你现在是一位资深的高中数学教师。请帮我系统地收集并整理一份【排列组合中的排数字问题】专项题库。 请按...

下面给你一份适合高中阶段使用的【排列组合中的排数字问题】专项题库。
除特别说明外，默认：

1. 同一题中数字不重复使用；
2. “组成 $n$ 位数”默认首位不能为 0；
3. “按从小到大排列”就是通常所说的字典序（数值序）。

---

一、含“0”的排数字问题（首位不能为 0）

例 1

【题目难度】：基础

【题目描述】：
用数字 $0,1,2,3,4$ 可以组成多少个没有重复数字的四位数？

【解题思路】：
首位不能为 0，优先排首位，再排后面三位。这是典型的“优先排特殊位置法”。

【详细解答】：
四位数的首位只能从 $1,2,3,4$ 中选，有 $4$ 种选法。
首位确定后，剩下 $4$ 个数字中任选 $3$ 个排在后面三位上：

• 第二位有 $4$ 种选法；
• 第三位有 $3$ 种选法；
• 第四位有 $2$ 种选法。

所以共有：

$$4\times 4\times 3\times 2=96$$

最终答案：$96$ 个。

---

例 2

【题目难度】：中档

【题目描述】：
从数字 $0,1,2,3,4,5$ 中任取 $4$ 个不同数字组成四位数，且这个四位数必须含有数字 0，共有多少个？

【解题思路】：
先“选”再“排”。先确定含 0 的数字组，再处理首位不能为 0。核心方法是“分步计数法”与“间接处理首位限制”。

【详细解答】：
既然组成的四位数必须含有 0，那么除 0 外，还需从 $1,2,3,4,5$ 中再选 $3$ 个数字。
选法有：

$$\binom{5}{3}=10$$

对每一种选出的 4 个数字（其中一个是 0），若不考虑首位限制，共可排：

$$4!=24$$

种。

其中首位为 0 的排法有：固定 0 在首位，其余 3 个数字全排列：

$$3!=6$$

所以每组数字能组成的合法四位数有：

$$24-6=18$$

因此总数为：

$$10\times 18=180$$

最终答案：$180$ 个。

---

例 3

【题目难度】：拔高

【题目描述】：
用数字 $0,0,1,2,3,4$ 这六个数字组成不同的六位数（每个数字都要用上），共有多少个？

【解题思路】：
这里既有“0 不能在首位”的限制，又有两个 0 完全相同，属于“重排问题 + 间接法”。

【详细解答】：
先不考虑首位不能为 0。
六个数字中有两个 0 相同，所以不同排法总数为：

$$\frac{6!}{2!}=360$$

再减去首位为 0 的排法。
若首位固定为 0，则后面 5 位是 $0,1,2,3,4$ 的全排列，共：

$$5!=120$$

所以合法的六位数个数为：

$$360-120=240$$

最终答案：$240$ 个。

---

二、奇偶数与整除限制问题

例 1

【题目难度】：基础

【题目描述】：
用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的三位偶数，共有多少个？

【解题思路】：
偶数先看个位，个位必须是偶数。属于“先定末位法”。

【详细解答】：
三位偶数的个位只能是 $2$ 或 $4$，有 $2$ 种选法。

个位确定后：

• 百位可从剩下的 4 个数字中选，有 $4$ 种；
• 十位再从剩下的 3 个数字中选，有 $3$ 种。

所以总数为：

$$2\times 4\times 3=24$$

最终答案：$24$ 个。

---

例 2

【题目难度】：中档

【题目描述】：
从数字 $0,1,2,3,4,5$ 中任取 $4$ 个不同数字组成四位数，要求这个四位数能被 $5$ 整除，共有多少个？

【解题思路】：
能被 5 整除，个位必须是 0 或 5。按个位分类讨论。这是“分类讨论法”。

【详细解答】：
一个四位数能被 5 整除，当且仅当个位为 0 或 5。

情况 1：个位是 0

千位只能从 $1,2,3,4,5$ 中选，有 $5$ 种。
百位、十位再从剩下的 $4$ 个数字中依次选，有：

$$4\times 3=12$$

种。

所以此时共有：

$$5\times 12=60$$

个。

情况 2：个位是 5

千位不能为 0，也不能再用 5，所以千位只能从 $1,2,3,4$ 中选，有 $4$ 种。
百位、十位从剩下的 $4$ 个数字中选，有：

$$4\times 3=12$$

种。

所以此时共有：

$$4\times 12=48$$

个。

综上，总数为：

$$60+48=108$$

最终答案：$108$ 个。

---

例 3

【题目难度】：拔高

【题目描述】：
从数字 $0,1,2,3,4,5$ 中任取 $5$ 个不同数字组成五位数，要求这个五位数既是偶数，又能被 $3$ 整除，共有多少个？

【解题思路】：
“偶数”看个位，“能被 3 整除”看数位和。先利用数位和筛选出可用数字组，再处理个位与首位限制，属于“整除性质 + 分类讨论”。

【详细解答】：
六个数字之和为：

