Ниже решу все 8 задач. Я постараюсь не просто получить ответ, а показать, почему именно такой ход приходит в голову. После каждой задачи добавлю маленький блок: «какие вопросы полезно задать себе».

---

1. Арифметическая прогрессия

Условие.
Найдите первый член арифметической прогрессии $a_1,a_2,\dots$, если $a_{13}=0$ и произведение чисел

$$5^{a_1},5^{a_2},\dots,5^{a_{24}}$$

равно их среднему арифметическому.

Идея

Если $a_n$ — арифметическая прогрессия, то $5^{a_n}$ — геометрическая. Значит, удобно перейти от $a_n$ к

$$b_n=5^{a_n}.$$

Решение

Пусть разность арифметической прогрессии равна $d$. Тогда

$$a_n=a_1+(n-1)d.$$

Из условия

$$a_{13}=a_1+12d=0,$$

то есть

$$a_1=-12d.$$

Теперь рассмотрим

$$b_n=5^{a_n}.$$

Это геометрическая прогрессия с первым членом

$$b_1=5^{a_1}=5^{-12d}$$

и знаменателем

$$q=5^d.$$

Тогда

$$b_n=b_1q^{n-1}.$$

1) Произведение

$$\prod_{k=1}^{24} b_k =5^{a_1+a_2+\cdots+a_{24}}.$$

Но сумма 24 членов арифметической прогрессии равна

$$24\cdot \frac{a_1+a_{24}}2.$$

Средний член между $a_{12}$ и $a_{13}$ равен $a_{12.5}=a_1+11.5d=-0.5d$, значит среднее всех 24 членов равно $-\frac d2$, а сумма

$$24\cdot \left(-\frac d2\right)=-12d.$$

Значит

$$\prod_{k=1}^{24} b_k=5^{-12d}=b_1.$$

2) Среднее арифметическое

$$\frac{b_1+b_2+\cdots+b_{24}}{24} =\frac{b_1(1+q+\cdots+q^{23})}{24}.$$

По условию произведение равно среднему арифметическому:

$$b_1=\frac{b_1(1+q+\cdots+q^{23})}{24}.$$

Так как $b_1>0$, сокращаем:

$$1=\frac{1+q+\cdots+q^{23}}{24},$$

то есть

$$1+q+\cdots+q^{23}=24.$$

Но это сумма 24 положительных чисел. Она равна 24 только тогда, когда каждое из них равно 1:

$$q=1.$$

Тогда

$$5^d=1 \quad\Rightarrow\quad d=0.$$

Из $a_1=-12d$ получаем

$$a_1=0.$$

Ответ

$$\boxed{a_1=0}.$$

Что полезно спросить себя

• Если степень стоит на членах арифметической прогрессии, не превращается ли это в геометрическую?
• Можно ли условие про произведение и среднее записать через одну и ту же последовательность?
• Когда сумма положительных чисел равна числу слагаемых?

---

2. Неравенство с логарифмом

Условие.
Найдите все пары $(a,b)$, для которых множество решений неравенства

$$\log_{2025}(x-a)>2x^2-x-b$$

совпадает с интервалом $(0;1)$.

Идея

Слева логарифм, справа квадратный трёхчлен. Естественно перенести всё в одну функцию:

$$f(x)=\log_{2025}(x-a)-2x^2+x+b.$$

Нужно, чтобы

$$f(x)>0 \iff x\in(0,1).$$

Ключевая мысль: у такой функции

$$f''(x)<0,$$

то есть она строго вогнута. А у строго вогнутой функции множество, где она положительна, — один интервал, причём его концы обычно определяются из уравнения $f=0$.

Решение

Рассмотрим

$$f(x)=\log_{2025}(x-a)-2x^2+x+b,\qquad x>a.$$

Тогда

$$f''(x)=-\frac1{(x-a)^2\ln 2025}-4<0.$$

Значит, $f$ строго вогнута на области определения.

Нужно, чтобы множество решений $f(x)>0$ было ровно $(0,1)$.

Шаг 1. Почему обязательно $f(0)=0$ и $f(1)=0$

Точка $0$ не входит в множество решений, но все точки чуть правее 0 входят. Если бы $0$ не принадлежала области определения, то понадобилось бы $a=0$, но тогда при $x\to0+$

$$\log_{2025}(x)\to -\infty,$$

и около нуля функция точно не была бы положительной. Значит, $a<0$, и точка $0$ лежит внутри области определения.

Аналогично точка $1$ тоже внутри области определения.

Так как $f>0$ на $(0,1)$, но не должно быть положительности ни левее 0, ни правее 1, то концы этого интервала должны быть нулями:

$$f(0)=0,\qquad f(1)=0.$$

Шаг 2. Составим систему

Из $f(0)=0$:

$$\log_{2025}(-a)+b=0.$$

То есть

$$b=-\log_{2025}(-a).$$

Из $f(1)=0$:

$$\log_{2025}(1-a)-2+1+b=0,$$ $$\log_{2025}(1-a)-1+b=0.$$

Подставим $b$:

$$\log_{2025}(1-a)-1-\log_{2025}(-a)=0,$$ $$\log_{2025}\frac{1-a}{-a}=1.$$

Следовательно,

$$\frac{1-a}{-a}=2025.$$

Пусть $t=-a>0$. Тогда

$$\frac{1+t}{t}=2025 \quad\Rightarrow\quad 1+\frac1t=2025 \quad\Rightarrow\quad \frac1t=2024 \quad\Rightarrow\quad t=\frac1{2024}.$$

Значит,

$$a=-\frac1{2024}.$$

Теперь

$$b=-\log_{2025}\!\left(\frac1{2024}\right) =\log_{2025}(2024).$$

Шаг 3. Почему это действительно подходит

Мы нашли параметры так, что

$$f(0)=f(1)=0.$$

Так как $f$ строго вогнута, то на интервале $(0,1)$ её график лежит выше хорды, соединяющей точки $(0,0)$ и $(1,0)$. Значит,

$$f(x)>0 \quad \text{при } x\in(0,1).$$

А вне отрезка $[0,1]$ для строго вогнутой функции с нулями в 0 и 1 получаем

$$f(x)<0.$$

Следовательно, множество решений ровно $(0,1)$.

Ответ

$$\boxed{\left(a,b\right)=\left(-\frac1{2024},\,\log_{2025}(2024)\right)}.$$

Что полезно спросить себя

• Можно ли свести неравенство к виду $f(x)>0$?
• Какая у функции выпуклость или вогнутость?
• Если множество решений — ровно один открытый интервал, не означают ли его концы уравнение $f=0$?

---

3. Рекуррентная последовательность

Условие.

$$a_1=100,\qquad a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}.$$

Найдите целую часть числа $a_{2025}$.

Идея

При таком рекуррентном соотношении очень хочется посмотреть на квадрат:

$$a_{n+1}^2=\left(a_n+\frac1{a_n}\right)^2=a_n^2+2+\frac1{a_n^2}.$$

Появляется почти телескопическая оценка.

Решение

Имеем:

$$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac1{a_n^2}.$$

Значит,

$$a_n^2=10000+2(n-1)+\sum_{k=1}^{n-1}\frac1{a_k^2}.$$

Нижняя оценка

Так как все члены положительны, то

$$a_n^2>10000+2(n-1).$$

Для $n=2025$:

$$a_{2025}^2>10000+2\cdot 2024=14048.$$

Но

$$118^2=13924.$$

Значит,

$$a_{2025}>118.$$

Верхняя оценка

Последовательность возрастает, потому что

$$a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}>a_n.$$

Следовательно,

$$a_k\ge 100 \quad \text{для всех }k.$$

Тогда

$$\frac1{a_k^2}\le \frac1{10000}.$$

И значит

$$\sum_{k=1}^{2024}\frac1{a_k^2}<\frac{2024}{10000}=0.2024.$$

Следовательно,

$$a_{2025}^2<14048.2024.$$

Но

$$119^2=14161.$$

Поэтому

$$a_{2025}<119.$$

Итак,

$$118<a_{2025}<119.$$

Ответ

$$\boxed{\lfloor a_{2025}\rfloor=118}.$$

Что полезно спросить себя

• Если есть $a_{n+1}=a_n+\frac1{a_n}$, что будет с квадратом?
• Можно ли получить грубую, но достаточную оценку сверху и снизу?
• Нужно ли точное значение, или достаточно зажать число между двумя соседними целыми?

---

4. Шестиугольник и пересечения

Условие.
В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ в серединах сторон $AB,BC,CD,DE,EF,FA$ отмечены точки $G,H,I,J,K,L$. При пересечении отрезков $AK,BL,CG,DH,EI,FJ$ образуется другой шестиугольник. Найдите его периметр, если $AB=3$.

Идея

В задаче очень сильная симметрия. Почти всегда в такой ситуации полезны координаты.

Поставим правильный шестиугольник с центром в начале координат. У правильного шестиугольника сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому удобно взять сначала сторону $1$, а в конце умножить ответ на 3.

Решение

Шаг 1. Координаты для стороны 1

Возьмём

$$A(1,0),\quad B\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right),\quad C\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}2\right),$$ $$D(-1,0),\quad E\left(-\frac12,-\frac{\sqrt3}2\right),\quad F\left(\frac12,-\frac{\sqrt3}2\right).$$

Тогда середины:

$$G\left(\frac34,\frac{\sqrt3}4\right),\quad H\left(0,\frac{\sqrt3}2\right),\quad I\left(-\frac34,\frac{\sqrt3}4\right),$$ $$J\left(-\frac34,-\frac{\sqrt3}4\right),\quad K\left(0,-\frac{\sqrt3}2\right),\quad L\left(\frac34,-\frac{\sqrt3}4\right).$$

Из симметрии ясно, что получившийся внутренний шестиугольник тоже правильный. Поэтому достаточно найти длину одной его стороны.

Пусть

$$P=AK\cap BL,\qquad Q=BL\cap CG.$$

Тогда $PQ$ — сторона внутреннего шестиугольника.

---

Шаг 2. Уравнения прямых

Прямая $AK$

Через точки $A(1,0)$ и $K(0,-\sqrt3/2)$:

$$y=\frac{\sqrt3}{2}(x-1).$$

Прямая $BL$

Через точки $B\left(\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$ и $L\left(\frac34,-\frac{\sqrt3}4\right)$. Её уравнение:

$$y=-3\sqrt3\,x+2\sqrt3.$$

Прямая $CG$

Через точки $C\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}2\right)$ и $G\left(\frac34,\frac{\sqrt3}4\right)$:

$$y=-\frac{\sqrt3}{5}x+\frac{3\sqrt3}{5}.$$

---

Шаг 3. Находим точки пересечения

Точка $P=AK\cap BL$

Решаем

$$\frac{\sqrt3}{2}(x-1)=-3\sqrt3 x+2\sqrt3.$$

После сокращения на $\sqrt3$:

$$\frac12(x-1)=-3x+2.$$ $$x-1=-6x+4 \quad\Rightarrow\quad 7x=5 \quad\Rightarrow\quad x=\frac57.$$

Тогда

$$y=\frac{\sqrt3}{2}\left(\frac57-1\right) =-\frac{\sqrt3}{7}.$$

Итак,

$$P\left(\frac57,-\frac{\sqrt3}{7}\right).$$

Точка $Q=BL\cap CG$

Решаем

$$-3\sqrt3\,x+2\sqrt3=-\frac{\sqrt3}{5}x+\frac{3\sqrt3}{5}.$$

Сокращаем на $\sqrt3$:

$$-3x+2=-\frac15x+\frac35.$$

Умножаем на 5:

$$-15x+10=-x+3,$$ $$-14x=-7 \quad\Rightarrow\quad x=\frac12?$$

Стоп, здесь я допустил быструю ошибку — аккуратно пересчитаем:

$$-15x+10=-x+3 \Rightarrow -14x=-7 \Rightarrow x=\frac12.$$

Это не совпадает с симметрийной картинкой, значит уравнение $CG$ я записал неудачно. Проверим его.

Для $CG$:

$$m=\frac{\frac{\sqrt3}{4}-\frac{\sqrt3}{2}}{\frac34-(-\frac12)} =\frac{-\frac{\sqrt3}{4}}{\frac54} =-\frac{\sqrt3}{5}.$$

Тогда

$$y-\frac{\sqrt3}{2}=-\frac{\sqrt3}{5}\left(x+\frac12\right),$$ $$y=\frac{\sqrt3}{2}-\frac{\sqrt3}{5}x-\frac{\sqrt3}{10} =-\frac{\sqrt3}{5}x+\frac{2\sqrt3}{5}.$$

Вот правильное уравнение:

$$y=-\frac{\sqrt3}{5}x+\frac{2\sqrt3}{5}.$$

Теперь решаем снова:

$$-3x+2=-\frac15x+\frac25.$$

Умножаем на 5:

$$-15x+10=-x+2,$$ $$-14x=-8, \quad x=\frac47.$$

Тогда

$$y=-3\sqrt3\cdot\frac47+2\sqrt3 =\frac{2\sqrt3}{7}.$$

Значит,

$$Q\left(\frac47,\frac{2\sqrt3}{7}\right).$$

---

Шаг 4. Длина стороны внутреннего шестиугольника

$$PQ=\sqrt{\left(\frac57-\frac47\right)^2+\left(-\frac{\sqrt3}{7}-\frac{2\sqrt3}{7}\right)^2}$$ $$=\sqrt{\left(\frac17\right)^2+\left(\frac{3\sqrt3}{7}\right)^2} =\frac17\sqrt{1+27} =\frac{2\sqrt7}{7}.$$

Это для внешнего шестиугольника со стороной $1$.
Если $AB=3$, все длины увеличиваются в 3 раза:

$$\text{сторона внутреннего} = 3\cdot \frac{2\sqrt7}{7}=\frac{6\sqrt7}{7}.$$

Тогда периметр:

$$6\cdot \frac{6\sqrt7}{7}=\frac{36\sqrt7}{7}.$$

Ответ

$$\boxed{\frac{36\sqrt7}{7}}.$$

Что полезно спросить себя

• Есть ли сильная симметрия? Тогда не проще ли взять координаты?
• Можно ли сначала решить задачу для стороны 1, а потом просто домножить?
• Если фигура симметрична повороту на $60^\circ$, не получится ли внутренний многоугольник тоже правильным?

---

5. Парабола и гипербола

Условие.
Парабола $y=px-x^2$ пересекает гиперболу $xy=q$ в трёх различных точках $A,B,C$. Сумма квадратов сторон треугольника $ABC$ равна 324, а точка пересечения медиан находится на расстоянии 2 от начала координат. Найдите $pq$.

Идея

Пересечения находятся из уравнения

$$x(px-x^2)=q.$$

Получается кубическое уравнение по $x$, а значит сработают формулы Виета. После этого удобно выражать координаты через корни.

Решение

Пусть абсциссы точек пересечения — $x_1,x_2,x_3$. Тогда

$$x(px-x^2)=q \quad\Rightarrow\quad x^3-px^2+q=0.$$

По Виету:

$$x_1+x_2+x_3=p,$$ $$x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1=0,$$ $$x_1x_2x_3=-q.$$

Так как на гиперболе $xy=q$, то

$$y_i=\frac{q}{x_i}.$$

---

Шаг 1. Центр тяжести

Координаты центроида:

$$G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\,\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right).$$

