Количество синих чисел

Mapping the problem

I’m translating the Russian question about coloring natural numbers. The challenge is finding how many numbers are blue among 1 to 3800, considering pairs summing to a prime.

Identifying the pattern

I’m thinking through the numbers colored blue, ensuring pairs summing to a prime are differently colored. This involves examining prime pairs and their relationship to the color blue.

Analyzing parity

I'm noting the parity of numbers and their behavior when paired for sums that are prime, considering prime numbers as odd or 2.

Ensuring color harmony

To keep prime sums distinct, one number must be even and the other odd, leading to different colors. This aligns with the parity strategy for even and odd numbers.

Evaluating odd sums

OK, let's think this through: the sum of two distinct odd numbers is even and at least 6, so it can't be prime. This confirms even numbers sum to even numbers.

Analyzing distinct sums

The sum of two distinct odd numbers is even and greater than 2, so it can't be prime. Distinct even numbers don't worry about sums, and an odd with an even might sum to a prime.

Ensuring consistency

Coloring all odd numbers red and even numbers blue aligns with the rule. This arrangement fits the prime sum condition, but I'm curious if other colorings might also work.

Confirming impossibility

Interestingly enough, the sum of two distinct even numbers cannot yield a prime. This conclusion emerges from examining all potential sums and verifying that none are prime.

Figuring out the count

I'm thinking through the number of even numbers between 1 and 3800 by dividing 3800 by 2, which gives 1900.

Thought about окраске чисел for 15 seconds

Анализ задачи

Условие гласит: если сумма двух различных чисел $a$ и $b$ является простым числом, то $a$ и $b$ покрашены в разные цвета. Также известно, что число 1 покрашено в красный цвет.

1. Заметим, что сумма двух чётных чисел всегда чётна и не может быть равна простому числу больше 2 (так как чётное число $> 2$ не является простым).

   • Пример: $2 + 4 = 6$ (не простое), $4 + 6 = 10$ (не простое) и т.д.
   • Следовательно, пара «чётное + чётное» не даёт никаких ограничений на раскраску.

2. Сумма двух различных нечётных чисел всегда чётна и больше 2, а значит не может быть равна простому числу 2 (это единственное чётное простое).

   • Пример: $3 + 5 = 8$ (не простое), $5 + 7 = 12$ (не простое) и т.д.
   • Значит, пара «нечётное + нечётное» тоже не даёт ограничений на раскраску.

3. Единственный случай, когда сумма может дать простое число (большее 2), – это «чётное + нечётное», потому что такая сумма получается нечётной, и именно нечётные числа (кроме 2) могут быть простыми. Условие гласит, что в этом случае оба числа должны иметь разные цвета.

Таким образом, оптимальным (и фактически единственным корректным) способом раскраски будет:

• Все нечётные числа — один цвет (например, красный).
• Все чётные числа — другой цвет (синий).

Раз нам дано, что $1$ (нечётное) покрашено в красный, то вся нечётная часть $\{1,3,5,\dots\}$ также будет красной, а все чётные $\{2,4,6,\dots\}$ — синие.

Вычисление количества синих чисел от 1 до 3800

Синими будут все чётные числа в диапазоне от 1 до 3800, то есть:

Количество чётных чисел от 1 до 3800 равно $\frac{3800}{2} = 1900$.

Ответ: 1900.