$$0+1+2+3+4+5=15$$

组成五位数时，实际上是从这 6 个数字中去掉 1 个数字。
设去掉的数字是 $x$，则剩余五个数字之和为：

$$15-x$$

要使五位数能被 3 整除，需要：

$$15-x$$

是 3 的倍数，即 $x$ 也必须是 3 的倍数。
在 $\{0,1,2,3,4,5\}$ 中，3 的倍数只有 $0$ 和 $3$。

所以只分两种数字组：

---

情况 1：去掉 0

可用数字为 $1,2,3,4,5$。

要组成偶数，个位只能是 $2$ 或 $4$，有 $2$ 种。
其余 4 位任意排列：

$$4!=24$$

故此时共有：

$$2\times 24=48$$

个。

---

情况 2：去掉 3

可用数字为 $0,1,2,4,5$。

要组成偶数，个位可为 $0,2,4$。

• 若个位为 0，则前四位是 $1,2,4,5$ 的全排列，有：

  $$4!=24$$

  个。

• 若个位为 2，则前四位是 $0,1,4,5$ 的排列，但首位不能为 0。
  全排有 $4!=24$ 种，其中首位为 0 的有 $3!=6$ 种，故合法排法：

  $$24-6=18$$

• 若个位为 4，同理也有：

  $$18$$

  个。

所以此时共有：

$$24+18+18=60$$

个。

---

综上，总数为：

$$48+60=108$$

最终答案：$108$ 个。

---

三、大小限制与字典序问题

例 1

【题目难度】：中档

【题目描述】：
用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，其中大于 $34000$ 的有多少个？

【解题思路】：
比较大小时，优先看高位，按首位、次位逐层分类。这是“高位优先分类法”。

【详细解答】：
组成的都是五位数，比较是否大于 $34000$，先看首位。

情况 1：首位是 4 或 5

只要首位是 4 或 5，这个数一定大于 $34000$。
首位有 $2$ 种选法，后面四位任意排列：

$$4!=24$$

所以共有：

$$2\times 24=48$$

个。

情况 2：首位是 3

此时要使五位数大于 $34000$，第二位必须大于或等于 4。
由于数字不重复，且可选数字为 $1,2,4,5$，其中只有 $4,5$ 可使前两位达到要求。

• 第二位取 4 时，后面三位任意排列，有 $3!=6$ 个；
• 第二位取 5 时，后面三位任意排列，也有 $6$ 个。

所以此情况共有：

$$6+6=12$$

个。

综上，总数为：

$$48+12=60$$

最终答案：$60$ 个。

---

例 2

【题目难度】：中档

【题目描述】：
用数字 $1,2,3,4,5$ 组成所有没有重复数字的五位数，并按从小到大排列，求数字 $35241$ 排在第几位。

【解题思路】：
这是典型的“求某个排列的字典序名次”问题。核心方法是“逐位统计在它前面有多少个数”。

【详细解答】：
求 $35241$ 的名次，就统计在它前面有多少个五位数，再加 1。

第一步：看首位

比 3 小的首位有 $1,2$，共 2 种。
每一种首位固定后，后面四位任意排列：

$$4!=24$$

所以前面共有：

$$2\times 24=48$$

个。

第二步：首位固定为 3，看第二位

在剩下的 $\{1,2,4,5\}$ 中，比 5 小的有 $1,2,4$，共 3 个。
每一种第二位固定后，后面三位任意排列：

$$3!=6$$

所以再增加：

$$3\times 6=18$$

个。

到这里前面共有：

$$48+18=66$$

个。

第三步：前两位固定为 35，看第三位

剩下的数字是 $\{1,2,4\}$，比 2 小的只有 1 个。
固定这个更小的数字后，后面两位任意排列：

$$2!=2$$

所以再增加：

$$2$$

个。

到这里前面共有：

$$66+2=68$$

个。

第四步：前三位固定为 352，看第四位

剩下的数字是 $\{1,4\}$，比 4 小的只有 1 个。
固定后最后一位只能唯一确定，所以再增加：

$$1!=1$$

个。

于是前面共有：

$$68+1=69$$

个。

因此 $35241$ 的名次为：

$$69+1=70$$

最终答案：第 $70$ 位。

---

例 3

【题目难度】：拔高

【题目描述】：
用数字 $1,2,3,4,5$ 组成所有没有重复数字的五位数，并按从小到大排列，求第 $83$ 个数是多少。

【解题思路】：
这是“由名次反推排列”问题，本质上是“按阶乘分块”。

【详细解答】：
所有五位数共有：

$$5!=120$$

个。

每个首位固定后，后面四位全排列，共：

$$4!=24$$

个。

第一步：确定首位

• 首位为 1 的有第 $1\sim 24$ 个；
• 首位为 2 的有第 $25\sim 48$ 个；
• 首位为 3 的有第 $49\sim 72$ 个；
• 首位为 4 的有第 $73\sim 96$ 个。

