甲乙丙步行问题

分析过程：

设：

• A、B两地间距为 490 米。
• 甲从 A 出发（记 A 点为 0 米处），乙从 B 出发（记 B 点为 490 米处），二人同时相向而行。
• 丙与甲同时从 A 出发，丙在甲、乙之间不停来回奔跑：遇到乙即刻转身向甲跑，遇到甲即刻转身向乙跑，速度不变。
• 已知丙的速度为 240 米/分，甲的速度为 40 米/分。
• 当丙第一次跑到乙处后立刻折返，并在返回途中与甲相遇时，此刻甲、乙两人之间的距离为 210 米。

要求：
(1) 求乙的速度（记为 v_乙）。
(2) 当甲下一次遇到丙时，甲、乙之间相距多少米？

步骤详解：

1. 定义符号和初始条件：

   • 初始时刻 t=0：
     甲在 0 米处，向右（B方向）以 40 米/分行走。
     乙在 490 米处，向左（A方向）以 v_乙 米/分行走（v_乙未知）。
     丙在 0 米处，以 240 米/分向右跑。

   因为甲、乙相向而行，甲的位置随时间 t 为：
   $x_{甲}(t) = 40t$

   乙的位置为：
   $x_{乙}(t) = 490 - v_{乙} t$

   丙第一次出发时，向右奔向乙，位置为：
   $x_{丙}(t) = 240t$（第一个往右阶段）

2. 求丙第一次与乙相遇的时间 T0：
   丙、乙相遇时 $x_{丙}(T_0) = x_{乙}(T_0)$，故：

   $$240T_0 = 490 - v_{乙}T_0$$ $$240T_0 + v_{乙}T_0 = 490$$ $$T_0(240 + v_{乙}) = 490$$ $$T_0 = \frac{490}{240 + v_{乙}}$$

   此时相遇点位置为：
   $x_{相遇1} = 240T_0$

3. 丙第一次遇乙后调头返回遇甲的时间：
   丙在 T_0 时刻与乙相遇后，立刻向左（回甲方向）跑，速度仍为 240 米/分。

   在 $t > T_0$ 时刻，设 $\Delta t = t - T_0$。此时丙的位置为：
   $x_{丙}(t) = x_{相遇1} - 240\Delta t = 240T_0 - 240(t - T_0)$

   甲的位置始终为：
   $x_{甲}(t) = 40t$

   丙与甲再次相遇（第一次折返后与甲相遇）时，有

   $$40t = 240T_0 - 240(t - T_0)$$

   展开：

   $$40t = 240T_0 - 240t + 240T_0$$ $$40t = 480T_0 - 240t$$ $$40t + 240t = 480T_0$$ $$280t = 480T_0$$ $$t = \frac{480}{280}T_0 = \frac{12}{7}T_0$$

   我们记此相遇时间为 $t_2 = \frac{12}{7}T_0$。

4. 已知此时甲、乙相距210米，建立方程求 v_乙：
   当 $t = t_2 = \frac{12}{7}T_0$ 时，
   甲的位置：

   $$x_{甲}(t_2) = 40t_2 = 40 \cdot \frac{12}{7}T_0 = \frac{480}{7}T_0$$

   乙的位置：

   $$x_{乙}(t_2) = 490 - v_{乙}t_2 = 490 - v_{乙}\cdot\frac{12}{7}T_0$$

   两者距离为210米：

   $$x_{乙}(t_2) - x_{甲}(t_2) = 210$$

   即：

   $$(490 - v_{乙}\cdot\frac{12}{7}T_0) - \frac{480}{7}T_0 = 210$$

   将 $T_0 = \frac{490}{240 + v_{乙}}$ 代入：

   $$490 - \frac{12}{7}v_{乙} \cdot \frac{490}{240 + v_{乙}} - \frac{480}{7}\cdot\frac{490}{240 + v_{乙}} = 210$$

   合并分母 $(240+v_{乙})$ 和因子 $\frac{1}{7}$：
   首先提取 $\frac{490}{240 + v_{乙}}$ 公因子：

   $$490 - \frac{490}{240 + v_{乙}}\left(\frac{12}{7}v_{乙} + \frac{480}{7}\right) = 210$$

