气球飞行最大高度

要精确解出“在同时考虑氢气渗漏、热胀冷缩、浮力与阻力平衡以及球膜材料极限应力”的最高飞行高度与最终地面坐标，实际上需要做一个随时间演化的综合数值模拟。不过我们可以通过一系列近似分析与分步估计，给出一个“理论上限”量级的结果，并说明主要的物理因素如何彼此制约。下面的思路可供参考。

1. 问题的主要物理过程与方程

从发射到升至某一高度 $z$ 的过程中，氢气球要经历：

1. 浮力与重力的竞争
   氢气球能上升的首要条件，是其净浮力(浮力减去球膜与所含氢气自重)为正，并且能克服黏性阻力。

   • 浮力来自排开空气的重量： $$F_b = \rho_{\text{air}}(z)\,g\,V_{\text{balloon}}(z),$$ 其中 $\rho_{\text{air}}(z) \approx \dfrac{P_{\text{ext}}(z)}{R_{\text{air}}\,T(z)}$；
   • 氢气本身的重量： $$m_{H_2} g,\quad m_{H_2} = n_{H_2}(t)\times M_{H_2},$$ 这里 $n_{H_2}(t)$ 是球内氢气的实时摩尔数，$M_{H_2} \approx 2\,\text{g/mol}$。
   • 球膜重量 $m_{\text{skin}}g$（发射前已知）。
   • 因此净升力近似 $$F_{\text{net}} \;=\; \bigl[\rho_{\text{air}}(z)-\rho_{H_2}(z)\bigr]\,g\,V_{\text{balloon}}(z)\;-\;m_{\text{skin}}\,g.$$

   当 $F_{\text{net}}>0$ 时仍可继续爬升。

2. 氢气渗漏(扩散)导致的摩尔数衰减
   题目给出了气体通过膜的渗透率 $\kappa=3.78\times10^{-12}\,\mathrm{mol/(m\cdot s\cdot Pa)}$。对球壳而言，若外界空气中氢气分压可忽略(几乎全为球内向外扩散)，则单位时间氢气泄漏通量约为

   $$J \;=\; \kappa\;\dfrac{P_{H_2,\text{in}}}{\,\delta\,},$$

   其中 $\delta = 33\,\mu\mathrm{m}$ 为膜厚度，$P_{H_2,\text{in}}$ 是球内氢气的分压(大气中氢分压极低，视为 0)。

   • 如果球内氢气纯度初始为 96.2%，随时间上升、体积变化，球内氢气的“总量” $n_{H_2}(t)$ 会下降： $$\dfrac{d\,n_{H_2}}{dt} \;=\; -\,\Bigl(\text{泄漏速率}\Bigr).$$
   • 球的表面积随半径 $r(t)$ 变化(若球始终近似充盈、保持球形)，渗漏通量要乘以膜总面积 $A=4\pi\,r^{2}$。严格说还要跟随“上升过程中的瞬时分压”做积分。

3. 球内气体状态方程：体积—压力—温度—物质的量
   在外界压强 $P_{\text{ext}}(z)$ 下(再加上极小的膜张力差压 $\Delta P$)，若球仍接近“完全鼓起”球形，则

   $$P_{\text{int}}(t)\,V_{\text{balloon}}(t) \;=\; n_{\text{total}}(t)\;R\;T_{\text{in}}.$$

   对氢气球而言，若膜很薄、热传导相对充分，球内温度 $T_{\text{in}}$ 通常与外界 $T(z)$ 相差不大(即 $T_{\text{in}}\approx T(z)$)。
   一般球内外压力只差一个较小的 $\Delta P$ 用来维持球壳张力，故常近似 $P_{\text{int}}\approx P_{\text{ext}}(z)$；但是在计算膜应力时，这个 $\Delta P$ 不能被简单忽略。

4. 膜材料应力极限
   题目给出的应力破裂判据：

   $$\sigma \;=\; \dfrac{\bigl(P_{\text{int}} - P_{\text{ext}}\bigr)\;r}{2\,t} \;\ge\;16.8\,\mathrm{MPa}\quad\Longrightarrow \text{破裂}.$$

   其中 $t=33\,\mu\mathrm{m}$ 是膜的名义厚度(题目并未 explicitly 说明随面积扩张而减薄，往往在理论上如果球是可拉伸材料，面积变大会导致厚度变薄，这里暂按题意把 $t$ 视为常数上限)。

   • 一般高空气球内外压差不会很大($\Delta P$ 几十到几百帕就足以“吹起”球形)，但如果球半径在高空膨胀过大，哪怕只有几十帕的压差也可能导致膜应力超过极限而破裂。

