DESARROLLA ESTE EJERCICIO DE MECÁNICA DE MEDIOS CO...

Prueba (para matrices cuadradas $n\times n$) usando solo notación indicial y la convención de Einstein

Sea

$$\det A \;=\;\frac1{n!}\, \varepsilon_{i_1 i_2\dots i_n}\, \varepsilon_{j_1 j_2\dots j_n}\, A_{\,i_1 j_1}\,A_{\,i_2 j_2}\,\dots A_{\,i_n j_n},$$

donde $\varepsilon_{i_1\dots i_n}$ es el símbolo de Levi-Civita (completamente antisimétrico) y todo índice repetido se suma de $1$ a $n$.

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1 . Expresar $\det(AB)$

Para el producto $C = AB$ con componentes $C_{ij}=A_{ik}B_{kj}$:

$$\det(AB)\;=\;\frac1{n!}\, \varepsilon_{i_1\dots i_n}\, \varepsilon_{j_1\dots j_n}\, (AB)_{\,i_1 j_1}\,\dots (AB)_{\,i_n j_n} \;=\; \frac1{n!}\, \varepsilon_{i_1\dots i_n}\, \varepsilon_{j_1\dots j_n}\, A_{\,i_1 k_1}B_{\,k_1 j_1}\;\dots\; A_{\,i_n k_n}B_{\,k_n j_n}.$$

Los índices $k_1,\dots,k_n$ están repetidos y, por tanto, se suman.

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2 . Reordenar las sumas

Agrupamos todos los factores de $A$ y todos los de $B$:

$$\det(AB)\;=\; \frac1{n!}\, \varepsilon_{i_1\dots i_n}\, A_{\,i_1 k_1}\dots A_{\,i_n k_n}\; \varepsilon_{j_1\dots j_n}\, B_{\,k_1 j_1}\dots B_{\,k_n j_n}.$$

Las $\varepsilon$ siguen multiplicando, pero obsérvese que el primer $\varepsilon$ solo depende de los índices $i_\alpha$; el segundo, de los $j_\alpha$. Los $k_\alpha$ “unen” ambos bloques.

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3 . Introducir una $\varepsilon$ adicional

Es útil reescribir la parte de $B$ con otro símbolo de Levi-Civita. Aplicamos la identidad de contracción doble:

$$\varepsilon_{j_1\dots j_n}\, B_{\,k_1 j_1}\dots B_{\,k_n j_n} \;=\; \det B\; \varepsilon_{k_1\dots k_n}.$$

Análogamente (o, si se prefiere, reconociendo simetría), para la parte de $A$:

$$\varepsilon_{i_1\dots i_n}\, A_{\,i_1 k_1}\dots A_{\,i_n k_n} \;=\; \det A\; \varepsilon_{k_1\dots k_n}.$$

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4 . Contraer los símbolos de Levi-Civita restantes

Sustituyendo estos resultados en la expresión de $\det(AB)$:

$$\det(AB) \;=\; \frac1{n!}\; (\det A)\,(\det B)\; \varepsilon_{\,k_1\dots k_n}\, \varepsilon_{\,k_1\dots k_n}.$$

Pero
$\displaystyle\varepsilon_{k_1\dots k_n}\,\varepsilon_{k_1\dots k_n}=n!$
(como puede verse expandiendo una sola fila de la matriz identidad o usando la propiedad $\varepsilon_{p_1\dots p_n}\varepsilon_{p_1\dots p_n}=n!$).

Por tanto,

$$\det(AB)=\frac1{n!}\,(\det A)(\det B)\,n! \;=\; (\det A)(\det B).$$

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$$\boxed{\;\det(AB)=\det A\;\det B\;}$$

La igualdad se ha demostrado exclusivamente con notación indicial y la convención de suma de Einstein, sin recurrir a argumentos de álgebra lineal externa.