   $\frac{12}{7}v_{乙} + \frac{480}{7} = \frac{12v_{乙} + 480}{7}$

   故：

   $$490 - \frac{490}{240 + v_{乙}}\cdot\frac{12v_{乙}+480}{7} = 210$$

   将 210 移到左侧：

   $$490 - 210 = \frac{490}{240 + v_{乙}}\cdot\frac{12v_{乙}+480}{7}$$ $$280 = \frac{490(12v_{乙}+480)}{7(240 + v_{乙})}$$ $$280 \cdot 7(240 + v_{乙}) = 490(12v_{乙}+480)$$

   左侧：

   $$1960(240 + v_{乙}) = 490(12v_{乙}+480)$$

   展开右侧：

   $$1960 \cdot 240 + 1960 v_{乙} = 490 \cdot 12v_{乙} + 490 \cdot 480$$

   计算常数：
   $1960 \cdot 240 = 470400$
   $490 \cdot 480 = 235200$

   方程变为：

   $$470400 + 1960 v_{乙} = 5880 v_{乙} + 235200$$

   移项：

   $$470400 - 235200 = 5880v_{乙} - 1960v_{乙}$$ $$235200 = 3920v_{乙}$$ $$v_{乙} = \frac{235200}{3920} = 60 \text{米/分}$$

   得出乙的速度为 60 米/分。

5. 乙的速度已知（60米/分），验证时间点：
   $v_{乙}=60$ 后，

   $$T_0 = \frac{490}{240+60} = \frac{490}{300} = \frac{49}{30} \approx 1.6333 \text{分}$$

   在 $t_2 = \frac{12}{7}T_0 = \frac{12}{7}\cdot \frac{49}{30} = \frac{588}{210} = 2.8 \text{分}$
   甲位置：$40 \times 2.8 = 112$米
   乙位置：$490 - 60 \times 2.8 = 490 -168 = 322$米
   相距：322 -112=210米，与题意吻合。

   第一问答案：乙每分钟走 60 米。

6. 求甲下一次遇到丙时，甲、乙相距多少米？

   已知在 t=2.8 分时丙又在甲处（112米处）。接下来丙向乙方向跑。

   • 丙从112米处向右跑，速度240米/分。

   • 找丙下一次遇乙的时间（记为 t_3）：

     丙位置：$x_{丙}(t)=112+240(t-2.8)$
     乙位置：$x_{乙}(t)=490-60t$

     相遇条件：

     $$112 + 240(t-2.8) = 490 -60 t$$ $$240t -672 +112 =490 -60 t$$ $$240t -560=490 -60 t$$ $$240t +60 t=490+560$$ $$300t=1050$$ $$t=3.5 \text{分}$$

     此时丙、乙相遇点为：
     $x_{乙}(3.5)=490 -60 \times 3.5=490-210=280$米
     丙位置也 280米；甲位置：$x_{甲}(3.5)=40\times3.5=140$米
     此时甲、乙距离为 280-140=140米。

     丙再次折返，往甲方向跑。

   • 求丙再遇甲的时间（记为 t_4）：

     此时 t=3.5 分，丙在280米处向左跑（240米/分向甲方向），甲仍向右走。
     丙位置：$x_{丙}(t)=280 -240(t-3.5)$
     甲位置：$x_{甲}(t)=40t$

     相遇条件：

     $$40t=280 -240(t-3.5)$$ $$40t=280 -240t+840$$ $$40t=1120 -240t$$ $$40t+240t=1120$$ $$280t=1120$$ $$t=4.0 \text{分}$$

     在 t=4.0 分时： 甲位置：$x_{甲}(4)=40 \times 4=160$米
     乙位置：$x_{乙}(4)=490 -60 \times 4=490 -240=250$米
     甲、乙距离=250-160=90米。

     即甲下一次遇到丙时，甲、乙相距 90 米。

最终答案：
乙的速度为 60米/分，甲下一次遇到丙时，甲、乙相距 90米。