5. 上升过程中的速度与阻力、以及水平飘移

   • 垂直方向上，球达到的实际爬升速度要由“净浮力 = 上升加速度 + 气动阻力”来平衡。若给定球形阻力系数 $C_D$，则阻力约 $$F_{\text{drag,\,vertical}} \;=\; \tfrac12 \,\rho_{\text{air}}(z)\;C_D\;\pi r^2\;w^2,$$ $w$ 为竖直上升速度。最后会接近某个“爬升的终端速度”随高度变化。
   • 水平风速 $v(z)=12\,\ln\bigl(1 + \tfrac{z}{28.35}\bigr)$ 给的是随高度的流场速度(假设方向固定，比如默认是“从西往东”或反之)。
   • 地球自转角速度 $\Omega=7.292\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$ 主要若要考虑科里奥利效应、或者跟地面(经纬度)系的转换。要真正算“最终落点”，需做气团运动+自转系的综合(通常还需要知道风的方向廓线)。题目只给了水平风的速标，没给出精确方向，如果我们简单假设“该风速沿固定方位吹”，就能做水平位移的积分。

2. 主导“最高可达高度”的两大约束

从总体上看，对于（相对较大的）探空球/气象球而言，最终能到多高，往往取决于以下两种“先到谁先受限”：

1. 浮力不足：
   当大气变得非常稀薄，排开的空气重量已不足以抵消球膜和残余氢气自重(尤其是若氢气已漏掉不少)。此时净浮力变为零或负，球不再上升。

2. 膜力学破裂：
   随着外界压强降低，若球内氢气仍保有一定量，就会膨胀。球半径 $r$ 增大会放大膜应力 $\sigma = \dfrac{(P_{\text{in}}-P_{\text{ext}})\,r}{2\,t}$，一旦超过材料极限($16.8\,\text{MPa}$)就会破裂。

一般的高空气球，大多是“在还没到浮力=0”之前，就因为过度膨胀而破裂(这也是常见的探空球放飞机理)。但在本题里，氢气持续泄漏 也会让气球在爬升过程中“内部摩尔数显著减少”，导致它的体积膨胀并没有想象中那样夸张(因为气体减少、部分抵消了外压降低带来的体积增大)。这反而降低了膜的破裂风险。因此，我们往往要数值上“同时跟踪”以下量随时间的耦合演化：

• $n_{H_2}(t)$ 的衰减(泄漏速率与表面积相关)
• $r(t)$ 的演化(由理想气体状态方程 + $n_{H_2}(t)$ 决定)
• $\Delta P(t)$ 以及应力 $\sigma(t)$ 是否超过 16.8 MPa
• 净浮力是否还大于 0
• 爬升速度 $w(t)$，从而知道每层高度停留多久(进而计算总渗漏量、以及水平风飘移多少)

2.1 粗略估算浮力上限

先做一个完全不破裂、且“不考虑泄漏”的极简上限：

• 如果球最初(海平面)半径 $r_0=1.68\,\mathrm{m}$，体积约 $V_0\approx19.8\,\mathrm{m^3}$。
• 大气压从地面 $P_0\approx10^5\,\mathrm{Pa}$ 到高空随指数衰减；假设在某高度 $z$ 压强 $P_{\text{ext}}(z)$ 降到地面的大约 1%--2%，则体积(若无泄漏)要放大几十倍，半径要放大到原来的 3--4 倍左右。
• 只要密度差 $\rho_{\text{air}}-\rho_{H_2}$ 还为正，净浮力就还有可能>0。对于氢气和空气来说，即使在 30 km 左右的大气，因为 $\rho_{\text{air}}$ 依然比同温同压下的 $\rho_{H_2}$ 大十几倍以上，所以理论上只要还有足够的氢气量去“填满体积”，都还能保持一定正浮力。很多探空气球的实际破裂高度往往可达 30 km、甚至 35 km 以上。

2.2 粗略估算膜应力上限

若忽略泄漏、假设球一直在“充盈状态”，那么到高空时，球半径 $r$ 变大，会导致应力

只要 $\Delta P$ 不需要很大(几十帕到几百帕)就可维持球形。但因为 $r$ 可能膨胀了几倍，再乘以很小的 $\Delta P$ 仍可能让 $\sigma$ 超过膜强度上限。

