Емкостная кластеризация K-средних

Ищу методы кластеризации

Пользователь спрашивает, как кластеризовать данные с минимальным числом элементов в каждом кластере и заданным числом кластеров, и как это можно реализовать.

Использование методов кластеризации

Интересно, что для кластеризации с минимальным размером кластеров и их общее количество можно применять K-means, иерархическую кластеризацию, DBSCAN и т.д.

Рассматриваю введенные ограничения

Пытаюсь понять, какой метод кластеризации подходит под ограничения минимального числа элементов в кластере и общее количество кластеров, и предполагаю использование "Ограниченной кластеризации" или "Кластеризации с емкостными ограничениями".

Определение кластеров

Алгоритм "Capacitated K-Means Clustering" распределяет данные на объемные кластеры, обеспечивая минимальное количество элементов в каждом, что помогает достигать равновесия и соблюдения ресурсов.

Перераспределяю данные

Я подбираю точки данных к кластерам с учётом их размеров, чтобы не нарушить ограничения по количеству элементов в кластерах.

Ищу решение

Использую методы и алгоритмы оптимизации, такие как ILP и генетические алгоритмы, для решения задачи кластериации с учетом ограничений на количество элементов в кластере. Включаю применения библиотек Python, R и MATLAB для реализации.

Кластеризация с учётом минимального количества элементов в кластере и заданным числом кластеров называется кластеризацией с ограничениями или емкостной кластеризацией (Capacitated Clustering). Один из методов, который позволяет реализовать такие ограничения, — это емкостной алгоритм K-средних (Capacitated K-Means).

Метод: Емкостной алгоритм K-средних

Описание:

Емкостной алгоритм K-средних расширяет стандартный алгоритм K-средних, вводя ограничения на размер кластеров. Это означает, что вы можете задать минимальное (и/или максимальное) количество элементов в каждом кластере при определённом количестве кластеров.

Шаги реализации:

1. Инициализация:

   • Выберите $K$ начальных центроидов кластеров. Это можно сделать случайным образом или используя методы вроде KMeans++ для улучшения начальной инициализации.

2. Назначение с ограничениями:

   • При назначении каждого объекта к кластеру учитывайте не только расстояние до центроида, но и ограничения на размер кластера.
   • Если кластер достиг минимального размера, новые объекты не могут быть назначены в него, пока это не будет возможно без нарушения ограничений.

3. Обновление центроидов:

   • После назначения пересчитайте центроиды кластеров на основе текущих членов.

4. Итерация:

   • Повторяйте шаги назначения и обновления, пока изменение в положении центроидов не станет незначительным или не достигнет заданного числа итераций.

Детали реализации:

• Формулировка задачи оптимизации:

  • Задача кластеризации с ограничениями может быть сформулирована как задача целочисленного линейного программирования (ЦЛП).
  • Целевая функция — минимизировать суммарное внутрикластерное расстояние.
  • Ограничения включают:
    • Каждый объект назначается ровно одному кластеру.
    • Размер каждого кластера должен быть не меньше заданного минимального значения.

• Решение ЦЛП:

  • Для небольших наборов данных задачи ЦЛП можно решить точно с помощью оптимизационных пакетов.
  • Для больших наборов данных предпочтительно использовать эвристики или аппроксимационные алгоритмы из-за вычислительной сложности.

Пример реализации на Python с использованием PuLP:

python
import numpy as np
import pulp

def capacitated_kmeans(data, K, min_size):
    n_points = data.shape[0]
    distances = np.zeros((n_points, K))

    # Инициализация центроидов случайным образом
    centroids = data[np.random.choice(n_points, K, replace=False)]

    # Вычисление расстояний до начальных центроидов
    for i in range(n_points):
        for k in range(K):
            distances[i, k] = np.linalg.norm(data[i] - centroids[k])

    # Создание задачи оптимизации
    prob = pulp.LpProblem('CapacitatedKMeans', pulp.LpMinimize)

    # Переменные решения: x[i][k] = 1, если объект i назначен кластеру k
    x = pulp.LpVariable.dicts('x', ((i, k) for i in range(n_points) for k in range(K)), cat='Binary')

    # Целевая функция: минимизация суммарного расстояния
    prob += pulp.lpSum(distances[i, k] * x[(i, k)] for i in range(n_points) for k in range(K))

    # Ограничения:
    # Каждый объект назначается ровно одному кластеру
    for i in range(n_points):
        prob += pulp.lpSum(x[(i, k)] for k in range(K)) == 1

    # Ограничения на размер кластеров
    for k in range(K):
        prob += pulp.lpSum(x[(i, k)] for i in range(n_points)) >= min_size

    # Решение задачи
    prob.solve()

    # Извлечение результатов кластеризации
    assignments = np.zeros(n_points, dtype=int)
    for i in range(n_points):
        for k in range(K):
            if pulp.value(x[(i, k)]) == 1:
                assignments[i] = k
                break

    return assignments

# Пример использования
data = np.random.rand(100, 2)  # 100 объектов в 2D пространстве
K = 5
min_size = 15
assignments = capacitated_kmeans(data, K, min_size)

Примечания:

• Данный пример подходит для небольших наборов данных. Для больших данных рекомендуется использовать более эффективные методы.
• Можно применять эвристические алгоритмы, такие как генетические алгоритмы или методы жадного поиска, для ускорения вычислений.

Альтернативные методы:

• Иерархическая кластеризация с ограничениями:

  • Модифицировать стандартные алгоритмы иерархической кластеризации для учёта минимального размера кластеров при разбиении дендрограммы.

• Спектральная кластеризация с ограничениями:

  • Включить ограничения в спектральную кластеризацию, изменяя матрицу сходства или добавляя ограничения в оптимизационную задачу.

• Методы на основе теории графов:

  • Использовать разбиение графов с ограничениями на размер частей.

Заключение:

Емкостной алгоритм K-средних позволяет эффективно выполнять кластеризацию с заданным минимальным количеством элементов в кластере и количеством кластеров. Реализация этого метода требует решения задачи оптимизации с ограничениями, что может быть вычислительно сложным для больших наборов данных. Выбор конкретного метода и его реализации зависит от размеров данных и требований к производительности.