Коротко: $\tilde m=x_1$ — несмещённая, но (почти всегда) несостоятельная оценка $\mu$.

Несмещённость.
Пусть $X_1,\dots,X_n$ — выборка из распределения с $\mathbb E X = \mu$ (существует конечное мат. ожидание). Тогда

$$\mathbb E[\tilde m]=\mathbb E[X_1]=\mu,$$

то есть оценка несмещённая.

Состоятельность.
Состоятельность требует $\tilde m \xrightarrow{P} \mu$ при $n\to\infty$. Но $\tilde m=X_1$ не зависит от $n$, следовательно, для любого $\varepsilon>0$

$$\Pr\{|\tilde m-\mu|>\varepsilon\}=\Pr\{|X_1-\mu|>\varepsilon\}$$

есть одна и та же положительная константа (если распределение невырождено), и она не стремится к нулю при росте $n$. Значит, сходимости по вероятности к $\mu$ нет.

Эквивалентно по среднеквадратичной ошибке: при $\operatorname{Var}(X)=\sigma^2>0$

$$\mathrm{MSE}(\tilde m)=\mathbb E[(X_1-\mu)^2]=\operatorname{Var}(X_1)=\sigma^2,$$

что не убывает к нулю с $n$.

Итого: $\tilde m=x_1$ — несмещённая, но несостоятельная (кроме вырожденного случая $X\equiv \mu$ почти наверное).