置”相关，为什么偏偏要用位矢的导数而不是位移的导数呢？下面从几个角度来做简要说明。

1. 先区分「位矢」与「位移」

  1. 位矢（Position Vector）

    • 定义：r(t)\mathbf{r}(t)是相对于某个固定参考原点OO（通常我们选取坐标系的原点）指向质点所在位置PP的矢量。
    • 作用：它完整描述了质点在某一时刻的位置，是一个关于时间 tt 的函数。

  2. 位移（Displacement）

    • 定义：当质点从时刻 t1t_1 的位置 r(t1)\mathbf{r}(t_1) 运动到时刻 t2t_2 的位置 r(t2)\mathbf{r}(t_2) 时，称 Δr=r(t2)−r(t1) \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(t_2) - \mathbf{r}(t_1) 为这段时间内质点位置变化的矢量差，也就是「位移」。
    • 作用：它描述的是质点在两个不同时刻位置变化的量，并不直接是一个随时间连续变化的函数，而更像是一段“增量”或“差值”。

因此，从本质上来说，位矢是描述质点“在任意时刻所处位置”的一个函数，属于随时间持续变化的量；而位移是某两个时刻位置的差，严格说是一个“区间量”或“增量”。

2. 速度的定义：平均速度与瞬时速度

2.1 平均速度

若只讨论一小段时间 Δt=t2−t1\Delta t = t_2 - t_1 内质点的运动，把这段时间内的位移记为 Δr=r(t2)−r(t1)\Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(t_2) - \mathbf{r}(t_1)。
则平均速度定义为：

vavg  =  ΔrΔt  =  r(t2)−r(t1)t2−t1 \mathbf{v}_{\text{avg}} \;=\; \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} \;=\; \frac{\mathbf{r}(t_2) - \mathbf{r}(t_1)}{t_2 - t_1}

2.2 瞬时速度

当我们把Δt\Delta t取得越来越小，趋近于 0 时，平均速度就趋于瞬时速度：

v(t)  =  lim⁡Δt→0ΔrΔt  =  lim⁡t2→t1r(t2)−r(t1)t2−t1  =  dr(t)dt. \mathbf{v}(t) \;=\; \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \mathbf{r}}{\Delta t} \;=\; \lim_{t_2 \to t_1} \frac{\mathbf{r}(t_2) - \mathbf{r}(t_1)}{t_2 - t_1} \;=\; \frac{d \mathbf{r}(t)}{dt}.

也就是说，在时间间隔极其微小的极限下，平均速度就变成了速度函数在那一时刻的值，而它正好是位矢函数 r(t)\mathbf{r}(t) 对时间 tt 的微分。

关键： 从「极限」的过程就可以看出来，最后得到的表达式正是r(t)\mathbf{r}(t)的导数。虽然在定义平均速度时我们确实用了“位移”Δr\Delta \mathbf{r}，但是要想获得一个“连续定义、随时刻变化”的瞬时速度函数，只能通过把位矢作为一个随时间变化的函数来微分。

3. 为什么不是“位移的一阶导数”？

  1. 位移本身并不是一个随时间连续变化的函数

    • 「位移」Δr\Delta \mathbf{r}是两个时刻位置的差值，一般写成 r(t2)−r(t1)\mathbf{r}(t_2) - \mathbf{r}(t_1)。如果你想“把它当做函数来对时间微分”，需要明确到底对哪个时间微分，以及另一个时间是常数吗？或者也是变量吗？
    • 通常做法是固定一个参考时刻 t0t_0，定义Δr(t)=r(t)−r(t0)\Delta \mathbf{r}(t) = \mathbf{r}(t) - \mathbf{r}(t_0)。可是这个Δr(t)\Delta \mathbf{r}(t)到头来依旧是r(t)\mathbf{r}(t)减一个常数矢量，其对 tt 的导数还是ddt(r(t)−r(t0))=dr(t)dt\frac{d}{dt}\bigl(\mathbf{r}(t)-\mathbf{r}(t_0)\bigr) = \frac{d\mathbf{r}(t)}{dt}。最终结果一样。

  2. 速度要针对“位置随时间的连续变化”来定义

    • 我们真正关心的是运动轨迹和随时间持续演变的速度加速度等量，故而从数学上最自然的处理就是把位置（即位矢）视作一个时刻 tt 连续变化的函数。
    • 做微分运算时，必然是对这个函数做导数，才得到速度函数 v(t)\mathbf{v}(t)、加速度函数 a(t)\mathbf{a}(t) 等。

换句话说，假设我们真的想“把位移当函数来微分”，最后我们还是会在定义这个位移函数时引入一个参考原点或基准时刻，那样子的话，就不如直接把位矢（本身就带有“参考原点”）当作基本的函数来处理更清晰。

4. 结论与总结

  • “位矢的一阶导数”这个说法，其实是一个瞬时速度的数学定义：把位置矢量 r(t)\mathbf{r}(t)视作一个函数，对它做关于时间的导数，得到速度 v(t)\mathbf{v}(t)。
  • “位移”Δr\Delta \mathbf{r}是同一个运动过程中“两个不同时刻位置差值”的概念，若要从这里出发定义瞬时速度，也要经过极限操作：Δr/Δt\Delta \mathbf{r}/\Delta t 当 Δt→0\Delta t \to 0 才能收敛到一个瞬时值。从这个角度看，最后也就回到drdt\frac{d\mathbf{r}}{dt}了。
  • 因此，你可以把“速度是位矢的一阶导数”看作是对运动方程最直接、最简洁的数学表述，它揭示了速度与位置在微积分意义上的关系，而“位移”通常用来计算两个时刻位置的差量、或者做平均速度的计算等。

简言之：

速度 = 对位矢进行求导（因为位矢 r(t)\mathbf{r}(t) 本身就是“关于时间的函数”）；
若从位移的角度，最后也需要借助Δr/Δt\Delta \mathbf{r}/\Delta t 的极限，结果同样指向drdt\frac{d\mathbf{r}}{dt}。

希望这样能帮助你理解，为什么我们在运动学中常说「瞬时速度是位矢的一阶导数」，而不是直接讲“位移的一阶导数”。

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