Рассмотрим задачу шаг за шагом, чтобы вычислить сумму ряда

$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot |G_n|,$$

где $G_n \subset G$ — подмножества, в которые отображение $f$ отображает ровно $n$ прообразов из $\Omega$, и $|G_n|$ — их площадь.

---

1. Геометрия и отображение

Дано:

• $\Omega = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1, \Re(z) < 0 \}$ — это левая половина единичного диска.
• $G$ — образ этого множества под отображением $$f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{in^3} z^{2n}}{\sqrt{n(n+3)}}.$$
• Это степенной ряд только по чётным степеням $z^{2n}$, с радиусом сходимости, очевидно, равным 1 (по корневому признаку: $\sqrt{n(n+3)} \sim n$, так что общий член ведет себя как $z^{2n}/n$).

---

2. Аналитические свойства отображения

Поскольку:

• $f(z)$ — аналитическая функция в единичном круге (ряд сходится при $|z| < 1$),
• и она четная (все степени чётные), т.е. $f(-z) = f(z)$,
• область $\Omega$ — односвязная, без граничных особенностей внутри области сходимости.

Можно применить формулу площади по кратности отображения:

$$\int_{f^{-1}(G)} n(z) \, dA(z) = \int_{G} m(w) \, dA(w),$$

где $m(w)$ — кратность покрытия точки $w \in G$, то есть число прообразов $z \in \Omega$, таких что $f(z) = w$. То есть:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot |G_n| = |\Omega|.$$

---

3. Площадь области $\Omega$

Это — левая половина единичного круга. Площадь полного круга: $\pi$, значит:

$$|\Omega| = \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{\pi}{2}.$$

---

4. Ответ

Сумма ряда:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot |G_n| = \frac{\pi}{2} \approx \boxed{1.57}.$$

Рассмотрим задачу:

---

Задача

Дано:

• $\Omega = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| < 1, \ \Re(z) < 0 \}$ — левая половина единичного круга.

• Функция:

  $$f(z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{i n^3} z^{2n}}{\sqrt{n(n+3)}}$$

  — аналитическая в единичном круге $|z| < 1$, поскольку степенной ряд сходится при $|z| < 1$.

• $G = f(\Omega) \subset \mathbb{C}$ — образ области $\Omega$ под действием $f$.

• $G_n \subset G$ — множество точек, имеющих ровно $n$ прообразов в $\Omega$.

Требуется найти:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot |G_n|,$$

где $|G_n|$ — площадь множества $G_n$.

---

Решение через теорему о сохранении меры

Ключевая идея: Для аналитического отображения $f \colon \Omega \rightarrow G$, где $f$ не вырождается, справедлива формула:

$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot |G_n| = |\Omega|.$$

Это — классическая формула в комплексном анализе (считается, что каждый прообраз учитывается с кратностью, и «суммарная кратность» в образе равна площади исходной области).

---

Площадь области $\Omega$

Это — левая половина единичного круга, то есть:

$$|\Omega| = \frac{1}{2} \cdot \pi = \frac{\pi}{2}.$$

---

Ответ

$$\sum_{n=1}^{\infty} n \cdot |G_n| = \frac{\pi}{2} \approx \boxed{1.57}.$$

(Округлено до двух знаков после запятой).