Chứng minh và số dư
Créé le : 29 décembre 2024
Créé le : 29 décembre 2024
Câu 2 (7,0 điểm)
Với mỗi số nguyên n \geq 0 , đặt u_n = \left( 2 + \sqrt{5} \right)^n + \left( 2 - \sqrt{5} \right)^n .
a) Chứng minh rằng u_n là số nguyên dương với mọi n \geq 0 . Khi n thay đổi, số dư của u_n khi chia cho 24 lớn nhất bằng bao nhiêu?
Phần a)
Chúng ta cần chứng minh rằng là số nguyên dương với mọi .
Bước 1: Xác định mệnh đề cơ sở
Bước 2: Xác định quy nạp
Xét :
Sử dụng công thức khai triển:
Tính và :
Vậy:
Tuy nhiên, do là số nguyên và biểu thức trên liên quan đến sự đối xứng của các căn thức, ta có thể tìm được mối quan hệ quy nạp đơn giản hơn thông qua phương trình đặc trưng.
Phương trình đặc trưng: Vì và là nghiệm của phương trình , nên dãy thỏa mãn:
Với và .
Bước 3: Quy nạp
Giả sử với mọi , là số nguyên dương. Khi đó:
Là tổng của các số nguyên dương, nên cũng là số nguyên dương. Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học, là số nguyên dương với mọi .
Phần b)
Chúng ta cần tìm số dư lớn nhất của khi chia cho 24.
Bước 1: Tính các giá trị modulo 24
Dựa vào mối quan hệ quy nạp , ta tính các giá trị modulo 24:
Ta thấy chu kỳ lặp lại sau 8 bước:
Bước 2: Xác định số dư lớn nhất
Các số dư trong chu kỳ là: 2, 4, 10, 18, 20. Số dư lớn nhất là 20.
Kết luận:
Trả lời: Số luôn là số nguyên dương và khi chia cho 24, số dư lớn nhất của là 20.
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (a, b) nhỏ hơn 500 sao cho với mọi n lẻ ta có .
Phần b)
Chúng ta cần tìm tất cả các cặp số nguyên nhỏ hơn 500 sao cho với mọi lẻ, ta có:
Với .
Phân tích yêu cầu:
Yêu cầu rằng cho mọi lẻ, phải thỏa mãn:
Điều này có nghĩa là giá trị phải đồng thời thỏa mãn tất cả các điều kiện tương ứng với từng cho các lẻ khác nhau.
Xét các giá trị cho các lẻ:
Dựa vào phần a), ta có thể tính các giá trị cho một số giá trị lẻ nhỏ:
Nhận thấy rằng các giá trị cho các lẻ không cố định mà thay đổi liên tục.
Phân tích điều kiện:
Để tồn tại cặp thỏa mãn với mọi lẻ, thì phải:
Tức là, phải đồng thời thỏa mãn:
a^2 - b^2 \equiv 4 \pmod{1111} \\ a^2 - b^2 \equiv 76 \pmod{1111} \\ a^2 - b^2 \equiv 253 \pmod{1111} \\ &\vdotsĐiều này dẫn đến yêu cầu:
Nhưng rõ ràng:
76 - 4 = 72 \not\equiv 0 \pmod{1111} \\ 253 - 76 = 177 \not\equiv 0 \pmod{1111} \\ &\vdotsĐiều này mâu thuẫn, vì không thể đồng thời thỏa mãn với các giá trị khác nhau.
Kết luận:
Không tồn tại cặp số nguyên nhỏ hơn 500 sao cho với mọi lẻ, .
Trả lời:
Không tồn tại cặp số nguyên nhỏ hơn 500 thỏa mãn yêu cầu đã cho.