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我正在学习铁电体物理学，图片部分有点看不懂，这段是推导为什么氢键能有铁电性质，我很奇怪为什么这里突然...

Creado el: 22 de junio de 2025

Respondido usando O3 por Chat01

Pregunta

image.pngimage.png

我正在学习铁电体物理学，图片部分有点看不懂，这段是推导为什么氢键能有铁电性质，我很奇怪为什么这里突然引入了自旋，者的个体系按道理没有自旋的说法，而且它还推出了升降算符与自旋的关系，我不知道这是为什么？

Python

python
from PIL import Image
import matplotlib.pyplot as plt

img = Image.open('/mnt/data/image.png')
plt.imshow(img)
plt.axis('off')

(-0.5, 779.5, 978.5, -0.5)

Python

python
plt.figure(figsize=(4,4))
plt.imshow(img.crop((0,80,600,200)))
plt.axis('off')

(-0.5, 599.5, 119.5, -0.5)

Pensamiento

Verifying formula intention

I’m unsure about the exact meaning of the formula. The condition shown is ai+ai++ai−ai−=1a_i^{+} a_i^{+} + a_i^{-} a_i^{-} = 1, and I wonder if that’s actually what was meant. Raising and lowering operators typically satisfy an identity like this: ai+ai++ai−ai−=1a_i^{+} a_i^{+} + a_i^{-} a_i^{-} = 1, consistent with occupancy constraints. But I’m second-guessing whether the correct constraint is that, or if it's something else related to number operators. The formula seems to call for some clarification.

Thought for 35 seconds

Respuesta

这里的 “自旋”并不是真正意义上电子或质子的自旋 (spin-1/2)；它是把氢键上一颗质子在“两种位置”之间的二能级系统，用 SU(2) 代数来重写的一种 赝自旋 (pseudospin, 伪自旋) 表示。
为了说明思路，先把图中的几个式子翻译成文字，再解释它们的物理含义。

1 两种占位 → 二能级体系

在每条氢键 ii 上，质子只有两个可能位置（例如靠近左/右氧原子，或氢键上/下位）。用产生、湮灭算符

ai+ †,  ai+和ai− †,  ai−a_{i}^{+\,\dagger},\;a_{i}^{+}\qquad\text{和}\qquad a_{i}^{-\,\dagger},\;a_{i}^{-}

分别描述“ ++”与“ −-”两个局域本征态。约束条件

ai+†ai++ai− †ai−=1a_{i}^{+\dagger}a_{i}^{+}+a_{i}^{-\,\dagger}a_{i}^{-}=1

只是说同一条氢键上始终恰有一颗质子——要么在 ++ 位，要么在 −- 位。

2 Pauli 矩阵 = 二能级算符的自然基

任何二能级 Hilbert 空间都与自旋 1/21/2 等价，因为它们共享同一个李群 SU(2)。于是所有 2×2 算符都可展成

{1,  Sx,  Sy,  Sz},Sα=12σα,\bigl\{ 1,\; S^x,\; S^y,\; S^z \bigr\},\qquad S^\alpha=\tfrac12\sigma^\alpha,

即图中式 (4.92) 列出的泡利矩阵。这样做的好处是：

  • 代数封闭：[Sα,Sβ]=iεαβγSγ[S^\alpha,S^\beta]=i\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}S^\gamma；
  • 形式熟悉：后面整条氢键链的相互作用可直接写成 Ising-或横场-Ising 型 Hamiltonian，便于套用自旋格点模型的已有结果来讨论相变、铁电极化等。

3 把占位算符映射成赝自旋

利用 ai+†ai+=ni+,  ai− †ai−=ni−a_{i}^{+\dagger}a_{i}^{+}=n_i^{+},\;a_{i}^{-\,\dagger}a_{i}^{-}=n_i^{-}

Siz=12(ni+−ni−),Si+=ai+†ai−=Six+iSiy,Si−=ai− †ai+=Six−iSiy.\begin{aligned} S_i^z &= \frac12 \bigl(n_i^{+}-n_i^{-}\bigr),\\[2pt] S_i^+ &= a_{i}^{+\dagger}a_i^{-}=S_i^x+iS_i^y,\\ S_i^- &= a_{i}^{-\,\dagger}a_i^{+}=S_i^x-iS_i^y . \end{aligned}

