Да. Здесь действительно 4 задания, и в №4 можно и лучше решить формулами, без таблицы истинности. Ниже дам оформление так, чтобы его можно было практически переписать в работу: с определениями, переходами и пояснениями.

Практика 1

Доказать эквивалентность:

$$A\subseteq B \iff A\cup B=B.$$

Нужно доказать утверждение в обе стороны.

1) Докажем, что если $A\subseteq B$, то $A\cup B=B$

Пусть

$$A\subseteq B.$$

Это означает, что каждый элемент множества $A$ принадлежит также множеству $B$:

$$\forall x\;(x\in A\Rightarrow x\in B).$$

Рассмотрим объединение $A\cup B$.

По определению объединения:

$$x\in A\cup B \iff (x\in A)\vee(x\in B).$$

Но поскольку $A\subseteq B$, все элементы $A$ уже содержатся в $B$. Поэтому добавление элементов множества $A$ к множеству $B$ ничего нового не даёт.

Следовательно,

$$A\cup B=B.$$

То есть

$$A\subseteq B\Rightarrow A\cup B=B.$$

2) Докажем обратное: если $A\cup B=B$, то $A\subseteq B$

Пусть

$$A\cup B=B.$$

Возьмём произвольный элемент $x\in A$.

По определению объединения, если $x\in A$, то обязательно

$$x\in A\cup B.$$

Но по условию

$$A\cup B=B.$$

Значит,

$$x\in B.$$

Таким образом, для любого элемента $x$:

$$x\in A\Rightarrow x\in B.$$

А это и есть определение включения множеств:

$$A\subseteq B.$$

Следовательно,

$$A\cup B=B\Rightarrow A\subseteq B.$$

Мы доказали обе стороны, поэтому:

$$\boxed{A\subseteq B\iff A\cup B=B}.$$

---

Практика 2

Дано:

$$T=\{x\in\mathbb Z:-10\leq x\leq12,\;2x+1>7\}.$$

Нужно задать $T$ перечислением элементов.

Здесь $\mathbb Z$ — множество целых чисел.

Сначала решим неравенство:

$$2x+1>7.$$

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$2x>6.$$

Делим обе части на $2$:

$$x>3.$$

Также по условию:

$$-10\leq x\leq12.$$

Объединяем два условия:

$$\begin{cases} -10\leq x\leq12,\\ x>3. \end{cases}$$

Так как $x$ должно быть целым числом, подходят числа:

$$4,5,6,7,8,9,10,11,12.$$

Следовательно,

$$\boxed{T=\{4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}.$$

---

Практика 3

Задание: проверить фиктивность переменных у функции трёх переменных, представленной десятичной формой вектора значений:

$$153.$$

При наличии фиктивных переменных упростить функцию.

Имеем функцию трёх переменных:

$$f(x_1,x_2,x_3).$$

Так как переменных три, вектор функции содержит

$$2^3=8$$

значений.

Число $153$ переводим из десятичной системы счисления в двоичную.

Разложим число по степеням двойки:

$$153=128+16+8+1.$$

То есть:

$$153= 1\cdot128+ 0\cdot64+ 0\cdot32+ 1\cdot16+ 1\cdot8+ 0\cdot4+ 0\cdot2+ 1\cdot1.$$

Следовательно,

$$153_{10}=10011001_2.$$

Поэтому вектор значений функции:

$$\boxed{(1,0,0,1,1,0,0,1)}.$$

Распишем его для стандартного порядка наборов аргументов:

$$000,\;001,\;010,\;011,\;100,\;101,\;110,\;111.$$

Получаем:

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$f$
0	0	0	1
0	0	1	0
0	1	0	0
0	1	1	1
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	1

Теперь проверим переменные на фиктивность.

Переменная называется фиктивной, если изменение только этой переменной не изменяет значение функции.

Проверяем $x_1$

Сравним значения функции при одинаковых $x_2,x_3$, но разных $x_1$:

$$f(0,0,0)=1,\qquad f(1,0,0)=1;$$ $$f(0,0,1)=0,\qquad f(1,0,1)=0;$$ $$f(0,1,0)=0,\qquad f(1,1,0)=0;$$ $$f(0,1,1)=1,\qquad f(1,1,1)=1.$$

Во всех случаях изменение $x_1$ не меняет значение функции.

