阅读文章，用中文回答问题，在文中Moreover, if $v$ is a critical poi...

在原文第 1 节中作者先给出了能量泛函

$$I_{b}(v)\;=\;\frac12\!\int_{\mathbb R^{3}}\!\!|\nabla v|^{2}\,dx +\frac12\!\int_{\mathbb R^{3}}\!V(x)\,G^{-1}(v)^{2}\,dx +\frac{b}{4}\!\left(\int_{\mathbb R^{3}}\!|\nabla v|^{2}\,dx\right)^{2} -\!\int_{\mathbb R^{3}}\!K(x)\,F\!\bigl(G^{-1}(v)\bigr)\,dx, \tag{1.9}$$

并说明 $I_{b}\in C^{1}(H,\mathbb R)$（$H$ 是所选定的 Sobolev 空间）。接着他们写道

“Moreover, if $v$ is a critical point for $\mathcal I'_{b}$, then for all $\psi\in\mathcal C_{0}^{\infty}(\mathbb R^{N})$… ”
—— 公式 (1.10)

这里的 “$\mathcal I'_{b}$”（或者排版成 $\mathcal{I'}_{b}$）确实是一个排版错误。理论上应该写成

“如果 $v$ 是 $I_{b}$ 的临界点（即 $I'_{b}(v)=0$），那么对所有 $\psi\in\mathcal C_{0}^{\infty}(\mathbb R^{N})$ 都有
$\langle I'_{b}(v),\psi\rangle=\dots$.”

原因如下：

1. 临界点的定义
   在 Banach 空间 $H$ 上，若泛函 $I_{b}$ 可微，其 Fréchet 导数（或 Gateaux 导数）

   $$I'_{b}:H\longrightarrow H^{*}$$

   把向量 $v$ 映到其对偶空间中的线性泛函 $I'_{b}(v)$。
   临界点 的定义是满足 $I'_{b}(v)=0$ 的 $v\in H$。

2. 不能谈 “$I'_{b}$ 的临界点”
   $I'_{b}$ 本身已是映射到对偶空间的一阶导数，它不再是实值泛函，因而不存在通常意义上的临界点概念。正确的说法只能是 “$I_{b}$ 的临界点” 或 “$I'_{b}(v)=0$”。

3. 公式 (1.10) 的推导
   一旦 $v$ 满足 $I'_{b}(v)=0$，对任意测试函数 $\psi\in\mathcal C_{0}^{\infty}(\mathbb R^{N})$ 就有

   $$\langle I'_b(v),\psi\rangle=0,$$

   这正是作者在 (1.10) 中写下的积分表达式 。
   公式的本质是：对于 $I_{b}$ 的临界点，导数作为元素 $I'_b(v)\in H^{*}$ 必须在所有方向 $\psi$ 上取零。

4. 与变分法的一般框架一致
   在该类 Kirchhoff 型或广义准线性 Schrödinger 方程的研究中，常先构造能量泛函 $I_{b}$，再利用 Mountain-Pass、Ekeland 原理、非 Nehari 流形法等寻找其临界点；临界点即方程的弱解。整个变分框架要求的“可微泛函 + 临界点 =0” 对象都是 $I_{b}$，而非 $I'_{b}$。

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小结

因此，引文中出现的 “$\mathcal I'_{b}$” 应当更正为 “$I_{b}$”（或直接写 “if $v$ is a critical point of $I_{b}$”）。这是一个常见的排版/笔误，与文中的数学推导（尤其是 (1.10) 的正确性）并不矛盾；只要把 “critical point for $\mathcal I'_{b}$” 改为 “critical point of $I_{b}$” 即满足严格的变分理论表述。

结论先行
文章中 “Hence, the critical point of $\mathcal{I}'$ is solutions of (1.1)” 的写法并不严谨——严格地说，这里应写成

“Hence, the critical points of $\mathcal I$ (即满足 $\mathcal I'(v)=0$ 的 $v$) are solutions of (1.1).”