所以第 83 个数首位是 4。
并且它是“首位为 4”这一组中的第：

$$83-72=11$$

个。

第二步：确定第二位

剩下数字为 $1,2,3,5$。
每个第二位固定后，后面三位全排列，共：

$$3!=6$$

个。

• 第二位为 1：这一小组是第 $1\sim 6$ 个；
• 第二位为 2：这一小组是第 $7\sim 12$ 个。

所以第 11 个落在“第二位为 2”这一组。
此时它是“42开头”这一组中的第：

$$11-6=5$$

个。

第三步：确定第三位

剩下数字为 $1,3,5$。
每个第三位固定后，后面两位全排列，共：

$$2!=2$$

个。

• 第三位为 1：第 $1\sim 2$ 个；
• 第三位为 3：第 $3\sim 4$ 个；
• 第三位为 5：第 $5\sim 6$ 个。

所以第三位为 5。
此时它是“425开头”这一组中的第：

$$5-4=1$$

个。

第四步：确定后两位

剩下数字为 $1,3$。
按从小到大排列，第一种是 $13$。

所以第 $83$ 个数是：

$$42513$$

最终答案：$42513$。

---

四、特定位置 / 元素限制问题

例 1

【题目难度】：基础

【题目描述】：
用数字 $1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的五位数，要求数字 $5$ 必须在百位上，共有多少个？

【解题思路】：
先把受限制的位置固定，再排其余数字。这是“优先排特殊位置法”。

【详细解答】：
五位数的百位是中间那一位。
先把数字 5 固定在百位上，则其余四个数字 $1,2,3,4$ 排在剩下的四个位置上。

所以共有：

$$4!=24$$

个。

最终答案：$24$ 个。

---

例 2

【题目难度】：中档

【题目描述】：
用数字 $0,1,2,3,4,5$ 组成没有重复数字的六位数（每个数字都要用上），要求数字 1 和 2 必须相邻，共有多少个？

【解题思路】：
把相邻的两个数字看成一个整体，属于“捆绑法”。同时要处理首位不能为 0 的限制。

【详细解答】：
把 $1,2$ 看成一个整体，则有两种内部顺序：

• $12$
• $21$

先不考虑这两种顺序，把“整体”记作一个元素。
这样要排列的对象变成：

• $(12\text{或}21)$
• $0$
• $3$
• $4$
• $5$

一共 5 个不同对象。

若不考虑首位限制，共有：

$$5!=120$$

种排法。

但首位不能是 0。
首位若是 0，则其余 4 个对象任意排列，有：

$$4!=24$$

种。

所以合法排法为：

$$120-24=96$$

种。

再考虑整体内部还有 $12$ 与 $21$ 两种顺序，因此总数为：

$$96\times 2=192$$

最终答案：$192$ 个。

---

例 3

【题目难度】：拔高

【题目描述】：
用数字 $1,2,3,4,5,6$ 组成没有重复数字的六位数，要求数字 1 在数字 2 的左边，且 1 与 2 不相邻，共有多少个？

【解题思路】：
先排其余数字，再把 1 和 2 插入空位中。这里用“插空法”，并结合“相对顺序限制”。

【详细解答】：
先把 $3,4,5,6$ 排好，共有：

$$4!=24$$

种。

例如排成：

$$\_\,3\,\_\,4\,\_\,5\,\_\,6\,\_$$

一共形成 $5$ 个空位。

为了使 1 和 2 不相邻，必须把它们放入两个不同的空位中。
又因为要求 1 在 2 的左边，所以一旦选定两个空位，左边那个空位放 1，右边那个空位放 2，排法就唯一确定了。

因此，只需要从 5 个空位中选 2 个：

$$\binom{5}{2}=10$$

所以总数为：

$$4!\times \binom{5}{2} =24\times 10 =240$$

最终答案：$240$ 个。

---

这类题的高频方法小结

1. 含 0 问题：优先看首位，常用“先排首位”或“总数减去首位为 0 的情况”。
2. 奇偶与整除：
   • 偶数、5 的倍数，先看个位；
   • 3 的倍数，先看数位和。
3. 大小限制：按高位逐层比较，核心是“高位优先分类”。
4. 字典序问题：本质是“分块计数”，一位一位向后判断。
5. 相邻问题：常用“捆绑法”。
6. 不相邻问题：常用“插空法”或“间接法”。

还可以继续把这份题库整理成“只含题目版”和“教师详解版”两套格式。