Следовательно,

$$\boxed{x_1\text{ — фиктивная переменная}.}$$

Проверяем $x_2$

Например,

$$f(0,0,0)=1,$$

а

$$f(0,1,0)=0.$$

Значение функции изменилось при изменении $x_2$.

Следовательно,

$$\boxed{x_2\text{ — существенная переменная}.}$$

Проверяем $x_3$

Например,

$$f(0,0,0)=1,$$

а

$$f(0,0,1)=0.$$

Значение функции изменилось.

Следовательно,

$$\boxed{x_3\text{ — существенная переменная}.}$$

Таким образом, функция фактически зависит только от $x_2$ и $x_3$.

Посмотрим на её значения:

$$\begin{array}{c|c|c} x_2&x_3&f\\ \hline 0&0&1\\ 0&1&0\\ 1&0&0\\ 1&1&1 \end{array}$$

Функция равна $1$, когда $x_2=x_3$.

Поэтому:

$$f=\left(\neg x_2\land\neg x_3\right) \vee \left(x_2\land x_3\right).$$

Это функция эквивалентности:

$$\boxed{f(x_1,x_2,x_3)=x_2\leftrightarrow x_3}.$$

Итак, ответ:

$$\boxed{x_1\text{ — фиктивная переменная}}$$

и упрощённая функция:

$$\boxed{f(x_2,x_3)= (\neg x_2\land\neg x_3)\vee(x_2\land x_3)}.$$

---

Практика 4

Дана функция:

$$f(x,y)=\neg(x\land y)\land(x\lor y).$$

Нужно составить ДНФ и КНФ.

Здесь как раз совершенно нормально решить через равносильные преобразования формулы, без таблицы истинности.

1. Найдём КНФ

Исходная функция:

$$f(x,y)=\neg(x\land y)\land(x\lor y).$$

Используем закон де Моргана:

$$\neg(A\land B)=\neg A\lor\neg B.$$

Поэтому:

$$\neg(x\land y)=\neg x\lor\neg y.$$

Подставляем:

$$f(x,y)=(\neg x\lor\neg y)\land(x\lor y).$$

Каждая скобка является дизъюнкцией литералов, а между скобками стоит конъюнкция. Значит, это КНФ.

Получаем:

$$\boxed{f(x,y)=(x\lor y)\land(\neg x\lor\neg y)}.$$

Это КНФ функции.

---

2. Найдём ДНФ

Начинаем с:

$$f=(\neg x\lor\neg y)\land(x\lor y).$$

Раскроем скобки по распределительному закону:

$$(A\lor B)\land(C\lor D) = (A\land C)\lor(A\land D)\lor(B\land C)\lor(B\land D).$$

Получаем:

$$f= (\neg x\land x) \lor (\neg x\land y) \lor (\neg y\land x) \lor (\neg y\land y).$$

Теперь используем закон противоречия:

$$x\land\neg x=0.$$

Следовательно,

$$\neg x\land x=0,$$

и

$$\neg y\land y=0.$$

Тогда:

$$f= 0\lor (\neg x\land y) \lor (x\land\neg y) \lor0.$$

Используем:

$$0\lor A=A.$$

Получаем:

$$\boxed{f=(\neg x\land y)\lor(x\land\neg y)}.$$

Это ДНФ функции.

---

Итоговые ответы

1. Доказано:

$$\boxed{A\subseteq B\iff A\cup B=B}.$$

$$\boxed{T=\{4,5,6,7,8,9,10,11,12\}}.$$

$$153_{10}=10011001_2.$$

Фиктивная переменная:

$$\boxed{x_1}.$$

Упрощённая функция:

$$\boxed{f=(\neg x_2\land\neg x_3)\vee(x_2\land x_3)}$$

или короче:

$$\boxed{f=x_2\leftrightarrow x_3}.$$

4. ДНФ:

$$\boxed{(\neg x\land y)\vee(x\land\neg y)}.$$

КНФ:

$$\boxed{(x\lor y)\land(\neg x\lor\neg y)}.$$

Для №4 особенно запомни два закона, потому что преподаватель может спросить, откуда взялись преобразования:

$$\boxed{\neg(x\land y)=\neg x\lor\neg y}$$

— закон де Моргана, и

$$\boxed{(A\lor B)\land(C\lor D) =(A\land C)\lor(A\land D)\lor(B\land C)\lor(B\land D)}$$

— распределительный закон.