Минимальное основание системы
Créé le : 8 décembre 2024
Créé le : 8 décembre 2024
Найдите такое минимальное основание позиционной системы счисления
C, при котором выражение
0,2(38)
C
∗130
10
будет натуральным числом.
В ответе укажите натуральное число. Если такого основания не существует, в ответе напишите
NULL.
Решение:
Нам дано выражение в некоторой системе счисления с основанием :
Требуется найти наименьшее натуральное основание , при котором результат будет натуральным числом (целым и положительным).
Шаги решения:
Интерпретация записи
Запись означает дробь в системе с основанием , у которой сразу после запятой стоит цифра «2», а затем периодически повторяется последовательность «3,8». Таким образом, число имеет вид:
Цифры 2, 3 и 8 должны существовать в системе счисления с основанием . Это значит, что , то есть минимум .
Представление числа в форме ряда:
Распишем дробь построчно:
Видно, что после первой цифры «2» идёт бесконечная периодическая часть «3,8».
Выделение периодической части:
Рассмотрим отдельно чисто периодическую дробь:
Её можно представить как бесконечную геометрическую серию. Длина периода равна 2, повторяющиеся цифры — «3» и «8».
В общем случае для периодической дроби имеем:
В нашем случае , следовательно:
Связь между и :
Наше число:
Но заметим, что периодическая часть «3,8» начинается со второй дробной позиции. Если взять , то:
Чтобы сдвинуть эту последовательность на одну позицию (так чтобы она начиналась со степени вместо ), поделим на :
Тогда:
Подставим :
Раскроем скобки:
Тогда числитель:
Итого:
Условие целочисленности при умножении на 130:
Нам нужно, чтобы:
было целым числом.
Проверяем по возрастанию , начиная с 9 (так как ):
Для :
Деноминатор:
Числитель:
целое.
Для :
Деноминатор:
Числитель:
целое.
Для :
Деноминатор:
Числитель:
целое.
Для :
Деноминатор:
Числитель:
Проверяем деление: , это целое число.
При выражение становится целым. Цифры 2, 3, 8 корректно существуют в системе счисления с основанием 12.
Следовательно, наименьшее такое основание — .
Ответ: 12
Известно, что логическая функция
X(A,B,C) истинна только в области, имеющей горизонтальную штриховку, логическая функция
Y(A,B,C) истинна только в области, имеющей вертикальную штриховку, а логическая функция
Z(A,B,C) истинна только в области, имеющей диагональную штриховку. Найдите логическую функцию
Z(X,Y). Если таких функций несколько, запишите любую из них. В ответе запишите найденную функцию в максимально упрощенном виде. Запись может содержать только логические переменные
X и
Y и операции конъюнкции, дизъюнкции и инверсии и не может содержать скобки. Если таких функций не существует, запишите в ответ
NULL.
Ответ:
Пояснение:
Логическая функция должна быть истинной только в тех областях, где одновременно ложны функции и . Это соответствует логическому выражению "НЕ " И "НЕ ". В булевой алгебре это записывается как:
Таким образом, можно выразить через и следующей функцией: