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已知函数 $f(x)=ln (x+3)+ln (3-x)+1/(x+3)$，讨论 $f(x)$ 的单...

Creado el: 9 de enero de 2026

Respondido usando GPT-5.2 Thinking por Chat01

Pregunta

已知函数 f(x)=ln(x+3)+ln(3−x)+1/(x+3)f(x)=ln (x+3)+ln (3-x)+1/(x+3)，讨论 f(x)f(x) 的单调性。 需求：深度挖掘这道题的本质，出一些类似题。

Python

python
import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
sp.factor(2*x**3+11*x**2+18*x+9)


(x + 1)*(x + 3)*(2*x + 3)

Python

python
x=sp.Symbol('x')
a=3
expr=-2*x/(a**2-x**2)+1/(a-x)**2
sp.factor(sp.simplify(expr))


(x - 1)*(2*x - 3)/((x - 3)**2*(x + 3))

Python

python
import numpy as np, math
def roots(m):
    D=m*m-36*m+36
    if D<0: return None
    s=math.sqrt(D)
    r1=(m-6 - s)/4
    r2=(m-6 + s)/4
    return r1,r2
for m in [40,50,100]:
    print(m, roots(m))

Python

python
for m in [-100,-10,-1,0,0.5,1,1.02,1.03]:
    D=m*m-36*m+36
    if D>=0:
        s=math.sqrt(D)
        r1=(m-6-s)/4
        r2=(m-6+s)/4
        print(m,D,r1,r2)
    else:
        print(m,D,"no real roots")

Python

python
x=sp.Symbol('x')
expr=1/(x+5) -1/(5-x) + 2/(5-x)**2
sp.factor(sp.simplify(expr))


2*(x**2 - 4*x + 5)/((x - 5)**2*(x + 5))

Python

python
expr=1/(x+5) -1/(5-x) + 1/(5-x)**2
sp.factor(sp.simplify(expr))


(2*x**2 - 9*x + 5)/((x - 5)**2*(x + 5))

Python

python
x=sp.Symbol('x')
expr=-2*x/(9-x**2)+3/(x+3)**2
sp.factor(sp.simplify(expr))


(2*x**2 + 9*x - 9)/((x - 3)*(x + 3)**2)

Python

python
import sympy as sp, math
x=sp.Symbol('x', real=True)
def monotonic_intervals(a,c,side='plus'):  # side plus uses c/(x+a); side minus uses c/(a-x)
    if side=='plus':
        f=sp.log(x+a)+sp.log(a-x)+c/(x+a)
        domain=(-a,a)
    else:
        f=sp.log(x+a)+sp.log(a-x)+c/(a-x)
        domain=(-a,a)
    fp=sp.factor(sp.simplify(sp.diff(f,x)))
    return f,fp
for a,c in [(6,2),(2,2),(4,sp.Rational(4,3)),(8,sp.Rational(8,3)),(5,sp.Rational(4,3))]:
    f,fp=monotonic_intervals(a,c,'plus')
    print(a,c,fp)
f,fp=monotonic_intervals(3,1,'minus')
print("a=3 c=1 side minus", fp)

Python

python
import sympy as sp
x=sp.Symbol('x')
f=sp.log(x+3)+sp.log(3-x)+1/(x+3)
vals={sp.Rational(-3,2): sp.simplify(f.subs(x,sp.Rational(-3,2))),
      -1: sp.simplify(f.subs(x,-1))}
vals


{-3/2: 2/3 + log(27/4), -1: 1/2 + log(8)}

Pensamiento

Finalizing response and preparing similar problems

I’ve determined the local min and max: at x = -

Thought for 6m 33s

Respuesta

1）原题：f(x)=ln⁡(x+3)+ln⁡(3−x)+1x+3f(x)=\ln(x+3)+\ln(3-x)+\dfrac1{x+3} 的单调性

定义域

x+3>0,  3−x>0  ⇒  x∈(−3,3).x+3>0,\;3-x>0\;\Rightarrow\;x\in(-3,3).

求导并“抓住结构”化简（这题的关键）

直接求导：

f′(x)=1x+3−13−x−1(x+3)2.f'(x)=\frac1{x+3}-\frac1{3-x}-\frac1{(x+3)^2}.

