Решим задачу аккуратно.

Дано уравнение

$$\sqrt[3]{5+2x} + |x+4| + x^2 + 7x + m = 0$$

и нужно найти такие $m$, при которых есть хотя бы одно решение $x$ на отрезке $[-2;11]$. В ответе – сумму наибольшего и наименьшего из таких $m$.

---

1. Упростим вид функции на данном отрезке

Рассмотрим модуль. На $[-2;11]$ имеем $x+4 \ge -2+4 = 2 > 0$, значит

$$|x+4| = x+4.$$

Перенесём $m$ в другую сторону и введём функцию:

$$\sqrt[3]{5+2x} + x+4 + x^2 + 7x + m = 0$$ $$x^2 + 8x + 4 + \sqrt[3]{5+2x} + m = 0.$$

Обозначим

$$f(x) = x^2 + 8x + 4 + \sqrt[3]{5+2x}.$$

Тогда уравнение эквивалентно

$$f(x) + m = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad m = -f(x).$$

Нас интересуют все значения $m$, которые принимаются как $-f(x)$ при $x \in [-2;11]$.

---

2. Непрерывность и монотонность

Функция $f(x)$ – сумма многочлена и кубического корня, значит она непрерывна на $\mathbb{R}$, в частности на $[-2;11]$.

Найдём производную на интервале $(-2;11)$. Кубический корень дифференцируем, и внутри интервала точка $5+2x=0$ (то есть $x=-2{,}5$) не попадает, так что всё корректно:

$$f(x) = x^2 + 8x + 4 + \sqrt[3]{5+2x}.$$ $$f'(x) = 2x + 8 + \frac{2}{3\sqrt[3]{(5+2x)^2}}.$$

На отрезке $[-2;11]$ выражение $5+2x \ge 1 > 0$, значит $\sqrt[3]{(5+2x)^2} > 0$, и дробь $\dfrac{2}{3\sqrt[3]{(5+2x)^2}}>0$.

Кроме того, на $[-2;11]$:

• $2x+8 \ge 2\cdot(-2)+8 = 4 > 0$.

Следовательно,

$$f'(x) > 0 \quad \text{для всех } x \in [-2;11],$$

то есть $f(x)$ строго возрастает на всём нужном отрезке.

Значит:

• минимальное значение $f$ на $[-2;11]$ достигается в левой точке $x=-2$,
• максимальное – в правой точке $x=11$.

---

3. Найдём значения $f(-2)$ и $f(11)$

При $x=-2$:

$$f(-2) = (-2)^2 + 8\cdot(-2) + 4 + \sqrt[3]{5+2\cdot(-2)} = 4 - 16 + 4 + \sqrt[3]{1} = -8 + 1 = -7.$$

При $x=11$:

$$f(11) = 11^2 + 8\cdot 11 + 4 + \sqrt[3]{5+2\cdot 11} = 121 + 88 + 4 + \sqrt[3]{27} = 213 + 3 = 216.$$

Таким образом,

$$\min_{x\in[-2;11]} f(x) = f(-2) = -7,\quad \max_{x\in[-2;11]} f(x) = f(11) = 216.$$

---

4. Диапазон значений $m$

Поскольку $m = -f(x)$, а $f$ непрерывна и возрастает от $-7$ до $216$, то функция $-f(x)$ непрерывно убывает от $7$ до $-216$. Значит все значения $m$, для которых существует хотя бы одно $x\in[-2;11]$, лежат в отрезке

$$m \in [-216;\,7].$$

Тогда:

• наименьшее значение $m_{\min} = -216$,
• наибольшее значение $m_{\max} = 7$.

Нужно найти сумму:

$$m_{\min} + m_{\max} = -216 + 7 = -209.$$

---

Ответ: $\boxed{-209}$.