Но

$$x_1+x_2+x_3=p,$$

а

$$y_1+y_2+y_3 =q\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}\right) =q\cdot \frac{x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1}{x_1x_2x_3}=0.$$

Значит,

$$G=\left(\frac p3,0\right).$$

По условию расстояние от $G$ до начала координат равно 2:

$$\left|\frac p3\right|=2 \quad\Rightarrow\quad |p|=6.$$

---

Шаг 2. Сумма квадратов сторон

Для трёх точек $R_1,R_2,R_3$ верна формула

$$R_1R_2^2+R_2R_3^2+R_3R_1^2 =3\sum |R_i|^2-\left|\sum R_i\right|^2.$$

Здесь

$$|R_i|^2=x_i^2+y_i^2=x_i^2+\frac{q^2}{x_i^2}.$$

Сначала найдём

$$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(x_1+x_2+x_3)^2-2(x_1x_2+x_2x_3+x_3x_1)=p^2.$$

Теперь найдём

$$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}+\frac1{x_3^2}.$$

Имеем

$$\left(\frac1{x_1}+\frac1{x_2}+\frac1{x_3}\right)^2 = \frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}+\frac1{x_3^2} +2\left(\frac1{x_1x_2}+\frac1{x_2x_3}+\frac1{x_3x_1}\right).$$

Левая часть равна 0. А

$$\frac1{x_1x_2}+\frac1{x_2x_3}+\frac1{x_3x_1} =\frac{x_1+x_2+x_3}{x_1x_2x_3} =\frac{p}{-q}=-\frac pq.$$

Значит,

$$\frac1{x_1^2}+\frac1{x_2^2}+\frac1{x_3^2} =2\frac pq.$$

Следовательно,

$$\sum |R_i|^2 = p^2+q^2\cdot 2\frac pq = p^2+2pq.$$

Кроме того,

$$\sum R_i=(x_1+x_2+x_3,\;y_1+y_2+y_3)=(p,0),$$

поэтому

$$\left|\sum R_i\right|^2=p^2.$$

Отсюда

$$AB^2+BC^2+CA^2 = 3(p^2+2pq)-p^2 = 2p^2+6pq.$$

По условию это равно 324:

$$2p^2+6pq=324.$$

Так как $p^2=36$, получаем

$$72+6pq=324,$$ $$6pq=252,$$ $$pq=42.$$

Ответ

$$\boxed{42}.$$

Что полезно спросить себя

• Если точки пересечения задаются одним кубическим уравнением, можно ли ввести их абсциссы как корни?
• Есть ли смысл выразить ординаты через $q/x_i$?
• Как использовать условие про центроид? Обычно это даёт суммы координат.

---

6. Площадь фигуры

Условие.
Фигура состоит из всех точек $(x,y)$, которые при любом $t$ удовлетворяют системе

$$\begin{cases} x^2+y^2<\pi^2+t^2,\\ \cos y<2+\cos 2x+\cos x(4\sin t-1)-\cos 2t. \end{cases}$$

Найти её площадь.

Идея

Фраза «при любом $t$» значит: оба неравенства должны выполняться для всех $t$.
Значит:

• в первом неравенстве надо взять минимально возможную правую часть по $t$;
• во втором тоже надо найти минимум по $t$.

Решение

Первое неравенство

$$x^2+y^2<\pi^2+t^2.$$

Это должно выполняться для всех $t$. Минимум правой части достигается при $t=0$:

$$\pi^2+t^2\ge \pi^2.$$

Значит, условие эквивалентно

$$x^2+y^2<\pi^2.$$

Это круг радиуса $\pi$.

---

Второе неравенство

$$\cos y<2+\cos 2x+\cos x(4\sin t-1)-\cos 2t.$$

Положим $c=\cos x$, $s=\sin t$. Тогда

$$\cos 2x=2c^2-1,\qquad \cos 2t=1-2s^2.$$

Подставим:

$$2+\cos 2x+\cos x(4\sin t-1)-\cos 2t$$ $$=2+(2c^2-1)+c(4s-1)-(1-2s^2)$$ $$=2c^2-c+4cs+2s^2.$$

Сгруппируем:

$$2c^2-c+4cs+2s^2=2(s+c)^2-c.$$

Итак, второе условие:

$$\cos y<2(s+c)^2-c,$$

где $s=\sin t\in[-1,1]$.

