Электронные часы показывают три или четыре цифры в...

Ответ: 1431 минут.

Кратко, как это получить.

---

1. Какие времена вообще подходят

• Часы показывают формат от 0:00 до 23:59.
• Вася увидел четыре разные цифры – значит, это может быть только время с двузначным часом: от 10:00 до 23:59.
  Для часов вида h:mm (0–9 часов) отображалось бы всего 3 цифры.
• Второй раз он увидел те же четыре цифры, но в другом порядке, поэтому:
  • второй момент тоже имеет вид HH:MM (четыре цифры);
  • в обоих моментах времени используются одни и те же 4 разные цифры.

---

2. Как максимизировать промежуток

Рассмотрим все подходящие моменты времени как точки на суточном круге (0–1440 минут).

Для двух времен $T_1$ и $T_2$ есть два пути по кругу:
от $T_1$ до $T_2$ и от $T_2$ до следующего $T_1$.
Их длины в сумме дают 1440 минут (сутки).

Если обозначить минимальное из этих двух расстояний через $\delta$,
то максимальное возможное время между наблюдениями равно

$$1440 - \delta$$

(идём по “длинному” пути через полночь).

Значит, чтобы промежуток был как можно больше, нужно, чтобы два подходящих времени с одинаковым набором 4 разных цифр были как можно ближе друг к другу на шкале, т.е. чтобы $\delta$ было минимальным (но не 0, т.к. порядок цифр другой).

Полный перебор всех допустимых времен (их не так много — 364) показывает:

• минимальное возможное расстояние $\delta$ между двумя временами, представляющими собой перестановки одних и тех же четырёх различных цифр,
  оказывается 9 минут.
• Например, пара
  23:45 и 23:54
  использует те же цифры 2,3,4,5 в разном порядке и отличается на 9 минут.

Значит, максимальный возможный промежуток между двумя наблюдениями:

$$1440 - 9 = 1431 \text{ минут}.$$

Его можно реализовать, например, так:

• первый раз: 23:54,
• второй раз: 23:45 на следующие сутки.

От 23:54 до полуночи: 6 минут,
от полуночи до 23:45 следующего дня: 23 часа 45 минут = 1425 минут,
всего $6 + 1425 = 1431$ минут.

---

Ответ: $\boxed{1431}$ минут.

Ответ: 1431 минут.

Разбор.

---

1. Какие моменты времени подходят

Часы показывают время с двоеточием, но количество цифр может быть 3 или 4:

• от 0:00 до 9:59 — 3 цифры (например, 7:05);
• от 10:00 до 23:59 — 4 цифры (например, 23:45).

По условию Вася увидел четыре разные цифры, значит:

• и в первый, и во второй раз часы показывали время вида HH:MM с четырьмя различными цифрами;
• то есть часы были в промежутке от 10:00 до 23:59, и у каждого времени все 4 цифры различны;
• второй раз — те же 4 цифры, но в другом порядке ⇒ это тоже какое-то время из тех же четырёх цифр.

Всего таких моментов в сутках не так много (можно посчитать — их 364).

---

2. Как из этого выжать максимум по времени

Пусть часы в первый раз показывали $T_1$, во второй — $T_2$.
Сутки — это 1440 минут.

Между двумя моментами времени на циферблате (по кругу суток) есть два пути:

• короткий (по часовой стрелке или против), длиной $\delta$ минут;
• длинный, длиной $1440 - \delta$ минут.

Если мы допускаем, что между просмотрами прошло не более суток, то:

• наибольшее возможное время между событиями для данной пары показаний — это как раз длинный путь, то есть $$1440 - \delta.$$

Поэтому задача сводится к такому:

Найти две разные записи времени с 4 различными цифрами, состоящие из одних и тех же цифр, так чтобы минимальное расстояние $\delta$ по кругу суток между ними было как можно меньше (но > 0).

---

3. Минимальная возможная разница $\delta$

Можно аккуратно перебрать все подходящие времена (их всего 364) и сгруппировать их по наборам цифр.
При этом выясняется:

• минимальное возможное ненулевое расстояние $\delta$ между двумя такими временами равно 9 минутам;
• пример пары с разницей 9 минут:
  • 23:45 и 23:54 — обе записи используют цифры 2, 3, 4, 5 в разном порядке,
    и отличаются ровно на 9 минут.

Доказывается (полным перебором или программой), что разницы в 1–8 минут для таких пар быть не может.

---

4. Максимальное возможное время между наблюдениями

Раз для любой подходящей пары $\delta \ge 9$, то максимально возможный промежуток между событиями (меньше суток) равен

$$1440 - 9 = 1431 \text{ минута}.$$

И это можно реализовать, например, так:

• первый раз Вася смотрит на часы в 23:54;
• второй раз — в 23:45 следующего дня.

От 23:54 до полуночи — 6 минут,
от полуночи до 23:45 — 23 часа 45 минут = 1425 минут,
итого $6 + 1425 = 1431$ минут.

Больше (при условии, что между событиями не больше суток) получить нельзя.

---

Ответ: $\boxed{1431}$ минут.