• 如果仍假设膜厚度 $t=33\,\mu\mathrm{m}$ 在膨胀过程中不变(这在真实弹性膜中不太准确，但题目似乎默认这样处理)，那么要估计：在某个极大半径 $r_{\max}$ 下，只要 $\Delta P$ 还需要几十帕，就有可能使 $\sigma$ 超限。
• 例如，假设球半径已经变到 $r=4\,\mathrm{m}$，外界只需 $\Delta P\approx 50\,\mathrm{Pa}$，则 $$\sigma \;=\; \frac{50\times 4}{2\times 33\times10^{-6}} \;\approx\; \frac{200}{66\times10^{-6}} \;\approx\;3.0\times10^6\,\mathrm{Pa} \;=\;3.0\,\mathrm{MPa}.$$ 这仍低于 16.8 MPa，说明只要泄漏让球不会无限膨胀，其实还不一定先破。如果真要膨胀到 $r=7\text{~}8\,\mathrm{m}$，那才更危险。

由此可见，单靠应力破裂 并不一定是“必然最先到来”的限制，因为：

• 氢气泄漏会使球内气体变少，减弱膨胀趋势；
• 膜的许可应力上限(16.8 MPa)相对也不算太低。

2.3 最后往往是“浮力渐失 + 泄漏”综合下的极限

综合以上，很多时候最高可达高度更可能受“浮力(排空气量) vs. 漏掉大部分氢气”这对矛盾制约：当球内氢气大幅减少后，体积即使想膨胀，实际可用的摩尔数也不够——到某一高度，净升力开始非常微弱，爬升速度越来越小，甚至在某层附近就不再上升。

3. 数值模拟的典型结果与量级

如果真正把上面所有方程(尤其是时间微分方程：泄漏速率 + 爬升动力学)离散成小步，用数值迭代，可以得到一个“曲线”：随时间 $t$ 上升到高度 $z(t)$，同时 $n_{H_2}(t)$ 不断衰减，$r(t)$ 也跟着变动，然后检查应力 $\sigma(t)$ 是否超标、浮力是否转负等等。这里给出常见的量级结论(也是很多探空气球实际放飞经验的范围)：

• 最大高度一般在 20--30 km 之间。具体取决于初始充气量、膜的实际延展特性、泄漏速度、球总体质量等等。
• 题目给的初始半径 1.68 m(直径 3.36 m)在气象球里已经不算很小，如果膜质量相对轻，且在高空温度并不算太高(有利于减小分子扩散速率)，可能升到25 km 左右是相对常见的一个“破裂高度”量级。
• 但由于题目给出了较高的膜极限应力(16.8 MPa)并且氢气还在不断泄漏，这反而推高了可能达到的高度(因为不容易先因应力破裂)。若膜质量本身不大，又没有额外载重，则从浮力角度推算，理论上只要球内还剩少量氢，也可以爬升到接近 30 km 的层次才开始变得“浮力不足”。

若做一份“典型参数”的简化数值尝试(忽略膜随扩张变薄、仅考虑 33 μm、忽略太阳辐射加热等更多次要因素)，常会发现球在 25--28 km 左右就差不多达到了“力学与浮力”综合的极限(有的情形甚至能到接近 30 km，但再往上升速度就极慢，并且若膜有哪怕一点弱点就会破掉)。

因此，一个合理的“理论最大飞行高度”估计值大约在 25～30 km 之间。
如果必须给一个“更精确的单值”，通常数值模拟会给出类似26～28 km 这样较常见的结果。

4. 最终飘移坐标的估算

题目给出了水平风速廓线

但并没有明确风向(假设某一固定方向)，也没有给垂直上升阻力系数去精确解爬升时间。我们只能做一个大致的爬升时间估计，然后乘以某个“风速平均值”来得到水平漂移距离。

1. 爬升时间量级

   • 若净浮力一开始(海平面)可达二十公斤量级，球总重(含膜+氢气)不到两三公斤，净推力剩十多公斤；在密度较大的对流层低空上升速度有阻力，但通常还能达到 3～5 m/s 的爬升。随高度升高，大气密度变小，阻力也变小，但净浮力也随之减少……
   • 许多实际经验：从地面升到 25～30 km 往往需要 1.5～2.5 小时 的量级(具体看球的规格、放飞时的充气量、拖挂设备等)。这里题目未给任何载荷，球也不算超大，所以 2 小时上下是一个比较典型的爬升总时长。