Так как это должно выполняться для любого $t$, правая часть должна быть не меньше $\cos y$ даже в своём минимуме.
Минимизируем по $s$:

$$2(s+c)^2-c.$$

Квадрат минимален, когда $s=-c$. Это возможно, потому что $c=\cos x\in[-1,1]$, значит $-c\in[-1,1]$.

Минимум равен

$$-c=-\cos x.$$

Следовательно, второе неравенство эквивалентно

$$\cos y<-\cos x.$$

---

Шаг 3. Геометрический смысл

Так как из первого условия уже известно

$$x^2+y^2<\pi^2,$$

то автоматически

$$|x|<\pi,\qquad |y|<\pi.$$

На отрезке $[0,\pi]$ функция $\cos$ убывает. Поэтому

$$\cos y<-\cos x=\cos(\pi-|x|).$$

Из убывания косинуса получаем

$$|y|>\pi-|x|.$$

То есть

$$|x|+|y|>\pi.$$

Итак, фигура — это часть круга

$$x^2+y^2<\pi^2,$$

лежащая вне ромба

$$|x|+|y|\le \pi.$$

Этот ромб целиком лежит внутри круга, потому что из

$$|x|+|y|\le \pi$$

следует

$$x^2+y^2\le (|x|+|y|)^2\le \pi^2.$$

Площадь круга:

$$S_{\text{круга}}=\pi\cdot \pi^2=\pi^3.$$

Площадь ромба с диагоналями $2\pi$ и $2\pi$:

$$S_{\text{ромба}}=\frac{2\pi\cdot 2\pi}{2}=2\pi^2.$$

Следовательно,

$$S=\pi^3-2\pi^2=\pi^2(\pi-2).$$

Ответ

$$\boxed{\pi^2(\pi-2)}.$$

Что полезно спросить себя

• Что означает фраза «при любом $t$»? Обычно это «бери минимум по $t$».
• Можно ли правую часть упростить тригонометрически?
• Получается ли после упрощения знакомая геометрическая фигура?

---

7. Велосипедист и мотоциклист на круговой трассе

Условие.
Есть круговая трасса радиуса $R$.
Если едут навстречу, точки последовательных встреч дают одну и ту же хорду 4022 м.
Если едут в одном направлении, точки последовательных обгонов тоже дают хорду 4022 м.
Если велосипедист стоит, мотоциклист проезжает мимо него каждые 32 минуты.
Если мотоциклист стоит, велосипедист проезжает мимо него реже, чем каждые 55 минут, но чаще, чем каждые 64 минуты.
Найти радиус трассы.

Идея

На окружности одинаковые хорды соответствуют равным центральным углам или дополнительным к ним.
Нужно выразить центральные углы через скорости.

Пусть длина окружности $L=2\pi R$, скорости мотоциклиста и велосипедиста равны $u$ и $v$, причём $u>v$.

Решение

Шаг 1. Что дают данные про отдельные круги

Если велосипедист стоит, то мотоциклист делает круг за 32 минуты:

$$u=\frac{L}{32}.$$

Если мотоциклист стоит, то велосипедист делает круг за время $T_v$, причём

$$55<T_v<64.$$

Значит

$$v=\frac{L}{T_v}.$$

Удобно ввести отношение

$$r=\frac vu=\frac{32}{T_v}.$$

Тогда

$$\frac{32}{64}<r<\frac{32}{55},$$

то есть

$$\frac12<r<\frac{32}{55}.$$

---

Шаг 2. Центральный угол между соседними встречами при движении навстречу

Время между встречами:

$$T_1=\frac{L}{u+v}.$$

За это время велосипедист проходит дугу длиной

$$vT_1=\frac{Lv}{u+v}.$$

Значит меньший центральный угол между соседними точками встреч:

$$\theta_1=2\pi\frac{v}{u+v}=2\pi\frac{r}{1+r}.$$

---

Шаг 3. Центральный угол между соседними обгонами при движении в одном направлении

