Расстояние снаряда от цели

Mapping the trajectory

OK, let me see. I'm thinking about a rocket blazing from Earth's North Pole, aiming at a target, and reaching a peak altitude of 2 km. The Earth's curvature complicates the landing spot.

Tracking the rocket's course

Rockets follow a curved path due to Earth's curvature. Considering the meridional plane and 2 km altitude, Earth's rotation and the great circle method are crucial for precise landing.

Charting the course

Mapping out a rocket's trajectory on a curved Earth involves considering Earth's curvature, aiming for maximum range, and estimating landing accuracy relative to the target.

Mapping velocity

I’m estimating the rocket's velocity by analyzing its 2 km altitude. Using Earth's gravity, I aim to pinpoint a more precise value, ignoring Earth's curvature for now.

Calculating range and geometry

I’m determining the rocket's range on a flat Earth, yielding 8 km. Considering Earth's curvature at the North Pole, I’m examining how this influences the projectile's trajectory.

Analyzing Earth's curvature

OK, let me see. With the Earth curving away from the rocket, it's likely to land a bit short. Considering the chord or arc method for a more accurate impact point.

Mapping the difference

I'm working out the small discrepancy between the ballistic path and Earth's curvature for a short 8 km flight. This makes me think of the Earth's influence on the trajectory.

Calculating the curvature's effect

Interestingly enough, the Earth curves slightly over 4 km. This might affect the projectile's path, but the impact seems minimal.

Predicting curvature

Hm, that's interesting. Calculating Earth's curvature over 8 km reveals a roughly 5-meter drop. This shows just how much the curvature can influence the trajectory.

Calculating the difference

OK, let's think it through: an 8 km flight yields a 5-meter uneven ground drop. This could shave a bit off the ballistic range projection of 198 m/s.

Estimating flight dynamics

I calculated the rocket's flight to be around 40 seconds. Considering Earth's curvature seems to have a minimal impact on the horizontal distance of 8000 meters.

Figuring out the descent

OK, let's break this down: the projectile's descent takes a bit longer due to Earth's curvature. Calculating the extra flight time for a 5-meter drop.

Figuring out flight duration

I'm working through how to adjust the flight time to account for Earth's curvature. After factoring in gravity and ignoring smaller terms, it seems an extra 0.025 seconds is needed.

Pushing past the target

Earth's curvature is making the rocket land a bit farther than expected, possibly beyond the target.

Calculating trajectory

Piecing together the rocket's initial velocity and Earth's curvature, I find the rocket lands about 5 meters past the target, considering the curvature's influence on the path.

Calculating impact

I'm thinking about deviations due to Earth's curvature. For a 8 km flight, the impact could shift around 5 meters. This refines our initial estimate.

Thought about расчет расстояния падения снаряда for 1m 20s

Ниже приведён упрощённый «быстрый» путь к оценке, почему снаряд упадёт всего на считанные метры дальше (или ближе) «плоской» дальности в 8 км, несмотря на искривление Земли.

1. «Плоская» баллистика: находим скорость и дальность

Пусть снаряд летит без учёта сопротивления воздуха и вращения Земли, а максимальная высота подъёма $H=2\,\text{км}$. Для простоты возьмём стандартное приближение:

• Ускорение свободного падения $g \approx 9{,}8\,\text{м/с}^2$.
• При максимальной дальности (без учёта кривизны Земли) угол бросания $\theta = 45^\circ$.

1.1. Связь максимальной высоты и начальной скорости

Максимальная высота для «идеального» броска описывается формулой

При $\theta = 45^\circ$ имеем $\sin^2 45^\circ = \tfrac{1}{2}$. Тогда

Подставляя $H = 2000\,\text{м}$ и $g \approx 9{,}8\,\text{м/с}^2$,

1.2. «Плоская» дальность

Для броска под $45^\circ$ в однородном поле тяжести без учёта кривизны Земли дальность

Иными словами, если бы Земля была плоской, снаряд упал бы ровно в $8$ км от точки выстрела.

2. Поправка на искривление Земли

Теперь учтём, что старт происходит на поверхности земного шара радиусом $R_\oplus \approx 6371\,\text{км}$. За горизонтальную «дистанцию» 8 км Земля успевает «согнуться» вниз примерно на несколько метров.

2.1. «Провал» поверхности из-за кривизны

Если отойти на расстояние $x$ по дуге от точки старта, поверхность (относительно касательной в точке старта) «уходит» вниз приблизительно на

Здесь важно, что $x$ берём гораздо меньше $R_\oplus$, поэтому формула справедлива как приближение.

Подставим $x = 8000\,\text{м}$:

То есть за 8 км по дуге Земля «проваливается» примерно на 5 м ниже той самой «плоской» линии, по которой мы считали параболу полёта.

2.2. Как эти 5 м влияют на дальность?

В «плоской» модели снаряд достигает земли в момент времени $T$, когда его вертикальная координата $y(T)=0$. Но если реальная земля под этим местом ниже на $\Delta h\approx 5$ м, значит, снаряду нужно «пролететь» ещё 5 м по вертикали, прежде чем он столкнётся с поверхностью.

Оценим, насколько продлевается полёт. В конце траектории вертикальная скорость (по модулю) близка к начальному «вверх», но со знаком «минус»:

Если за счёт «лишних» 5 м снаряд летит чуть дольше $\delta t$, то грубо:

За это время, имея горизонтальную компоненту порядка $v_x \approx 198\,\text{м/с}$, снаряд пролетает дополнительно

Таким образом, за счёт кривизны Земли «реальная» дальность увеличивается примерно на несколько метров.

3. Ответ на вопрос

Если «цель» выставлена ровно на 8 км (по «плоской» баллистике), то реальный снаряд в условиях сферической Земли упадёт дальше неё приблизительно на 5 м.

Следовательно, расстояние $S$ от точки падения до «номинальной» цели (наибольшей дальности «по плоской формуле») оценивается величиной порядка 5 м.

Итог

• Максимальная «плоская» дальность: $8$ км
• «Поправка» из-за сферичности Земли: порядка $5$ м
• Искомое расстояние $S$ до цели: $\mathbf{\approx 5\,\text{м}}$.