Расскажи решение задачи и как решаются задачи коши...

Шаг-за-шагом решение задачи Коши

Уравнение

$$y'' = y'\,e^{y},\qquad y(0)=0,\; y'(0)=1$$

1. Снижаем порядок.
   Обозначим $p=y'=\dfrac{dy}{dx}$. Тогда $y''=\dfrac{dp}{dx}$.
   Уравнение принимает вид

   $$\frac{dp}{dx}=p\,e^{y}.$$

2. Используем правило цепочки.
   Так как $p=p(y)$, запишем

   $$\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\,\frac{dp}{dy}.$$

   Подставляя обратно:

   $$p\,\frac{dp}{dy}=p\,e^{y}\quad\Longrightarrow\quad\frac{dp}{dy}=e^{y}\quad(\text{для }p\neq0).$$

3. Интегрируем:

   $$p=\int e^{y}\,dy=e^{y}+C_1.$$

4. Используем начальное условие $y(0)=0,\;p(0)=y'(0)=1$:

   $$1=e^{0}+C_1\;\Longrightarrow\;C_1=0,\quad\Rightarrow\;p=e^{y}.$$

5. Получаем первое-порядковое ОДУ:

   $$\frac{dy}{dx}=e^{y}.$$

6. Разделяем переменные:

   $$e^{-y}\,dy = dx.$$

   Интегрируя:

   $$-e^{-y}=x+C_2.$$

7. Определяем $C_2$ из $y(0)=0$:

   $$-e^{0}= -1 = 0 + C_2\;\Longrightarrow\;C_2=-1.$$

8. Записываем итоговое решение:

   $$-e^{-y}=x-1 \;\Longrightarrow\; e^{-y}=1-x,\quad y(x)=-\ln(1-x),$$

   справедливое при $x<1$ (чтобы $1-x>0$).
   Проверка:

   $$y'(x)=\frac{1}{1-x}=e^{y},\quad y''(x)=\frac{1}{(1-x)^2}=y'e^{y},$$

   начальные условия удовлетворены.

---

Как в целом решают задачи Коши (initial value problems)

Этап	Идея	Инструменты
1. Постановка	Записать ОДУ (или систему) и начальные условия $y(x_0)=y_0,\; y'(x_0)=y'_0,\dots$.	—
2. Анализ существования и единственности	Проверить условия Пикара–Липшица (локальная липшицевость правой части) или другие теоремы.	Теоремы Коши–Пикара, Пеано, Остроградского–Лiouвилля
3. Выбор метода решения	Зависит от вида уравнения: <br>• Разделение переменных — если $y'$ раскладывается в $X(x)\,Y(y)$.<br>• Интегрирующий множитель — линейные уравнения первого порядка.<br>• Замена переменных/понижение порядка — если $x$ не входит явно, как в нашей задаче (приём $p(y)$).<br>• Методы для линейных ОДУ 2-го порядка — характеристическое уравнение, вариация постоянных.<br>• Системы — матричная экспонента, дифференциальные формы.	Алгебра, интегралы, подстановки
4. Проверка начальных условий	Подставить $x_0$ и скорректировать константы интегрирования.	—
5. Аналитическая или численная доработка	• Если уравнение интегрируется явно — получить формулу.<br>• Если нет — применить численный метод (Эйлер, Рунге–Кутта, методы с адаптивным шагом).	Численные схемы, оценка погрешности
6. Анализ области определения	Найти интервал, где решение остаётся конечным и единственным (разрывы коэффициентов, точки взрыва решения).	Теоремы продолжения решения

Полезные приёмы, встречающиеся чаще всего

• Подстановка $p(y)$ — работает, когда $y''$ выражается через $y'$ и $y$, но $x$ не присутствует явно.
• Энергетический/интегральный первый интеграл — для автономных систем.
• Линеаризация — малые отклонения от стационарного решения.
• Серийное разложение (метод Пикара, метод степенных рядов) — когда нужно доказать существование или построить приближение.

Таким образом, задача Коши решается последовательным:

1. выбором подходящей техники для данного вида ОДУ,
2. интегрированием (или численным шагом),
3. подгонкой констант по начальным условиям,
4. проверкой корректности и области применимости решения.