于是图中式 (4.93)

Siy=12i(ai+†ai−−ai− †ai+),Six=12(ai+†ai−+ai− †ai+)\begin{aligned} S_i^y &= \frac{1}{2i}\bigl(a_i^{+\dagger}a_i^{-}-a_i^{-\,\dagger}a_i^{+}\bigr),\\ S_i^x &= \frac12\bigl(a_i^{+\dagger}a_i^{-}+a_i^{-\,\dagger}a_i^{+}\bigr) \end{aligned}

就是把“跃迁算符” a†aa^\dagger a 写成赝自旋分量的过程。这里

  • SizS_i^z 表示质子偏向哪一侧（取值 ±½），其空间平均与宏观电极化方向一一对应；
  • Si±S_i^\pm 代表质子在隧穿过程中“翻转”位置——正如自旋翻转那样。

4 为什么赝自旋能描述铁电相变？

  1. 序参量直观：平均赝自旋 ⟨Sz⟩≠0\langle S^z \rangle\neq0 就是质子分布的非对称性 → 产生宏观极化 → 铁电有序；
  2. 与 Ising 模型同形：质子-质子相互作用（氢键耦合、晶格畸变耦合） → 赝自旋-赝自旋耦合，常写成 H=−∑i,jJij SizSjz−∑iΓ Six−…\mathcal H = -\sum_{i,j}J_{ij}\,S_i^zS_j^z - \sum_i \Gamma\,S_i^x - \dots 这正是横场 Ising 模型，方便用统计力学方法求相图、临界行为；
  3. 对隧穿的处理更自然：横场 ΓSx\Gamma S^x 表征质子量子隧穿，经典 Ising 则无法直接描述这一量子效应。

5 小结

  • “自旋”只是一个数学映射，把“质子两种占位”→“赝自旋上下”以利用 SU(2) 的简洁代数；
  • 升降算符 a†aa^\dagger a 与 S±S^\pm 等价，是在赝自旋空间中的“翻转”操作；
  • 这样重写后，氢键铁电体 (如 KDP、D-TGS 等) 的 Hamiltonian 与 Ising-型自旋链同构，铁电极化 ↔ 赝自旋有序，自然而然解释了铁电相变的统计-量子特征。

如果你还想进一步了解怎样把具体晶体势能、质子-晶格耦合常数 Jij,ΓJ_{ij},\Gamma 映射出来，或想看经典 KDP-模型推导的完整步骤，告诉我，我可以继续补充！

Pregunta

你的第三部分：把占位算符映射成赝自旋，说实话我对这个体系不太熟，能教我一下吗？

Pensamiento

Explaining pseudospin mapping

The user wants a tutorial on mapping occupation operators to pseudospin. I'll break down the steps:

  • First, define a two-level system and occupation number basis.
  • Next, explain creation and annihilation operators for basis states.
  • Show how states are represented with |+> and |->.
  • Then, express occupation number operators (n^+ and n^-) and projectors.
  • Introduce Pauli matrices in the 2D space.
  • Demonstrate the mapping from n to S^z, and the transition operators to S^x and S^y.
  • Finally, provide the physical significance and a short matrix demonstration.

Let’s dive into these concepts!

Thought for 6 seconds

Respuesta

好的，我们一步一步把“ 占位算符 → 赝自旋 ”这个映射讲清楚。整条思路其实就是：任何只有两个正交本征态的量子系统，都等价于一个自旋 ½——氢键上质子“左 / 右”或“上 / 下”两个位置正是这样的二能级。

1. 定义体系的二元基矢

质子位置记号矩阵表示（列向量）
位置 “+”∣+⟩\lvert +\rangle(10)\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}
位置 “−”∣−⟩\lvert -\rangle(01)\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}

以后我们把这两个本征态当作一个 2×1 列向量空间的基底，完全照搬自旋 ½ 的 Hilbert 空间结构。

2. 产生／湮灭算符与占据数

  • 产生算符： a+†∣空⟩=∣+⟩,a−†∣空⟩=∣−⟩a_{+}^{\dagger}\lvert\text{空}\rangle=\lvert +\rangle, \qquad a_{-}^{\dagger}\lvert\text{空}\rangle=\lvert -\rangle
  • 湮灭算符： a+, a−a_{+},\,a_{-} 反向作用。
  • 占据数算符： n+=a+†a+,n−=a−†a−,n++n−=1.n_{+}=a_{+}^{\dagger}a_{+},\qquad n_{-}=a_{-}^{\dagger}a_{-},\qquad n_{+}+n_{-}=1.