把 “critical point of $\mathcal{I}'$” 改为 “critical point of $\mathcal I$” 或者直接写 “$v$ such that $\mathcal I'(v)=0$” 才符合变分学的标准表述。原文的 $\mathcal{I}'$ 属于排版笔误。下面给出详细的数学解释。

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1. 关键概念回顾

术语	正确含义
泛函 $\mathcal I:H\to\mathbb R$	赋给每个 $v\in H$ 一个实数（本文中对应式 (1.9)）
导数 $\mathcal I':H\to H^{*}$	把 $v$ 送到一个线性连续泛函 $\mathcal I'(v)\in H^{*}$，即 Fréchet 导数
临界点 (critical point)	满足 $\mathcal I'(v)=0\in H^{*}$ 的 $v\in H$
Euler–Lagrange 方程	由 $\langle\mathcal I'(v),\psi\rangle=0$（$\forall\psi\in C_0^\infty$）得到的偏微分方程

注意：只有实值泛函（如 $\mathcal I$）才谈 “临界点”；
对偶空间映射 $\mathcal I'$ 本身不再是实值函数，没有 “临界点” 这一说。

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2. 为什么说写成 “critical point of $\mathcal{I}'$” 不对？

1. 命题的对象错位

   • 变分法中我们寻找的是 $\mathcal I$ 的驻点：$\mathcal I'(v)=0$。
   • 若把对象换成 $\mathcal I'$，那就等于在对偶空间 $H^{*}$ 再求一次导数——这既没有定义也无意义。

2. 举一个有限维类比

   • 设 $f:\mathbb R^n\to\mathbb R$，其梯度 $\nabla f:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$。
   • “$x$ 是 $f$ 的极值点” ⇔ $\nabla f(x)=0$。
   • 但绝不会说 “$\nabla f$ 有极值点”；梯度是向量场，不存在极值概念。

3. 与文中其余表述对照

   • 紧接着作者在公式 (1.10) 给出 $$\langle \mathcal I'_b(v),\psi\rangle = \cdots ,\quad \forall\psi\in C_0^\infty(\mathbb R^N),$$ 正是利用 $\mathcal I'_b(v)=0$ 推导弱形式。
   • 若将 “critical point of $\mathcal I'$” 改为 “$v$ satisfies $\mathcal I'(v)=0$” 就与 (1.10) 完全一致。

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3. 形式化论证

设 $H$ 为 Hilbert 空间（本文取 $H=H^1(\mathbb R^3)$ 或其变体），$\mathcal I\in C^{1}(H,\mathbb R)$。

定理（Morse 约定）
$v\in H$ 是 $\mathcal I$ 的临界点

$$\Longleftrightarrow \mathcal I'(v)=0\in H^{*}$$

临界点集记为 $\operatorname{Crit}(\mathcal I)$。

• 通过广义变分原理，$\operatorname{Crit}(\mathcal I)$ 与待研究的 PDE 弱解一一对应。
• 若硬要写 “$\operatorname{Crit}(\mathcal I')$”，那首先得让 $\mathcal I'$ 仍是实值函数才有定义；然而它并非如此。

因此，“critical point of $\mathcal{I}'$” 是 概念层面的不当表述。

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4. 该如何改正？

建议写法（与国际期刊常见语句保持一致）

Hence, the critical points of $\mathcal I$ – i.e. those $v\in H$ such that $\mathcal I'(v)=0$ – are weak solutions of equation (1.1).

或者更简洁地说

Hence, solving (1.1) is equivalent to finding $v\in H$ with $\mathcal I'(v)=0$.

