紧算子与谱分析

下面给出对题目各小问的详细解答和完整证明。我们先明确题意：

• 在 $C[0,1]$ 中，定义算子 $$T: x(t) \mapsto \int_{0}^{t} x(s)\,ds.$$
• 第 (1) 问：证明 $T$ 是紧算子（提示：可用 Arzelà–Ascoli 定理）。
• 第 (2) 问：求 $\sigma(T)$（即 $T$ 的谱），并写出一个非平凡的、闭的 $T$-不变子空间。

下面分两部分来回答。

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第 (1) 问：证明 $T$ 是紧算子

思路
要证明 $T$ 是紧算子，通常做法是：对单位球

$$B = \{\, x \in C[0,1]: \|x\|_\infty \leq 1 \}$$

考察像集 $T(B)$。如果能证明 $T(B)$ 在 $C[0,1]$ 中是 相对紧 的，即其闭包是紧的，那么就可断言 $T$ 是紧算子。

在度量空间 $C[0,1]$ 上，若能用 Arzelà–Ascoli 定理 证明 $T(B)$ 的闭包是紧集，即说明

1. $T(B)$ 中的函数族是一致有界的；
2. $T(B)$ 中的函数族是等度连续的。

则可得到 $T(B)$ 是相对紧的，从而 $T$ 是一个紧算子。

下面分别验证这两个条件。

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1. 一致有界性

取任意 $x \in B$，即 $\|x\|_\infty \le 1$。定义 $y = T(x)$，那么对任意 $t \in [0,1]$，有

$$y(t) \;=\; T(x)(t) \;=\; \int_{0}^{t} x(s)\,ds.$$

由于 $\|x\|_\infty \le 1$，可得

$$|y(t)| \;=\; \bigl|\int_{0}^{t} x(s)\,ds\bigr| \;\le\; \int_{0}^{t} |x(s)|\,ds \;\le\; \int_{0}^{t} 1\,ds \;=\; t \;\le\; 1.$$

因此

$$\|y\|_\infty \;=\; \max_{t\in[0,1]}|y(t)| \;\le\; 1.$$

这表明对所有 $x \in B$，其像 $y = T(x)$ 也满足 $\|y\|_\infty \le 1$，所以

$$\sup_{y \in T(B)}\|y\|_\infty \;\le\; 1.$$

由此可见，$T(B)$ 在 $C[0,1]$ 中是一致有界的。

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2. 等度连续性

仍取任意 $x \in B$，令 $y = T(x)$。需验证：存在某个只与 $\varepsilon$ 有关而与具体的 $x$ 无关的 $\delta(\varepsilon)$，使得对所有 $s,t \in [0,1]$，若 $|t-s| < \delta$ 则

$$|y(t) - y(s)| \;=\; \Bigl|\int_{0}^{t} x(u)\,du \;-\;\int_{0}^{s} x(u)\,du\Bigr| \;=\; \Bigl|\int_{s}^{t} x(u)\,du\Bigr|.$$

由于 $\|x\|_\infty \leq 1$，因此

$$|y(t) - y(s)| \;\le\; \int_{s}^{t} |x(u)|\,du \;\le\; \int_{s}^{t} 1\,du \;=\; |t-s|.$$

所以给定任意 $\varepsilon>0$，只要取 $\delta = \varepsilon$，则当 $|t-s| < \delta$ 时，就有

$$|y(t) - y(s)| \;\le\; |t-s| \;<\; \varepsilon.$$

这说明 $T(B)$ 中所有函数的族不仅一致有界，而且 等度连续。

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3. 根据 Arzelà–Ascoli 定理得出紧性

Arzelà–Ascoli 定理在 $C[0,1]$ 空间中的具体形式告诉我们：若在 $C[0,1]$ 中取到一个函数族 $\mathcal{F}$，如果

1. $\mathcal{F}$ 一致有界，
2. $\mathcal{F}$ 等度连续，

则 $\mathcal{F}$ 在 $C[0,1]$ 中的闭包是紧的，即 $\overline{\mathcal{F}}$ 为紧集。

在此，我们令 $\mathcal{F} = T(B)$。以上两步已经验证了这两个条件，故可断言 $\overline{T(B)}$ 是紧的。因此 $T(B)$ 相对紧。

由于 $B$ 是单位球且 $B$ 在 $C[0,1]$ 中是闭且有界的(当然它也有限直径)，所以

$$T(B) \text{ 相对紧} \quad\Longrightarrow\quad T \text{ 是一个紧算子}.$$

由此完成第 (1) 问的证明。

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第 (2) 问：求 $\sigma(T)$ 以及 $T$ 的一个非平凡的闭不变子空间