在矩阵形式中（按 {∣+⟩,∣−⟩}\{|+\rangle, |-\rangle\} 排序）：

n+=(1000),n−=(0001).n_{+}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix},\qquad n_{-}=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}.

3. SU(2)／泡利矩阵的“自然基”

自旋 ½ 的泡利矩阵是

σx=(0110),  σy=(0−ii0),  σz=(100−1),Sα=12σα.\sigma^x=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\; \sigma^y=\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix},\; \sigma^z=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\qquad S^\alpha=\tfrac12\sigma^\alpha.

因为这套矩阵在 任何二维希尔伯特空间 都是一组完备基，所以你看到的书直接把它们搬了过来（式 4.92）。

4. 映射公式的推导

4.1 SzS^z ↔ 位置不对称

Sz=12σz=12(100−1)=12(n+−n−).S^z = \frac12\sigma^z = \frac12\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = \frac12(n_{+}-n_{-}).
  • 当质子在 ++ 位：⟨Sz⟩=+½\langle S^z\rangle=+½
  • 当质子在 −− 位：⟨Sz⟩=−½\langle S^z\rangle=-½

于是 ⟨Sz⟩\langle S^z\rangle 可直接做为“偏向哪边”的序参量，也与宏观极化方向一一对应。

4.2 S±S^\pm ↔ 跃迁（隧穿）算符

S+≡Sx+iSy=(0100)=a+†a−,S−≡Sx−iSy=(0010)=a−†a+.\begin{aligned} S^+ &\equiv S^x+iS^y = \begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix} = a_{+}^{\dagger}a_{-},\\[6pt] S^- &\equiv S^x-iS^y = \begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix} = a_{-}^{\dagger}a_{+}. \end{aligned}

它们让质子“从一侧跳到另一侧”，与二能级系统里的升降算符完全同构。

4.3 Sx,SyS^x,S^y 用 aa-算符写法

把上面两式加减，得到你截图里的 (4.93)：

Sx=12(a+†a−+a−†a+),Sy=12i(a+†a−−a−†a+).\boxed{ \begin{aligned} S^x &= \tfrac12(a_{+}^{\dagger}a_{-}+a_{-}^{\dagger}a_{+}),\\ S^y &= \tfrac{1}{2i}(a_{+}^{\dagger}a_{-}-a_{-}^{\dagger}a_{+}). \end{aligned}}

5. 验证 SU(2) 代数

随便挑一对试一试（手算或 Python 都行）：

[Sx,Sy]=iSz,[Sy,Sz]=iSx,[Sz,Sx]=iSy.[S^x,S^y]=iS^z,\quad [S^y,S^z]=iS^x,\quad [S^z,S^x]=iS^y.

这说明把 aa-算符组合成 SαS^\alpha 之后，确实落回了 SU(2) 李代数——赝自旋的数学框架自洽。

6. 物理图像：为什么这么做有用？

  1. 序参量清晰
    ⟨Sz⟩≠0\langle S^z\rangle\neq0 ⇔ 质子概率分布不对称 ⇔ 晶体产生净极化 ⇒ 铁电相。
  2. 哈密顿量有熟悉的形式
    • 质子–质子耦合（邻氢键间库仑＋晶格耦合）
      ∝−JijSizSjz\propto -J_{ij}S_i^zS_j^z，像 Ising 模型中的自旋配对。
    • 隧穿（量子涨落）
      ∝−ΓSix\propto -\Gamma S_i^x，即横场-Ising 中的横场项。
  3. 统计与量子分析工具现成
    你可以直接用自旋链/自旋格点模型的重整化群、均场、量子蒙特卡洛等方法来求临界温度、临界指数、隧穿诱导量子相变等。

