Три натуральных числа a, b и c таковы, что НОД ...
Créé le : 8 février 2025
Créé le : 8 février 2025
Три натуральных числа
a,
b и
c таковы, что НОД
(a,b)=2500, НОД
(a,c)=200, НОД
(b,c)=100.
Какое наименьшее значение может принимать НОК
(a,b,c)?
Пример записи ответа:
17
Разберём задачу по шагам. Пусть
(без учёта других простых делителей, поскольку наличие дополнительных простых множителей только увеличивало бы НОК и не позволяло бы «точно» получить данные НОД).
Из условий:
Из второй точки следует, что и .
Из третьей точки при чтобы , необходимо .
Тогда из получаем . Но так как , то не может быть 2, остаётся .
Аналогично, чтобы , можно взять .
Итого по степеням двойки:
Аналогично:
Из (1) получаем ;
из (2) при должно быть , чтобы ;
из (3) при получаем , значит . Но чтобы , достаточно взять .
Таким образом,
Всё совпало с условиями.
НОК определяется как произведение по всем простым максимальных степеней . В нашем случае:
Следовательно,
Ответ: 5000.
Три натуральных числа
a,
b и
c таковы, что НОД
(a,b)=2500, НОД
(a,c)=200, НОД
(b,c)=100.
Какое наименьшее значение может принимать НОК
(a,b,c)?
Пример записи ответа:
17
pythonimport math # Данные из условия: gcd_ab = 2500 # НОД(a, b) gcd_ac = 200 # НОД(a, c) gcd_bc = 100 # НОД(b, c) # Находим НОК(a, b, c) по формуле: # LCM(a, b, c) = (gcd_ab * gcd_ac * gcd_bc) / gcd(a, b, c) # где gcd(a, b, c) = НОД(НОД(a, b), c) gcd_abc = math.gcd(gcd_ab, gcd_bc) # Находим НОД(a, b, c) lcm_abc = (gcd_ab * gcd_ac * gcd_bc) // gcd_abc lcm_abc
Наименьшее значение, которое может принимать НОК(a, b, c), равно 500000.
Вася, Петя и Коля собирали яблоки. Число яблок, собранных Васей, составляет
20% от числа яблок, собранных Петей и Колей вместе. Число яблок, собранных Петей, составляет одну треть от числа яблок, собранных Васей и Колей вместе.
Сколько процентов от числа яблок, собранные Петей и Васей вместе, составляет число яблок, собранных Колей?
Пример записи ответа:
17
Обозначим:
Подставляем во второе уравнение:
Раскрываем скобки:
Умножим обе стороны на 3:
Теперь выразим :
Теперь найдём, сколько процентов от составляет :
Доля от :
Ответ: 140.
Три велосипедиста, стартовавшие одновременно, едут с постоянными скоростями по круглой трассе. Через
10 минут после старта первый велосипедист впервые догнал и обогнал (на круг) третьего, а ещё через
4 минуты — второго. Через сколько минут после старта второй велосипедист впервые догонит третьего?
Пример записи ответа:
17
Обозначим:
Задача сообщает, что первый велосипедист догнал третьего через 10 минут, а второго — через 4 минуты. Это означает, что разница в скорости между первым и третьим составляет
Разница в скорости между первым и вторым составляет
Нам нужно найти, через сколько минут второй велосипедист догонит третьего, то есть решить задачу для разницы в скорости между вторым и третьим:
где — время, через которое второй велосипедист догонит третьего.
Для этого найдём разницу в скоростях. Из первого и второго уравнений можно выразить :
и
Приравняем два выражения для :
Преобразуем это уравнение:
Таким образом, разница в скорости между вторым и третьим велосипедистом составляет круга в минуту. Это значит, что второй велосипедист догоняет третьего за
Ответ: 6.67 минут.
Три велосипедиста, стартовавшие одновременно, едут с постоянными скоростями по круглой трассе. Через
10 минут после старта первый велосипедист впервые догнал и обогнал (на круг) третьего, а ещё через
4 минуты — второго. Через сколько минут после старта второй велосипедист впервые догонит третьего?
Пример записи ответа:
17
Обозначим:
Первый велосипедист догнал третьего через 10 минут, т.е. за это время он проехал на 1 круг больше, чем третий.
Первый велосипедист догнал второго через 4 минуты после этого, т.е. через 14 минут от старта, проехав на 1 круг больше, чем второй.
Приведём к общему знаменателю (наименьший общий знаменатель — 70):
Таким образом,
Второй велосипедист догоняет третьего на 1 круг со скоростью , поэтому время будет:
Ответ: 35.
Вася, Петя и Коля собирали яблоки. Число яблок, собранных Васей, составляет
20% от числа яблок, собранных Петей и Колей вместе. Число яблок, собранных Петей, составляет одну треть от числа яблок, собранных Васей и Колей вместе.
Сколько процентов от числа яблок, собранные Петей и Васей вместе, составляет число яблок, собранных Колей?
Пример записи ответа:
17
Обозначим количество собранных яблок:
Подставляем во второе уравнение:
Раскрываем скобки:
Умножим обе стороны на 3:
Теперь выразим :
Доля от :
Ответ: 140.