已知点 A(2,1) 在双曲线 C: x²/a² - y²/(a² - 1) = 1 (a > 1)...

解题思路提要

1. 确定双曲线方程
   由 A (2, 1) 在

   $$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}-\dfrac{y^{2}}{a^{2}-1}=1\;(a>1)$$

   上可得

   $$\frac{4}{a^{2}}-\frac{1}{a^{2}-1}=1 \;\Longrightarrow\; a^{2}=2,\qquad a=\sqrt2.$$

   双曲线化为

   $$C:\;\frac{x^{2}}{2}-y^{2}=1.$$

2. 设交弦 l 的斜率为 k，截距为 b

   $$l:\;y=kx+b,\qquad k\ne0.$$

3. 求 P、Q 的坐标
   把 l 代入 C 得

   $$\Bigl(\tfrac12-k^{2}\Bigr)x^{2}-2kb\,x-(b^{2}+1)=0,$$

   其两根 $x_{1},x_{2}$ 与对应
   $y_{1}=kx_{1}+b,\;y_{2}=kx_{2}+b$.

4. 由 “$\displaystyle k_{AP}+k_{AQ}=0$” 求 k
   设

   $$k_{AP}=\frac{y_{1}-1}{x_{1}-2},\; k_{AQ}=\frac{y_{2}-1}{x_{2}-2},$$

   直接化简可得

   $$k_{AP}+k_{AQ}=\frac{2(k+1)}{\,b+2k+1\,}.$$

   令其等于 0 ⇒ k = –1（且 $b\ne1$）。

   (1) 直线 l 的斜率即为 $\boxed{-1}$.

5. 用 $k=-1$ 求 P、Q 的具体坐标
   令 $l:\;y=-x+b$，再与 C 联立得到

   $$x^{2}-4bx+2(b^{2}+1)=0 \quad (\lvert b\rvert>1,\;b\ne3).$$

   记两根为

   $$x_{1,2}=2b\pm2\sqrt{b^{2}-1},\qquad y_{1,2}=-x_{1,2}+b.$$

6. 用 $\tan\angle PAQ=2\sqrt2$ 确定 b

   对于 A 的两条射线

   $$k_{AP}=m,\quad k_{AQ}=-m,$$

   有

   $$\tan\angle PAQ=\Bigl|\frac{2m}{1-m^{2}}\Bigr|=2\sqrt2 \;\Longrightarrow\; m=\sqrt2.$$

   代入斜率表达式并解得

   $$b=\frac{5}{3}.$$

7. 计算 $\triangle PAQ$ 的面积

   $$P\Bigl(2b+2\sqrt{b^{2}-1},\;-\,2b-2\sqrt{b^{2}-1}+b\Bigr), \quad Q\Bigl(2b-2\sqrt{b^{2}-1},\;-\,2b+2\sqrt{b^{2}-1}+b\Bigr),$$

   在 $b=\tfrac53$ 时得到

   $$P\bigl(5.21895,\,-3.55228\bigr),\; Q\bigl(1.44772,\,0.21895\bigr).$$

   用向量叉积公式

   $$S_{\triangle PAQ}=\frac12\, \left|\,\overrightarrow{AP}\times\overrightarrow{AQ}\right| =\frac{16\sqrt2}{9}.$$

   (2) 所以 $\displaystyle S_{\triangle PAQ}=\boxed{\tfrac{16\sqrt2}{9}}$.

---

结果

1. 直线 l 的斜率：$-1$。
2. $\triangle PAQ$ 的面积：$\displaystyle \dfrac{16\sqrt2}{9}$.