7. 常见疑问小结

疑问解释
“既然质子带自旋 ½，和这里的赝自旋有何关系？”完全无关。这里的“自旋”只是把“两个离散位置”抽象成 SU(2) 双态；真实粒子自旋仍然存在，但通常与铁电序参量耦合很弱，可在本模型里忽略。
“SU(2) 替换成别的群可以吗？”只要是二能级——就只能等价 SU(2)。若以后出现三位置模型，就会用 SU(3) 或更大对称群的八元生成元去写。
“占位算符为什么满足费米统计？”它们只是射影算符，和 (反)对易不对易无关；在同一氢键上永远只有 一 个质子，故满足 n++n−=1n_++n_-=1 的约束即可。

如果想更深入

  • KDP 模型 经典推导：如何把质子位置势能、零点隧穿、晶格畸变一步步投影到赝自旋哈密顿量。
  • 横场-Ising 的量子临界：Γ/J\Gamma/J 调节点、1D/2D 链与面心晶格上的不同临界行为。
  • 与实验对比：中子散射、介电常数、核磁共振等测量如何映射到 ⟨Sα⟩\langle S^\alpha\rangle 与关联函数。

告诉我你对哪一块最感兴趣，我可以继续展开！

Pregunta

我基础不太好，能不能顺便写出每个升降算符对应的矩阵，带我慢点过

Pensamiento

Explaining operators and matrices

The user is asking for matrices of raising and lowering operators and wants a step-by-step explanation. I think I’ll avoid using code and just present the 2x2 matrices directly in text format. These matrices are fairly standard and don't require real-time updates or calculations, so I can present them clearly without pulling data from external sources. It's better to take it slow and guide the user through each matrix as they correlate with the pseudospin mapping.

Thought for 9 seconds

Respuesta

下面把 基矢、占据数算符及所有“升降算符” 的 2 × 2 矩阵一一列出，并配上一句话说明它们对态 ∣+⟩,∣−⟩|+\rangle, |-\rangle 的作用，方便你一步步对照。为了直观，我始终采用同一个排列顺序

{∣+⟩,  ∣−⟩}  =  (10),  (01).\bigl\{|+\rangle,\;|-\rangle\bigr\}\;=\;\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.
名称记号作用矩阵表示
产生算符（把质子“放”到某位置）a+†a_{+}^{\dagger}$\text{空}\rangle !\to!
a−†a_{-}^{\dagger}$\text{空}\rangle !\to!
湮灭算符（把质子“拿走”）a+a_{+}$+\rangle !\to!
a−a_{-}$-\rangle !\to!
占据数算符n+=a+†a+n_{+}=a_{+}^{\dagger}a_{+}判断“在 + 吗？”(1000)\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}
n−=a−†a−n_{-}=a_{-}^{\dagger}a_{-}判断“在 − 吗？”(0001)\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}
赝自旋升／降算符S+=a+†a−S^{+}=a_{+}^{\dagger}a_{-}$-\rangle !\to!
S−=a−†a+S^{-}=a_{-}^{\dagger}a_{+}$+\rangle !\to!
赝自旋分量Sx=12(S+ ⁣+ ⁣S−)S^{x}=\dfrac12(S^{+}\!+\!S^{-})“翻面”并取对称12 ⁣(0110)\dfrac12\!\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}
Sy=12i(S+ ⁣− ⁣S−)S^{y}=\dfrac1{2i}(S^{+}\!-\!S^{-})“翻面”并带相位12 ⁣(0−ii0)\dfrac12\!\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix}
Sz=12(n+ ⁣− ⁣n−)S^{z}=\dfrac12(n_{+}\!-\!n_{-})判左右差异12 ⁣(100−1)\dfrac12\!\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}

如何阅读这张表

  1. 先看两端：

    • 占据数 n+,n−n_{+}, n_{-} 只是对角矩阵，告诉你质子在不在对应位置。
    • 赝自旋 SzS^{z} 就是这两者的差，所以仍然是对角矩阵，只是数值 ±½。

  2. 升降算符 S±S^{\pm}：

    • 本质上是“把质子从一边翻到另一边”的投影算符，因此只在副对角线上各有一个 1。
    • 把它们相加/相减后再乘 ½，就得到 SxS^{x} 和 SyS^{y}——你可以自己核算一下。