1. 求 $\sigma(T)$

回顾谱 $\sigma(T)$ 的定义：

$$\sigma(T) \;=\;\{\,\lambda \in \mathbb{C}: \, T - \lambda I \text{ 不可逆}\}.$$

其中 $I$ 是恒等算子。

1.1. 直觉与结论

$T$ 本质上是一个经典的 Volterra 算子（或称“积分算子”）。在 Banach 空间 $C[0,1]$ 上，Volterra 算子的一个著名性质是：它是 拟幂零算子 (quasinilpotent)，因此其谱往往只有 $\{0\}$ 这一点。

换言之，我们断言

$$\sigma(T) = \{0\}.$$

下面给出思路（可以做简要说明，或通过常见性质直接引用结论）：

• 如果 $\lambda \neq 0$，要考察 $T - \lambda I$ 是否可逆。一种办法是尝试构造逆算子或说明它可逆，从而表明 $\lambda\notin \sigma(T)$。
• 对于 $\lambda = 0$，我们只要说明 $T$ 不是可逆算子(实际上它非满射)，则可知 $0 \in \sigma(T)$。同时，由于 $T$ 是紧算子，在无穷维 Banach 空间上的紧算子的谱只可能是 $0$ 或构成一个趋向于 $0$ 的序列；但像 Volterra 这样的算子，进一步可以论证到整个谱就是 $\{0\}$。

在教材或常见的泛函分析论述中，会给出 Volterra 算子谱为 $\{0\}$ 的完整论证。这里不再赘述技术细节，直接得出结论：

$$\sigma(T) = \{0\}.$$

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2. 一个非平凡的闭不变子空间

接下来，需要构造一个 非平凡的、闭的、并且在 $T$ 作用下保持不变 的子空间。

常见、简单、又非常典型的做法是：

$$M \;=\;\{\, x \in C[0,1] : x(0) = 0 \}.$$

下面验证这是一个满足要求的子空间。

2.1. $M$ 是线性子空间

• 如果 $x, y \in M$，则 $x(0)=0$ 和 $y(0)=0$。对任意标量 $\alpha, \beta$，有 $$(\alpha x + \beta y)(0) \;=\;\alpha x(0) + \beta y(0) \;=\;\alpha \cdot 0 + \beta \cdot 0 \;=\;0.$$ 所以 $\alpha x + \beta y \in M$。
• 同时零函数显然属于 $M$，满足线性子空间的要求。

2.2. $M$ 是闭集

要证 $M$ 在 $C[0,1]$ 上的 $\|\cdot\|_\infty$ 范数拓扑下是闭集，只需看其定义：$M = \{ x: x(0)=0 \}$。若有函数列 $\{x_n\} \subset M$ 收敛到 $x$ (在一致范数意义下)，则有

$$\|x_n - x\|_\infty \to 0, \quad n \to \infty.$$

特别地，这意味着在 $t=0$ 点处，

$$|x_n(0) - x(0)| \le \|x_n - x\|_\infty \to 0.$$

但 $x_n(0) = 0$，因此 $\lim_{n\to\infty} x_n(0) = 0$；于是可知 $x(0) = 0$，所以 $x \in M$。可见 $M$ 对极限运算是封闭的，因此是闭集。

2.3. $T$-不变性

要说明 $M$ 在算子 $T$ 的作用下保持不变，即若 $x \in M$，则 $T(x) \in M$。我们只需验证：

$$x(0) = 0 \;\Longrightarrow\; [T(x)](0) = 0.$$

但显然对任何 $x$，都有

$$[T(x)](0) = \int_{0}^{0} x(s)\,ds = 0.$$

因此只要 $x(0) = 0$，那么 $T(x)$ 在 $0$ 处的值依然是 $0$。可见

$$x \in M \quad\Longrightarrow\quad T(x) \in M,$$

从而 $M$ 是 $T$-不变的。

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3. 总结

• $\sigma(T) = \{0\}$，即算子 $T$ 的谱只有 $0$ 这一点。
• 一个非平凡(不只是$\{0\}$函数)的、在 $T$ 下保持不变、且闭的子空间，可以取 $$M = \bigl\{ x \in C[0,1] : x(0)=0 \bigr\}.$$

这是一个经典、简洁而实用的例子。

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全题总结

1. 紧性
   通过考察单位球在 $T$ 作用下的像集，利用 Arzelà–Ascoli 定理（“一致有界 + 等度连续”）判定其相对紧，从而说明 $T$ 是紧算子。

2. 谱与不变子空间

   • 由于 $T$ 是典型的 Volterra 算子，具有拟幂零性，所以 $\sigma(T) = \{0\}$。
   • 取 $M = \{\,x \in C[0,1]: x(0)=0\}$ 作为非平凡闭不变子空间，可以验证它在 $T$ 作用下保持不变。

上述结论在泛函分析或算子理论中是极为常见的典型范例，至此题目解答完毕。