先把前两项合并（这里会自然出现 x+3x+3 这个“公共因子”）：

1x+3−13−x=(3−x)−(x+3)(x+3)(3−x)=−2x(x+3)(3−x).\frac1{x+3}-\frac1{3-x}=\frac{(3-x)-(x+3)}{(x+3)(3-x)}=\frac{-2x}{(x+3)(3-x)}.

于是

f′(x)=−2x(x+3)(3−x)−1(x+3)2.f'(x)=\frac{-2x}{(x+3)(3-x)}-\frac1{(x+3)^2}.

再通分到 (3−x)(x+3)2(3-x)(x+3)^2：

f′(x)=−2x(x+3)−(3−x)(3−x)(x+3)2=−2x2+5x+3(3−x)(x+3)2.f'(x)=\frac{-2x(x+3)-(3-x)}{(3-x)(x+3)^2} =-\frac{2x^2+5x+3}{(3-x)(x+3)^2}.

因式分解：

2x2+5x+3=(2x+3)(x+1),2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1),

所以

 f′(x)=−(2x+3)(x+1)(3−x)(x+3)2 .\boxed{\,f'(x)=-\dfrac{(2x+3)(x+1)}{(3-x)(x+3)^2}\, }.

在定义域 (−3,3)(-3,3) 上，(3−x)>0(3-x)>0，(x+3)2>0(x+3)^2>0，所以 分母恒正，导数符号只看分子：

sgn⁡(f′)=−sgn⁡((2x+3)(x+1)).\operatorname{sgn}(f')=-\operatorname{sgn}\big((2x+3)(x+1)\big).

临界点：2x+3=0⇒x=−322x+3=0\Rightarrow x=-\tfrac32，x+1=0⇒x=−1x+1=0\Rightarrow x=-1。

单调性结论（符号表）

  • x∈(−3,−32)x\in(-3,-\tfrac32)：(2x+3)<0,(x+1)<0⇒(2x+3)<0,(x+1)<0\Rightarrow乘积 >0⇒f′<0>0\Rightarrow f'<0 ⇒ 递减
  • x∈(−32,−1)x\in(-\tfrac32,-1)：乘积 <0⇒f′>0<0\Rightarrow f'>0 ⇒ 递增
  • x∈(−1,3)x\in(-1,3)：乘积 >0⇒f′<0>0\Rightarrow f'<0 ⇒ 递减
f 在 (−3,−32) 递减，在 (−32,−1) 递增，在 (−1,3) 递减。\boxed{\text{$f$ 在 }(-3,-\tfrac32)\text{ 递减，在 }(-\tfrac32,-1)\text{ 递增，在 }(-1,3)\text{ 递减。}}

（顺带：x=−32x=-\tfrac32 是极小点，x=−1x=-1 是极大点。）

2）这题的“本质”到底是什么？

这题不是在考你展开通分算三次多项式，而是在考你识别并利用下面两个“配合得刚好”的结构：

本质 1：两个对数是“对称配对”的

ln⁡(x+3)+ln⁡(3−x)=ln⁡((x+3)(3−x))=ln⁡(9−x2).\ln(x+3)+\ln(3-x)=\ln\big((x+3)(3-x)\big)=\ln(9-x^2).

这类题天然会出现 (3−x)(3-x) 与 (x+3)(x+3) 这对“互补因子”。

本质 2：1x+3\dfrac1{x+3} 的导数制造了 (x+3)2(x+3)^2，恰好与上面的公共因子配合

导数里会同时出现

  • 来自对数：1x+3\frac1{x+3}、13−x\frac1{3-x}（一次幂分母）
  • 来自 1x+3\frac1{x+3}：1(x+3)2\frac1{(x+3)^2}（二次幂分母）

然后你会发现：(x+3)(x+3) 既在 (x+3)(3−x)(x+3)(3-x) 里，也在 (x+3)2(x+3)^2 里，于是通分后能把复杂表达压成一个二次多项式的符号问题，这才是出题人真正想让你做的事。

一句话通法模板（非常好用）

设 a>0a>0，考虑

F(x)=ln⁡(x+a)+ln⁡(a−x)+cx+a,x∈(−a,a).F(x)=\ln(x+a)+\ln(a-x)+\frac{c}{x+a},\quad x\in(-a,a).

则

F′(x)=−2x(x+a)+c(a−x)(a−x)(x+a)2.F'(x)=-\frac{2x(x+a)+c(a-x)}{(a-x)(x+a)^2}.