  3. 跟真实泡利矩阵比：

    • 去掉前面的系数 ½ 就是标准的 σx,σy,σz\sigma^{x},\sigma^{y},\sigma^{z}。
    • 因此整个赝自旋满足 [Sα,Sβ]=iεαβγSγ[S^{\alpha},S^{\beta}]=i\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}S^{\gamma} 的 SU(2) 代数。

小练习：任选两个矩阵，做个乘法验证一下上面的对易关系，直观感受 SU(2) 结构。

慢慢消化这些 2×2 表示后，再去看书里的 −JSizSjz−ΓSix -J S_i^zS_j^z - \Gamma S_i^x 那些汉密尔顿量，就能立刻看出它们只是把占位耦合、隧穿转换成了“自旋耦合”和“横场”而已。有什么地方还不清楚，或者想练习更多例子，随时告诉我！

Pregunta

image.pngimage.png

你这张表的显示有点问题

Pensamiento

Fixing table formatting

The user pointed out that the table isn’t displaying correctly, possibly due to TeX commands like \begin{pmatrix} that didn’t render properly. They probably need a simpler version, maybe using plain text or a markdown table instead. I’ll try reformatting the table into a basic markdown layout that should work well. I might also include code inline with backticks to avoid issues. Being clear and simple is key here, so I'll work on fixing it!

Thought for 11 seconds

Respuesta

下面把内容拆成 两部分，避免表格里混入 LaTeX 导致渲染紊乱：

① 速查索引（纯文字，不含矩阵）

名称记号主要作用
产生算符a+†a_{+}^{\dagger}, a−†a_{-}^{\dagger}“放”质子到 ++ 或 –– 位置
湮灭算符a+,  a−a_{+},\;a_{-}从 ++ 或 –– 位置“拿走”质子
占据数算符n+=a+†a+n_{+}=a_{+}^{\dagger}a_{+}<br>n−=a−†a−n_{-}=a_{-}^{\dagger}a_{-}判断质子是否在对应位置
赝自旋升／降S+=a+†a−S^{+}=a_{+}^{\dagger}a_{-}<br>S−=a−†a+S^{-}=a_{-}^{\dagger}a_{+}$
赝自旋分量Sx=12(S++S−)S^{x}=\tfrac12(S^{+}+S^{-})<br>Sy=12i(S+−S−)S^{y}=\tfrac1{2i}(S^{+}-S^{-})<br>Sz=12(n+−n−)S^{z}=\tfrac12(n_{+}-n_{-})三个 SU(2) 生成元

② 对应的 2×22\times2 矩阵（按基底 ∣+⟩=(1,0)T,  ∣−⟩=(0,1)T|+\rangle=(1,0)^{\mathrm T},\;|-\rangle=(0,1)^{\mathrm T}）

a+†=(0010),a−†=(0100),a+=(0100),a−=(0010),n+=(1000),n−=(0001),S+=(0100),S−=(0010),Sx=12(0110),Sy=12(0−ii0),Sz=12(100−1).\begin{aligned} a_{+}^{\dagger}&=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}, & a_{-}^{\dagger}&=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix},\\[6pt] a_{+}&=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, & a_{-}&=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\\[8pt] n_{+}&=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}, & n_{-}&=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix},\\[8pt] S^{+}&=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}, & S^{-}&=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix},\\[8pt] S^{x}&=\frac12\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}, & S^{y}&=\frac12\begin{pmatrix}0&-i\\ i&0\end{pmatrix}, & S^{z}&=\frac12\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}. \end{aligned}

小提示：如果想亲手验证 SU(2) 对易关系，任选两行矩阵做乘法即可，比如
[Sx,Sy]=SxSy−SySx=iSz[S^{x},S^{y}]=S^{x}S^{y}-S^{y}S^{x}=iS^{z}。

这样就避免了表格-LaTeX 混排带来的显示问题；希望这次看得清楚！如果还需要别的格式（例如 CSV、图片、或用 Python 生成可交互表格），告诉我就行。

Pregunta

为什么升降算符是这些矩阵

Pensamiento

Explaining raising and lowering operators

The user's question asks why the raising and lowering operators are represented by specific matrices (like S^+ and S^-). To answer, we need to give a detailed explanation, not just list them. I'll walk through the step-by-step derivation of these matrices from their definitions, showing how they act on basis vectors. For spin-1/2, S^+ and S^- correspond to operations like S^+|-> = |+>, and I'll generalize this with a formula for the matrix elements and calculations based on the chosen basis.

