Теория: "Наличие симметрии в любой задаче упрощает...

Да, ваш способ с «прохождением» от одного контакта батареи к другому абсолютно законен. По сути вы сами применили второй закон Кирхгофа, только не в форме «обхода замкнутого контура», а через понятие потенциала.

Пусть контакты батареи — точки $A$ и $B$, а напряжение между ними

$$U=\varphi_A-\varphi_B.$$

Возьмём любой путь от $A$ до $B$. Например,

$$A\to 1\to2\to3\to B.$$

Тогда просто по определению разности потенциалов:

$$\varphi_A-\varphi_B = (\varphi_A-\varphi_1) +(\varphi_1-\varphi_2) +(\varphi_2-\varphi_3) +(\varphi_3-\varphi_B).$$

Посмотрите, что происходит: промежуточные потенциалы сокращаются:

$$\varphi_A-\cancel{\varphi_1} +\cancel{\varphi_1}-\cancel{\varphi_2} +\cancel{\varphi_2}-\cancel{\varphi_3} +\cancel{\varphi_3}-\varphi_B = \varphi_A-\varphi_B.$$

То есть получается фундаментальный результат:

$$\boxed{U_{AB}=U_1+U_2+U_3+\ldots}$$

для любого пути, соединяющего $A$ и $B$, если правильно учитывать знаки напряжений.

А теперь на каждом резисторе работает закон Ома:

$$U_k=I_kR_k.$$

Поэтому ваш способ фактически означает:

$$\boxed{U_{AB}=I_1R_1+I_2R_2+\ldots}$$

где $I_k$ — именно ток через соответствующий резистор.

Почему разные пути дают одинаковую сумму?

Допустим, вы прошли от $A$ до $B$ через центр и получили

$$U_{AB}=U_{\text{центр}}+U_{\text{диагональ}}+\ldots$$

А затем прошли по верхней части схемы:

$$U_{AB}=U_{\text{верх 1}}+U_{\text{верх 2}}+\ldots$$

Левые части у этих уравнений одинаковые — вы начинаете в одной и той же точке $A$ и заканчиваете в одной и той же точке $B$. Поэтому

$$U_{\text{центр}}+U_{\text{диагонали}}+\ldots = U_{\text{верх}}+\ldots$$

Именно это и позволило вам получить уравнение на токи.

Физически напряжение характеризует не путь, а две точки. Если у точки $A$ потенциал, например, $10\text{ В}$, а у $B$ — $0\text{ В}$, то заряд, перейдя из $A$ в $B$, в любом случае теряет одну и ту же потенциальную энергию:

$$\Delta W=q(\varphi_A-\varphi_B)=qU.$$

Неважно, пошёл он через верх схемы, через центр или по диагоналям. Энергия может распределиться между разными резисторами по-разному, но суммарно на всём пути должно потеряться одно и то же количество энергии $qU$.

Например, по одному пути заряд может потерять

$$2q+3q+5q=10q,$$

а по другому

$$4q+6q=10q.$$

Распределение другое, но начальное и конечное состояния те же.

Можно даже увидеть, почему иначе быть не может. Предположим, что по верхнему пути от $A$ до $B$ суммарное падение было бы $10\text{ В}$, а через центр — $8\text{ В}$. Тогда мы могли бы пройти:

$$A\xrightarrow{\text{верх}}B$$

и затем вернуться

$$B\xrightarrow{\text{центр}}A.$$

За полный замкнутый обход получили бы ненулевое изменение энергии. То есть заряд после возвращения в ту же самую точку почему-то имел бы другую потенциальную энергию. Это невозможно. Поэтому для замкнутого контура

$$\boxed{\sum \Delta U=0}.$$

Это и есть второй закон Кирхгофа.

Как здесь связана симметрия

У вас получилось особенно удобно потому, что сначала симметрия дала соотношения между токами, например какие-то ветви имеют одинаковые токи $I$, какие-то $2I$ и т. д.

После этого вы выбрали путь от одного зажима батареи до другого и написали, условно,

$$U=IR+(2I)R+IR+\ldots$$

А по другому пути:

$$U=IR+IR+\ldots$$

Поскольку это один и тот же $U$, эти выражения можно приравнять и определить неизвестные токи.

То есть логика вашего решения такая:

$$\boxed{\text{симметрия}\Rightarrow \text{соотношения токов}\Rightarrow U_k=I_kR_k\Rightarrow \text{сумма }U_k\text{ между двумя узлами одинакова}}$$

И уже после нахождения токов в отдельных ветвях вы складываете токи, выходящие из контакта батареи, по первому закону Кирхгофа, и находите общий ток.

Так что фактически в вашем решении работают сразу оба закона Кирхгофа: второй — когда вы «проходитесь» по различным путям и складываете $IR$, первый — когда в конце складываете токи ветвей для получения общего тока.

Фото схемы в сообщении у меня не отобразилось. Если пришлёте его ещё раз, я могу прямо на вашей конкретной схеме подписать $I,\,2I,\ldots$ и показать, почему именно ваши два обхода дают нужные уравнения и откуда получается ваш ответ $400$.