在 (−a,a)(-a,a) 上分母恒正，所以单调性只看

Q(x)=2x(x+a)+c(a−x)=2x2+(2a−c)x+acQ(x)=2x(x+a)+c(a-x)=2x^2+(2a-c)x+ac

这个二次函数的正负（有根就分区间，没根就单调）。

原题就是 a=3,c=1a=3,c=1，于是

Q(x)=2x2+5x+3=(2x+3)(x+1),Q(x)=2x^2+5x+3=(2x+3)(x+1),

直接秒出符号表。

3）类似题（按难度分层，附“答案/提示”）

A. 同一套路（通分后必成二次，且可因式分解）

  1.   f1(x)=ln⁡(x+6)+ln⁡(6−x)+2x+6\;f_1(x)=\ln(x+6)+\ln(6-x)+\dfrac{2}{x+6}，讨论单调性（定义域 (−6,6)(-6,6)）
    答案： 递减 (−6,−3)(-6,-3)，递增 (−3,−2)(-3,-2)，递减 (−2,6)(-2,6)。

  2.   f2(x)=ln⁡(x+4)+ln⁡(4−x)+4/3x+4\;f_2(x)=\ln(x+4)+\ln(4-x)+\dfrac{4/3}{x+4}，讨论单调性（定义域 (−4,4)(-4,4)）
    答案： 递减 (−4,−2)(-4,-2)，递增 (−2,−43)(-2,-\tfrac43)，递减 (−43,4)(-\tfrac43,4)。

  3.   f3(x)=ln⁡(x+8)+ln⁡(8−x)+8/3x+8\;f_3(x)=\ln(x+8)+\ln(8-x)+\dfrac{8/3}{x+8}，讨论单调性（定义域 (−8,8)(-8,8)）
    答案： 递减 (−8,−4)(-8,-4)，递增 (−4,−83)(-4,-\tfrac83)，递减 (−83,8)(-\tfrac83,8)。

  4.   f4(x)=ln⁡(x+2)+ln⁡(2−x)+2x+2\;f_4(x)=\ln(x+2)+\ln(2-x)+\dfrac{2}{x+2}，讨论单调性（定义域 (−2,2)(-2,2)）
    答案： 在 (−2,2)(-2,2) 上 严格递减（导数对应的二次式无实根且恒正）。

B. “换一边”的同构题（把 1x+a\frac1{x+a} 换成 1a−x\frac1{a-x}）

  1.   g(x)=ln⁡(x+3)+ln⁡(3−x)+13−x\;g(x)=\ln(x+3)+\ln(3-x)+\dfrac{1}{3-x}，讨论单调性（定义域 (−3,3)(-3,3)）
    答案： 递增 (−3,1)(-3,1)，递减 (1,32)(1,\tfrac32)，递增 (32,3)(\tfrac32,3)。

  2.   g2(x)=ln⁡(x+5)+ln⁡(5−x)+25−x\;g_2(x)=\ln(x+5)+\ln(5-x)+\dfrac{2}{5-x}，讨论单调性（定义域 (−5,5)(-5,5)）
    答案： 在 (−5,5)(-5,5) 上 严格递增（分子二次式恒正）。

C. 参数题：把“本质”用到极致（推荐练一题就够）

  1.   fm(x)=ln⁡(x+3)+ln⁡(3−x)+mx+3\;f_m(x)=\ln(x+3)+\ln(3-x)+\dfrac{m}{x+3}，求 mm 使 fmf_m 在 (−3,3)(-3,3) 上单调递减。
    答案： m≥18−122\boxed{m\ge 18-12\sqrt2}。（当 0<m<18−1220<m<18-12\sqrt2 时呈“减—增—减”，有两个驻点。）

  2. 反向设计系数：令

    h(x)=ln⁡(x+5)+ln⁡(5−x)+cx+5,h(x)=\ln(x+5)+\ln(5-x)+\frac{c}{x+5},

    要求 x=−1x=-1 是驻点，求 cc 并讨论单调性。
    答案： c=43\boxed{c=\frac43}。单调性：递减 (−5,−103)(-5,-\tfrac{10}{3})，递增 (−103,−1)(-\tfrac{10}{3},-1)，递减 (−1,5)(-1,5)。

如果你愿意，我也可以把这些“模板题”再升级一档：比如让你只用判别式 + 根的位置，不必完整求根，也能快速判断单调区间（很适合考试提速）。

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