Thought for 7 seconds

Respuesta

关键在两句话：

  1. 升降算符的定义

    S+≡∣+⟩⟨−∣,S−≡∣−⟩⟨+∣S^{+}\equiv|+\rangle\langle-| ,\qquad S^{-}\equiv|-\rangle\langle+|

    ——也就是说，S+S^{+} 把 ∣−⟩|-\rangle “抬高”到 ∣+⟩|+\rangle，而 S−S^{-} 把 ∣+⟩|+\rangle “降”到 ∣−⟩|-\rangle。

  2. 任一算符在固定正交基 {∣+⟩,∣−⟩}\{|+\rangle,|-\rangle\} 上的矩阵元

    Omn=⟨m∣ O ∣n⟩.O_{mn}=\langle m|\,O\,|n\rangle.

按定义逐步写出矩阵

选定基

∣+⟩=(10),∣−⟩=(01).|+\rangle=\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix},\qquad |-\rangle=\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}.

1. 计算 S+=∣+⟩⟨−∣S^{+}=|+\rangle\langle-|

| | ∣+⟩|+\rangle 列（n=+n=+) | ∣−⟩|-\rangle 列（n=−n=-) | |---|---|---| | 第 1 行 ⟨+∣\langle+| | ⟨+∣S+∣+⟩=⟨+∣+⟩⟨−∣ ⁣+⟩=0\langle+|S^{+}|+\rangle=\langle+|+\rangle\langle-|\!+\rangle=0 | ⟨+∣S+∣−⟩=⟨+∣+⟩⟨−∣ ⁣−⟩=1\langle+|S^{+}|-\rangle=\langle+|+\rangle\langle-|\!-\rangle=1 | | 第 2 行 ⟨−∣\langle-| | ⟨−∣S+∣+⟩=⟨−∣ ⁣+⟩⟨−∣ ⁣+⟩=0\langle-|S^{+}|+\rangle=\langle-|\!+\rangle\langle-|\!+\rangle=0 | ⟨−∣S+∣−⟩=⟨−∣ ⁣+⟩⟨−∣ ⁣−⟩=0\langle-|S^{+}|-\rangle=\langle-|\!+\rangle\langle-|\!-\rangle=0 |

于是

S+=(0100).S^{+}=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}.

2. 计算 S−=∣−⟩⟨+∣S^{-}=|-\rangle\langle+|

完全同理得到

S−=(0010).S^{-}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}.

一眼看懂“升–降”结构

  • 非零元素只出现在副对角线：

    • 副对角线上方（第 1 行第 2 列）是 S+S^{+}，代表 “从 ∣−⟩|-\rangle 跳到 ∣+⟩|+\rangle”。
    • 副对角线下方（第 2 行第 1 列）是 S−S^{-}，代表 “从 ∣+⟩|+\rangle 跳到 ∣−⟩|-\rangle”。

  • 对角线必为零：因为升降算符不会把态留在原处。

创建／湮灭算符的矩阵为什么长得一样？

在这个模型里

a+†a−=S+,a−†a+=S−,a_{+}^{\dagger}a_{-}=S^{+},\qquad a_{-}^{\dagger}a_{+}=S^{-},

本质上也是“把粒子从一侧转移到另一侧”的射影算符，所以矩阵完全相同；只是诞生于不同的物理语境（占位 vs. 赝自旋）。

验证一下（可手算或随手写个脚本）

[S+,S−]=S+S−−S−S+=(100−1)=2Sz,[S^{+},S^{-}] = S^{+}S^{-}-S^{-}S^{+} = \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix} = 2S^{z},

正好符合 SU(2) 李代数。至此你就能 从“定义”直接得到“矩阵”，再反过来检验它们满足期望的代数关系——两头闭合，说明推导自洽。

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