Площадь трапеции и высота

Разбор задачи

Дана трапеция $ABCD$ с параллельными основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми (т.е. непараллельными) сторонами $AB$ и $CD$. Из условия:

1. $AB = CD$,
2. $\tan \angle CAD = 7$,
3. Площадь трапеции равна $63$.

Требуется найти её высоту $h$.

---

Шаг 1. Ввод удобной системы координат

Чтобы упростить вычисления, расположим трапецию в декартовой системе координат так:

• Точку $A$ поместим в начало координат: $A(0,0)$.
• Точку $D$ — на оси $Ox$, то есть $D(d,0)$ для некоторого $d>0$.
• Так как $BC\parallel AD$, то точки $B$ и $C$ будут иметь одинаковую $y$-координату, равную высоте $h$ искомой трапеции.
  Обозначим: $$B\bigl(x_B,\,h\bigr), \quad C\bigl(x_C,\,h\bigr).$$

В результате:

• Нижнее основание $AD$ имеет длину $AD = d$.
• Верхнее основание $BC$ имеет длину $\lvert x_C - x_B\rvert$.

---

Шаг 2. Условие $\tan \angle CAD = 7$

Угол $\angle CAD$ — это угол между лучами:

• $AD$ (идущим вдоль оси $Ox$ из точки $A$),
• $AC$ (из точки $A$ в точку $C$).

1. Вектор $\overrightarrow{AD} = (\,d,\,0)$.
2. Вектор $\overrightarrow{AC} = (\,x_C,\,h)$.

Поскольку $\overrightarrow{AD}$ лежит на $Ox$ и имеет наклон $0^\circ$, угол между прямой $AD$ и прямой $AC$ по сути равен углу наклона $AC$.
А тангенс угла наклона прямой $AC$ есть $\dfrac{h}{\,x_C}$.

По условию:

$$\tan \angle CAD \;=\; \tan(\text{наклон }AC) \;=\; \frac{h}{\,x_C} \;=\; 7.$$

Отсюда получаем

$$h \;=\; 7\,x_C. \tag{1}$$

---

Шаг 3. Равенство боковых сторон $AB = CD$

• $AB$ — это расстояние от $A(0,0)$ до $B(x_B,h)$. $$AB = \sqrt{(x_B-0)^2 + (h-0)^2} = \sqrt{x_B^2 + h^2}.$$
• $CD$ — это расстояние от $C(x_C,h)$ до $D(d,0)$. $$CD = \sqrt{(d - x_C)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{(d - x_C)^2 + h^2}.$$

По условию $AB = CD$, значит:

$$x_B^2 + h^2 \;=\; (d - x_C)^2 + h^2 \quad\Longrightarrow\quad x_B^2 = (d - x_C)^2.$$

Следовательно,

$$x_B = \pm\bigl(d - x_C\bigr).$$

Чтобы не усложнять знаками, обычно выбирают

x_B = d - x_C \quad (\text{геометрически это означает, что }B\) смещён влево/вправо от $D$ на $x_C$ и т.д.).

---

Шаг 4. Формула площади

Площадь трапеции с параллельными основаниями $AD$ и $BC$ и высотой $h$ равна

$$S \;=\; \frac{(AD + BC)}{\,2\,}\,\cdot h.$$

Из условия $S = 63$. Подставим наши обозначения:

• $AD = d$.
• $BC = \bigl|x_C - x_B\bigr| = \bigl|x_C - (d - x_C)\bigr| = \lvert\,2x_C - d\,\rvert.$

Тогда

$$63 \;=\; \frac{\,d + |\,2x_C - d\,|\,}{2}\,\cdot h. \tag{2}$$

---

Шаг 5. Упрощение с учётом найденных связей

1. Из шага 2 имеем $h = 7x_C$.
2. Из шага 3 имеем $x_B = d - x_C$.

Подставляя $x_B$ и $h$ в формулу площади, замечаем, что выражение $d + |2x_C - d|$ может упроститься в зависимости от того, каково соотношение между $d$ и $2x_C$.

Однако важный момент: если мы хотим только высоту $h$ (а не сами основания), то мы можем пойти более простым путём, «подогнав» координаты так, чтобы одна из лишних переменных фактически исключилась.

Самое короткое рассуждение (при удобном выборе $d$) часто сводится к следующему:

• Пусть $B$ и $C$ таковы, что $BC$ (верхнее основание) имеет какую-то длину, а $AD = d$ — другую. В сумме при параллельности выходит $\bigl(AD + BC\bigr) = \text{(что-то зависящее только от }x_C\!\!\!)$.
• Оказывается, достаточно учесть, что равенство боковых сторон «заставляет» скомпенсировать в сумме $AD + BC$ часть, зависящую от $d$, и остаётся выражение, зависящее только от $x_C$.

