Гипотеза Римана

Ниже приведён подробный комментарий касательно формулировки задачи и текущего состояния знаний об этой знаменитой гипотезе.

Формулировка утверждения

Задача «доказать, что все нетривиальные (или нефундаментальные) нули дзета-функции Римана имеют действительную часть, равную $\tfrac12$» есть ни что иное, как Гипотеза Римана (Riemann Hypothesis). Её стандартная формулировка:

Гипотеза Римана: Все нетривиальные нули комплексной аналитической функции

$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s},\quad \Re(s) > 1,$$

(продолженной аналитически на всю комплексную плоскость за исключением простого полюса при $s = 1$) лежат на прямой $\Re(s) = \tfrac12$.

Здесь:

1. Нетривиальные нули — это те, которые не являются «тривиальными нулями» при $s = -2, -4, -6, \dots$.
2. Гипотеза Римана была сформулирована Бернхардом Риманом в 1859 году в его знаменитой статье «О числе простых чисел меньше заданной величины» («Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse»).

Текущее состояние проблемы

• На сегодняшний день гипотеза Римана не доказана и не опровергнута. Это одна из глубочайших и важнейших нерешённых задач современной математики.
• Гипотеза Римана включена в список «задач тысячелетия» математического института Клэя (Clay Mathematics Institute). За её решение (доказательство или опровержение) обещана премия в 1 миллион долларов.
• За более чем 150 лет, прошедших со времён Римана, было получено огромное количество косвенных подтверждений гипотезы:
  • Проверены многие миллиарды первых нетривиальных нулей численно, и все они действительно лежат на прямой $\Re(s) = 1/2$.
  • Существует множество глубоких эквивалентных формулировок гипотезы Римана, а также следствий, которые были бы немедленно доказаны, если бы гипотеза оказалась верна (например, утверждения о распределении простых чисел).
• Вместе с тем никакого общепринятого полного доказательства до сих пор не существует. Все построенные «кандидаты в доказательства» либо содержат пробелы, либо сводятся к эквивалентным утверждениям, которые сами в той или иной форме пока недоказаны.

Как устроено доказательство быть не может (в двух словах)

Поскольку гипотеза Римана — глубоко аналитическая и связана с очень тонкой структурой дзета-функции (которая, в свою очередь, переплетена с распределением простых чисел), «короткого» или «элементарного» доказательства тут не ожидают. Все большие наработки в области аналитической теории чисел, случайных матриц, спектральной теории, теории функций и т.д. пока не дали окончательного решения.

Известные частичные результаты

1. Теорема де Бруйна — Ньюмана (1976): введённая функция $\Lambda(\lambda)$, зависящая от параметра $\lambda$, связана с распределением нулей дзета-функции. Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что некоторый параметр $\lambda$ неотрицателен (или равен нулю). Было показано, что если $\lambda < 0$ для малых значений $\lambda$, то сдвиг даёт заведомо неправильное положение нулей. Однако границы остаются тонкими, и гипотеза $\lambda \ge 0$ не доказана.
2. Теорема Сельберга о зонах нулей. Ближайшие известные полосы к критической прямой, в которых доказано отсутствие нулей или локализованы нули, тоже указывают на то, что нули «стремятся» к линии $\Re(s)=\tfrac12$, но полного наложения на $\tfrac12$ нет.
3. Теорема Харди (1914): бесконечно много нулей действительно лежит на прямой $\Re(s)=\tfrac12$. Более того, Харди и Литлвуд развили «метод моментных последовательностей» (Hardy-Littlewood method), исследуя распределение нулей на критической прямой.
4. Критерий Оделла Валле Пуссена (1908) и последующие уточнения показали, что все нули лежат в полосе $0 < \Re(s) < 1$. То есть извне полосы нулей нет, и, значит, вопрос о $\Re(s)=\tfrac12$ является локализацией внутри полосы.
5. Связь с теорией случайных матриц (работы Монтгомери, Дайсона, Конрея и др.). Существует гипотеза, что статистика расположения нулей дзета-функции очень напоминает спектр эрмитовых случайных матриц (класс GUE). Это также косвенный мощный аргумент в пользу истинности гипотезы Римана.

Возможные подходы и почему простого решения нет

• Аналитические методы (расширения функционального уравнения, методы суммирования, итерационные схемы и пр.): приносят только «частичные» результаты, позволяя доказывать полосы нетривиальных нулей, но не сужая их до $\Re(s)=1/2$ полностью.
• Алгебраическая геометрия/геометрия арифметических схем (программа Гротендика — Лефшеца, мотивы, гипотеза Делиня и т.д.): множество результатов о более общих $\mathrm{L}$-функциях (например, гипотеза Вейля — доказана Делинем в ряде случаев), но «классическая» дзета-функция Римана здесь остаётся уникальной и наиболее трудной.
• Подходы с точки зрения квантовой физики: попытки интерпретации нулей через «спектр» гипотетической квантовой системы (предположение Гильберта — Пойа), но пока это даёт только эвристическое понимание.

Итог

Полного доказательства Гипотезы Римана (то есть утверждения, что все нетривиальные нули дзета-функции лежат на $\Re(s)=\tfrac12$) на сегодняшний день нет. Любое заявление о «коротком» или «простом» доказательстве скорее всего является ошибочным или непроверенным. Это утверждение остаётся одной из самых важных нерешённых проблем математики.

---

Что можно сказать на практике?

• Если вы видите где-то «доказательство», особенно короткое, без соответствующей рецензии и статуса в серьёзном математическом журнале — почти наверняка это ошибка или несостоятельность.
• Многие математики убеждены, что гипотеза верна, поскольку огромное число проверок нулей численно показывает их расположение на $\Re(s)=\tfrac12$. Однако численные проверки, какими бы большими они ни были, не могут служить строгим доказательством.
• При этом есть и некоторые скептические позиции; строго никто не может исключить, что где-то «далеко» в больших значениях воображаемой части $t$ есть нуль, отклоняющийся от критической прямой. Но никакого контрпримера не найдено.
• Существует масса эквивалентных формулировок, из которых следует, что доказательство гипотезы Римана прояснило бы и множество других глубинных вопросов (в том числе об асимптотиках ряда арифметических функций).

---

Резюме

1. Утверждение: «Все нетривиальные нули дзета-функции лежат на прямой $\Re(s)=\tfrac12$» — это Гипотеза Римана, открытая с 1859 года.
2. Статус: Неподтверждённая (не доказанная и не опровергнутая) гипотеза.
3. Важность: Центральная проблема аналитической теории чисел, одна из семи «задач тысячелетия».
4. Существующие работы дают лишь частичные результаты, подтверждающие гипотезу косвенно и проверяющие колоссальное число первых нулей.

Таким образом, «полного доказательства», о котором вы просите, в данный момент не существует. Если бы такое доказательство было, оно немедленно стало бы одним из величайших достижений в математике за всю историю.