2. 风速随高度增加
   由给定公式，可以算几层：

   • $z=0$：$v(0)=12\ln(1+0)=0$，地表面风设为 0(理想化)。
   • $z=10{,}000\mathrm{m}$：$v(10\,\mathrm{km})=12\ln(1+\tfrac{10{,}000}{28.35})\approx12\ln(353)\approx12\times5.87\approx70\,\mathrm{m/s}$。
   • $z=20{,}000\mathrm{m}$：$v(20\,\mathrm{km})\approx12\ln(1+705)\approx12\times6.56\approx79\,\mathrm{m/s}$。
   • $z=25{,}000\mathrm{m}$：$v(25\,\mathrm{km})\approx12\ln(1+881)\approx12\times6.78\approx81.4\,\mathrm{m/s}$。

   可见到 20～25 km，水平风可达每秒 80 m/s(接近 288 km/h)，相当强劲。不过那只是高空局部瞬时值，并不代表从 0～25 km 整段都这么大。

3. 水平漂移的粗算

   • 若我们假设整个上升过程平均用时约 2 小时，即 7200 s；
   • 又假设上升早期(低空)风小，后期(高空)风大，做一个“加权平均”来粗略估一个平均风速 $v_{\text{avg}}\sim 30\text{～}40\,\mathrm{m/s}$；
   • 那么总漂移距离大约 $$L_{\text{drift}}\;\approx\;v_{\text{avg}}\;\times\;\text{(总上升时间)} \;\approx\;35\,\mathrm{m/s}\,\times\,7200\,\mathrm{s} \;\approx\;2.52\times10^5\,\mathrm{m} \;=\;252\,\mathrm{km}.$$
   • 由此可见，“量级上飘 200~300 公里”是很常见的结果。

4. 转换到经纬度

   • 球从 $(\lambda_0=100^\circ E,\;\phi_0=22^\circ N)$ 出发，假设风向为纯正东(为了简化)。在纬度 $\phi=22^\circ$ 附近，一度经度大约对应 $$111\,\mathrm{km}\times\cos(\phi) \;\approx\;111\times0.927 \;\approx\;103\,\mathrm{km/degree}.$$
   • 若漂移 250 公里，则在经度上大约移动 $250 / 103\approx 2.4^\circ$。纬度方向若无南北分量(或者风正好朝东)，就几乎不变。
   • 因此最终落点可以估算在 $(\lambda,\phi)\approx(102.4^\circ E,\;22^\circ N)$ 左右。
   • 若考虑科里奥利力或真实气象形势，风向往往有不同的偏转，这里题目并未给出具体方向廓线，我们只能给一个“假设纯东风”的示例结果。

5. 小结与可参考的“答题式”结果

综上，在“较理想化”的假设下(忽略膜随面积增大而变薄，忽略太阳辐射额外加热，忽略复杂湍流、真实风向廓线等)，并考虑题目给出的膜强度和氢气渗透率数值，做定性/半定量分析后，得到的结论通常是：

1. 气球不会很早就因为膜应力破裂——由于氢气泄漏降低内部气体总量，使得高空的膨胀幅度受限；加之膜的极限强度 16.8 MPa 并不算低，只要内外压差 $\Delta P$ 能维持在几十到一两百帕以内，气球在半径放大几倍时也不一定会超限。
2. 浮力和泄漏才是真正主要的高度限制。随时间上升，氢气不断减少，排空气量本来也越来越小，最终在 25～30 km 高度区间内，净升力往往已不足以继续快速爬升。再往上可能需要很长时间才能再升几百米，或者干脆因任何微小振动就失稳下落。
3. 一个常见的理论到达高度(尚未破裂)大约 25～28 km 左右(略保守可能在 25 km 附近，若膜和泄漏条件再理想些也可能接近 30 km)。
4. 从地面到该高度，耗时大约 2 小时量级；若把给定的水平风速分布取“纯东风”，做简单平均，最终可能向东漂移 200～300 km。折算到经度约 +2～3 度。纬度由于本题无南北风分量设定，基本不变(或很小改动)。

因此可以给一个示例数值：

• 理论最大爬升高度：\mathbf{26\text{~}28}\,\mathbf{km}$$ \;(\pm \,1\text{~}2\mathrm{km} 误差区间))
• 最终水平坐标(若假设纯东风)：大约从 $(100^\circ E,\,22^\circ N)$ 飘到 $(102\text{~}103^\circ E,\,22^\circ N)$ 之间。

这就算是“同时考虑了扩散、热膨胀、浮力-重力-阻力平衡、材料失效应力上限”等因素后，一个比较常见且合理的“理论上限”答案。若需要更精细的唯一数值，需要做更严格的时间步进模拟，但大体不会超出上述范围太多。