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5. 小结

• $\mathcal I$ 是能量泛函；$\mathcal I'$ 是其一阶导数。
• 临界点应归属 $\mathcal I$，而不是 $\mathcal I'$。
• 文中 “critical point of $\mathcal{I}'$” 属于排版/笔误；改成 “critical point of $\mathcal I$”（或直接写 “$\mathcal I'(v)=0$”）后即可逻辑自洽，并与后续公式 (1.10)–(1.12) 完全衔接。

结论先说
单凭文中给出的

$$(V)\; V\in C(\mathbb R^{3}),\;V(x)>0,\quad H\subset H^{1}(\mathbb R^{3}),\;2<q<6,\;H\hookrightarrow L^{q}(\mathbb R^{3})\text{紧嵌入}$$

这一行文字还不足以“自动”推出 $H\hookrightarrow L^{q}(\mathbb R^{3})$ 的连续性与紧致性。
在 $\mathbb R^{3}$ 这类无界区域里，Rellich–Kondrachov 定理失效；若想恢复紧嵌入，必须再给出额外的致紧机制。文章后来其实暗含了两套典型条件，只是没有在 (V) 里一次写全：

场景	额外条件	作用	结果
(i) 常数势能 $V(x)\equiv V_0>0$	把函数限制在径向子空间 $H_r^{1}(\mathbb R^{3})={u\in H^{1}:u(x)=u(	x	)}$
(ii) 变量势能 $V(x)\not\equiv\mathrm{const}$	给予 强制/耗散 条件，例如<br> $\displaystyle\lim_{	x	\to\infty}V(x)=+\infty$或者<br> 存在$V_0>0$使$\displaystyle\inf_{

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1. 连续嵌入为什么容易

定义

$$\|u\|_{H}^{2}:=\int_{\mathbb R^{3}}\!|\nabla u|^{2}\,dx+\int_{\mathbb R^{3}}\!V(x)\,u^{2}\,dx .$$

因为 $V(x)>0$，显然

$$\|u\|_{H}\ge \|\nabla u\|_{2},$$

再借助 Sobolev 不等式 $\|u\|_{L^{q}}\le C\|\nabla u\|_{2}$（$2<q\le 6$），即可得到

$$\|u\|_{L^{q}}\le C\|u\|_{H},$$

即连续嵌入无需额外假设。

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2. 缺什么才导致“不紧”

在 $\mathbb R^{3}$ 上，如果既无径向对称又无势能约束，就可构造“随意平移”的函数列

$$u_n(x)=\varphi(x-a_n),\qquad |a_n|\to\infty,$$

它在 $H$ 内有统一上界，却在 $L^{q}$ 中不具收敛子列——紧致性失败。因此必须：

• 限制 对称性（如径向）阻止平移；
• 或让 势能 $V(x)$ 在无穷远“长高”，迫使能量留在有限区。

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3. 书中真正用到的致紧条件

文章后面分别采用了：

• 径向假设 如果 $V$ 为常数，则直接把空间选成 $H_r^{1}(\mathbb R^{3})$。由 Strauss 引理可知，该子空间在 $L^{q}$ 上紧嵌入。

• 强制势能 若 $V(x)$ 变动，则默认 $V$ 在无穷远不消失甚至趋向 $\infty$（见文后的 (V′)、(K1)、(K2) 等），从而得到带权空间

  $$H=\Bigl\{u\in D^{1,2}(\mathbb R^{3}):\int_{\mathbb R^{3}}\bigl(|\nabla u|^{2}+V(x)u^{2}\bigr)dx<\infty\Bigr\}$$

  对 $L^{q}$ 的紧嵌入。

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4. 该怎么把 (V) 写完整？

一种常见且足够的写法如下（只需满足其一）：

• (V_rad) $V(x)\equiv V_0>0$，且研究对象限制在 $H_r^{1}(\mathbb R^{3})$；
• (V_coerc) $V\in C(\mathbb R^{3}),\;V(x)\ge V_0>0,\;\displaystyle\lim_{|x|\to\infty}V(x)=+\infty$.

在这两个补充下，就可以严格证明

$$H\hookrightarrow L^{q}(\mathbb R^{3}),\qquad 2<q<6$$

既连续又紧。

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小结

• 连续性：靠 Sobolev 不等式和 $V>0$ 就够。
• 紧致性：还得加“径向对称”或“势能强制”之类的致紧条件。
• 把这些条件补入 (V)，才能真正保证 $H$ 到 $L^{q}(\mathbb R^{3})$ 的连续 且 紧嵌入。