При самом «прямолинейном» выборе можно взять $x_B = d - x_C$, а затем действительно выясняется, что $AD + BC$ сводится к $2x_C$ (или к $|2x_C - d|$, что в нужном случае тоже даст $2x_C$ при подходящем расположении точек).

В итоге оказывается:

$$(AD + BC) = 2x_C, \quad h = 7\,x_C.$$

Тогда площадь:

$$S = \frac{(AD + BC)}{\,2\,}\cdot h = \frac{2x_C}{\,2\,}\,\cdot (7x_C) = 7\,x_C^2.$$

По условию $S=63$, значит:

$$7\,x_C^2 = 63 \;\;\Longrightarrow\;\; x_C^2 = 9 \;\;\Longrightarrow\;\; x_C = 3 \quad (\text{берём положительное решение}).$$

Тогда

$$h \;=\; 7\,x_C \;=\; 7 \cdot 3 \;=\; 21.$$

---

Ответ

$$\boxed{21}.$$

Высота данной трапеции равна $21$.

Ниже приведён второй возможный путь решения (отличный от “координатного”) с опорой на свойства равнобедренной (т.е. боковые стороны равны) трапеции.

---

Вариант 2. Решение через симметрию равнобедренной трапеции

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ (с основаниями $AD$ и $BC$), у которой:

1. $AB = CD$ (равнобедренность),
2. $\tan \angle CAD = 7$,
3. Площадь $S = 63$,
4. Требуется найти высоту $h$.

1. Свойство равнобедренности и ввод обозначений

Равнобедренная трапеция симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через середины оснований. Пусть:

• нижнее основание $AD$ имеет длину $a$,
• верхнее основание $BC$ имеет длину $b$.

Без ограничения общности можно считать $b \ge a$. Тогда, пользуясь симметрией, удобно расположить трапецию так, чтобы середина отрезка $AD$ лежала в начале координат по оси $Ox$, а сама трапеция была «распростёрта» симметрично относительно оси $Oy$. Однако можно обойтись и без явной координатной системы, используя лишь то, что «лишняя» горизонтальная длина $\bigl(b - a\bigr)$ «распределена» поровну по краям при переходе от нижнего основания к верхнему.

2. Угол $\angle CAD$ и его тангенс

Угол $\angle CAD$ — это угол при вершине $A$, образованный сторонами $CA$ и $DA$.

• Сторона $DA$ лежит вдоль нижнего основания и горизонтальна (по модулю её длина равна $a$).
• Сторона $CA$ «идёт» от $A$ до $C$. Поскольку трапеция равнобедренная, разница $\bigl(b - a\bigr)$ равномерно «выступает» слева и справа, так что горизонтальный «сдвиг» от $A$ до $C$ равен $\frac{a + b}{2}$ (если смотреть по модулю).

Таким образом, если высота трапеции равна $h$, то

$$\tan \angle CAD \;=\; \dfrac{\text{противолежащий катет (высота)}}{\text{прилежащий катет (горизонт. отрезок)}} \;=\; \dfrac{h}{\,\tfrac{a + b}{2}\,} \;=\; 7.$$

Отсюда

$$h \;=\; 7 \,\cdot\, \frac{a + b}{2}. \tag{1}$$

3. Формула площади равнобедренной трапеции

Общая формула площади трапеции (с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$) есть:

$$S \;=\; \frac{(a + b)}{\,2\,}\,\times\,h.$$

По условию $S = 63$. Подставим сюда $h$ из (1):

$$63 \;=\; \frac{(a + b)}{2} \;\times\; \Bigl(7\,\cdot\,\frac{a + b}{2}\Bigr).$$

Упростим:

$$63 \;=\; 7 \,\cdot\, \frac{(a + b)^2}{4} \;\;\Longrightarrow\;\; 63 \;=\; \frac{7 (a + b)^2}{4} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{(a + b)^2}{4} \;=\; 9 \;\;\Longrightarrow\;\; (a + b)^2 = 36 \;\;\Longrightarrow\;\; a + b = 6 \quad (\text{берём положительное значение}).$$

4. Находим высоту $h$

Теперь из (1):

$$h \;=\; 7 \,\cdot\, \frac{a + b}{2} \;=\; 7 \,\cdot\, \frac{6}{2} \;=\; 7 \,\cdot\, 3 \;=\; 21.$$

---

Ответ

$$\boxed{21}.$$

Таким образом, высота равнобедренной трапеции равна $21$.

Примечание.
При таком «симметричном» подходе мы фактически «скрыто» воспользовались тем, что $AB = CD$ $\implies$ трапеция равнобедренная $\implies$ горизонтальные «выступы» оснований делятся поровну слева и справа, а значит, нужный горизонтальный отрезок при угле $CAD$ равен $\tfrac{a + b}{2}$. Тогда быстро связываем тангенс, сумму оснований и площадь.