Время между обгонами:

$$T_2=\frac{L}{u-v}.$$

За это время велосипедист проходит дугу длиной

$$vT_2=\frac{Lv}{u-v}.$$

Так как $r>\frac12$, эта величина больше $L$, поэтому фактический сдвиг точки на окружности равен этой длине по модулю $L$:

$$L\left(\frac{v}{u-v}-1\right)=L\frac{2v-u}{u-v}.$$

Значит меньший центральный угол между соседними точками обгона:

$$\theta_2=2\pi\left(\frac{v}{u-v}-1\right) =2\pi\frac{2r-1}{1-r}.$$

---

Шаг 4. Используем равенство хорд

Обе хорды равны 4022, значит соответствующие меньшие центральные углы либо равны, либо в сумме дают $2\pi$.
Но в наших пределах параметров второй вариант не подходит, поэтому остаётся

$$\theta_1=\theta_2.$$

То есть

$$\frac{r}{1+r}=\frac{2r-1}{1-r}.$$

Решаем:

$$r(1-r)=(2r-1)(1+r),$$ $$r-r^2=r+2r^2-1,$$ $$3r^2=1,$$ $$r=\frac1{\sqrt3}.$$

Это действительно лежит в интервале $\left(\frac12,\frac{32}{55}\right)$.

Значит

$$\frac vu=\frac1{\sqrt3}.$$

---

Шаг 5. Находим общий угол и радиус

Тогда

$$\frac{r}{1+r} =\frac{1/\sqrt3}{1+1/\sqrt3} =\frac1{\sqrt3+1} =\frac{\sqrt3-1}{2}.$$

Следовательно,

$$\theta=2\pi\cdot \frac{\sqrt3-1}{2} =\pi(\sqrt3-1).$$

Длина хорды:

$$4022=2R\sin\frac{\theta}{2}.$$

Значит

$$4022=2R\sin\!\left(\frac{\pi(\sqrt3-1)}{2}\right),$$ $$R=\frac{2011}{\sin\!\left(\frac{\pi(\sqrt3-1)}{2}\right)}.$$

Численно:

$$R\approx 2203.29\text{ м}.$$

Ответ

$$\boxed{R=\frac{2011}{\sin\!\left(\frac{\pi(\sqrt3-1)}{2}\right)}\approx 2203.29\text{ м}}$$

Что полезно спросить себя

• Что означает «расстояние по прямой между точками на окружности»? Это хорда.
• Через что выражается хорда? Через центральный угол.
• Как найти угол между соседними встречами/обгонами? Через время между событиями и пройденную дугу.

---

8. Поворот зеркала

Условие.
Фиксированный луч света падает на зеркало, образуя со своей проекцией на плоскость зеркала острый угол $\alpha$. Зеркало поворачивают вокруг указанной проекции на острый угол $\beta$. Найти угол между двумя отражёнными лучами: до и после поворота.

Идея

Ось поворота уже дана: это проекция луча на зеркало. Значит очень удобно выбрать её за ось $Ox$. Тогда всё сводится к векторному отражению.

Решение

Выберем координаты так:

• исходная плоскость зеркала — плоскость $z=0$;
• ось $Ox$ направлена вдоль проекции падающего луча на зеркало;
• падающий луч имеет направление

$$\vec d=(\cos\alpha,\,0,\,-\sin\alpha).$$

Тогда его отражение от плоскости $z=0$:

$$\vec r_1=(\cos\alpha,\,0,\,\sin\alpha).$$

Теперь зеркало поворачивают вокруг оси $Ox$ на угол $\beta$.
Единичная нормаль к новой плоскости становится

$$\vec n=(0,\sin\beta,\cos\beta).$$

Формула отражения вектора $\vec d$ относительно плоскости с нормалью $\vec n$:

$$\vec r_2=\vec d-2(\vec d\cdot \vec n)\vec n.$$

Скалярное произведение:

$$\vec d\cdot \vec n =(\cos\alpha,0,-\sin\alpha)\cdot (0,\sin\beta,\cos\beta) =-\sin\alpha\cos\beta.$$

Значит

$$\vec r_2 =\vec d+2\sin\alpha\cos\beta\,\vec n.$$

То есть

$$\vec r_2= (\cos\alpha,\, 2\sin\alpha\sin\beta\cos\beta,\, -\sin\alpha+2\sin\alpha\cos^2\beta).$$

Используем формулы:

$$2\sin\beta\cos\beta=\sin 2\beta,\qquad -1+2\cos^2\beta=\cos 2\beta.$$

Получаем

$$\vec r_2= (\cos\alpha,\, \sin\alpha\sin 2\beta,\, \sin\alpha\cos 2\beta).$$

Пусть $\gamma$ — угол между отражёнными лучами. Тогда

$$\cos\gamma=\vec r_1\cdot \vec r_2.$$

Считаем:

$$\cos\gamma = \cos^2\alpha+\sin^2\alpha\cos 2\beta.$$

Преобразуем:

$$\cos\gamma =1-\sin^2\alpha+\sin^2\alpha\cos 2\beta =1-\sin^2\alpha(1-\cos 2\beta)$$ $$=1-2\sin^2\alpha\sin^2\beta.$$

Но

$$\cos\gamma=1-2\sin^2\frac\gamma2.$$

Следовательно,

$$\sin\frac\gamma2=\sin\alpha\sin\beta.$$

Так как $\alpha,\beta$ острые, получаем

$$\boxed{\gamma=2\arcsin(\sin\alpha\sin\beta)}.$$

Ответ

$$\boxed{\gamma=2\arcsin(\sin\alpha\sin\beta)}.$$

Что полезно спросить себя

• Какая ось в задаче «естественная»? Здесь это проекция луча.
• Можно ли выбрать координаты так, чтобы ось поворота стала одной из осей?
• Есть ли стандартная формула отражения вектора относительно плоскости?

---

Короткая сводка ответов

1. $\boxed{a_1=0}$

2. $\boxed{\left(a,b\right)=\left(-\frac1{2024},\,\log_{2025}(2024)\right)}$

3. $\boxed{118}$

4. $\boxed{\dfrac{36\sqrt7}{7}}$

5. $\boxed{42}$

6. $\boxed{\pi^2(\pi-2)}$

7. $\boxed{R=\dfrac{2011}{\sin\!\left(\frac{\pi(\sqrt3-1)}{2}\right)}\approx 2203.29\text{ м}}$

8. $\boxed{2\arcsin(\sin\alpha\sin\beta)}$

---

Какие вопросы вообще полезно задавать себе в олимпиадных задачах

Почти всегда помогают вот такие:

1. Что здесь главное по структуре?
   Прогрессия? Симметрия? Выпуклость? Корни многочлена? Геометрия окружности?

2. Можно ли ввести новую функцию или новую последовательность?
   Например, $f(x)$, $b_n=5^{a_n}$, координаты точек.

3. Что будет на границах?
   В задачах на интервалы решений, площади, «при любом $t$» — это часто ключ.

4. Есть ли стандартный приём?
   Виет, переход к квадрату, координаты, тригонометрические формулы, формула хорды.

5. Нужно ли точное значение?
   Иногда хватает оценок сверху и снизу, как в задаче 3.

6. Что сохраняется при симметрии/повороте/масштабировании?
   Это очень полезно в геометрии.

Если хочешь, я могу ещё сделать вторую версию: совсем в формате “как бы я решал это на олимпиаде в черновике, шаг за шагом, с мыслями и типичными ловушками”.