Площадь трапеции и высота

Piecing together the shape

I'm thinking through a trapezoid with equal lateral sides AB and CD, and bases AD and BC. The problem states tan/CAD=7, and the area is 63. I'm figuring out the height from these clues.

Evaluating potential configurations

I'm thinking about a trapezoid where AB and CD are equal, potentially making AD parallel to BC. This alignment might fit the given area and angle conditions.

Tracking angle CAD

I'm pulling together the angle CAD, formed by CA and AD, in a trapezoid where AB equals CD. The problem specifies tan(CAD)=7.

Mapping out the trapezoid

I'm thinking about putting the trapezoid on a coordinate plane, with AD as the base. AB = CD and tan(CAD)=7. The area formula involves finding the height.

Calculating coordinates

OK, let me see. Presuming B and C share the same y-coordinate h, I'm pinpointing AB, DC, and the angle CAD with vectors, using tan(CAD)=7.

Analyzing slopes

I’m calculating the angle between lines AD and AC, which share slopes of 0 and $\frac{h}{y}$. This involves slope difference calculations for a clearer understanding.

Defining variables

I’m setting coordinates for points A, B, C, and D. Drawwing parallels, noting AB equals DC, and positioning B and C on a line parallel to AD are key steps.

Piecing together

Combining the area formula and tg(angle CAD), I’m working out the trapezoid dimensions. Equating distances like AB and CD helps refine my calculations for the height and base lengths.

Mapping out the height

I'm figuring out the trapezoid's height by examining the angle CAD, which is 7 times the base length, leading to h=7q.

Locating key points

I’m organizing the trapezoid’s key points by setting $AB = CD$ and establishing $p = d - q$. This places B and C on lines parallel to AD.

Breaking down the area

I’m reworking the area equation by substituting $p = d - q$. It simplifies to avoiding the $d$ term, leading to $2q$ as the focus.

Calculating height

Hmm, I’m thinking through the height calculation with the given area. Using $q = 3$, I determined $h = 21$, but I’m considering if the length of AD or BC was utilized.

Confirming base calculations

I’m piecing together the trapezoid's base lengths using AD and BC. With the area set at 63, I verified BC as the distance difference between B and C's x-coordinates.

Thought about высоте трапеции por 39 segundos

Разбор задачи

Дана трапеция $ABCD$ с параллельными основаниями $AD$ и $BC$ и боковыми (т.е. непараллельными) сторонами $AB$ и $CD$. Из условия:

1. $AB = CD$,
2. $\tan \angle CAD = 7$,
3. Площадь трапеции равна $63$.

Требуется найти её высоту $h$.

Шаг 1. Ввод удобной системы координат

Чтобы упростить вычисления, расположим трапецию в декартовой системе координат так:

• Точку $A$ поместим в начало координат: $A(0,0)$.
• Точку $D$ — на оси $Ox$, то есть $D(d,0)$ для некоторого $d>0$.
• Так как $BC\parallel AD$, то точки $B$ и $C$ будут иметь одинаковую $y$-координату, равную высоте $h$ искомой трапеции.
  Обозначим: $$B\bigl(x_B,\,h\bigr), \quad C\bigl(x_C,\,h\bigr).$$

В результате:

• Нижнее основание $AD$ имеет длину $AD = d$.
• Верхнее основание $BC$ имеет длину $\lvert x_C - x_B\rvert$.

Шаг 2. Условие $\tan \angle CAD = 7$

Угол $\angle CAD$ — это угол между лучами:

• $AD$ (идущим вдоль оси $Ox$ из точки $A$),
• $AC$ (из точки $A$ в точку $C$).

1. Вектор $\overrightarrow{AD} = (\,d,\,0)$.
2. Вектор $\overrightarrow{AC} = (\,x_C,\,h)$.

Поскольку $\overrightarrow{AD}$ лежит на $Ox$ и имеет наклон $0^\circ$, угол между прямой $AD$ и прямой $AC$ по сути равен углу наклона $AC$.
А тангенс угла наклона прямой $AC$ есть $\dfrac{h}{\,x_C}$.

По условию:

Отсюда получаем

Шаг 3. Равенство боковых сторон $AB = CD$

• $AB$ — это расстояние от $A(0,0)$ до $B(x_B,h)$. $$AB = \sqrt{(x_B-0)^2 + (h-0)^2} = \sqrt{x_B^2 + h^2}.$$
• $CD$ — это расстояние от $C(x_C,h)$ до $D(d,0)$. $$CD = \sqrt{(d - x_C)^2 + (0 - h)^2} = \sqrt{(d - x_C)^2 + h^2}.$$

По условию $AB = CD$, значит:

Следовательно,

Чтобы не усложнять знаками, обычно выбирают

Шаг 4. Формула площади

Площадь трапеции с параллельными основаниями $AD$ и $BC$ и высотой $h$ равна

Из условия $S = 63$. Подставим наши обозначения:

• $AD = d$.
• $BC = \bigl|x_C - x_B\bigr| = \bigl|x_C - (d - x_C)\bigr| = \lvert\,2x_C - d\,\rvert.$

Тогда

Шаг 5. Упрощение с учётом найденных связей

1. Из шага 2 имеем $h = 7x_C$.
2. Из шага 3 имеем $x_B = d - x_C$.

Подставляя $x_B$ и $h$ в формулу площади, замечаем, что выражение $d + |2x_C - d|$ может упроститься в зависимости от того, каково соотношение между $d$ и $2x_C$.

Однако важный момент: если мы хотим только высоту $h$ (а не сами основания), то мы можем пойти более простым путём, «подогнав» координаты так, чтобы одна из лишних переменных фактически исключилась.

Самое короткое рассуждение (при удобном выборе $d$) часто сводится к следующему:

• Пусть $B$ и $C$ таковы, что $BC$ (верхнее основание) имеет какую-то длину, а $AD = d$ — другую. В сумме при параллельности выходит $\bigl(AD + BC\bigr) = \text{(что-то зависящее только от }x_C\!\!\!)$.
• Оказывается, достаточно учесть, что равенство боковых сторон «заставляет» скомпенсировать в сумме $AD + BC$ часть, зависящую от $d$, и остаётся выражение, зависящее только от $x_C$.

При самом «прямолинейном» выборе можно взять $x_B = d - x_C$, а затем действительно выясняется, что $AD + BC$ сводится к $2x_C$ (или к $|2x_C - d|$, что в нужном случае тоже даст $2x_C$ при подходящем расположении точек).

В итоге оказывается:

Тогда площадь:

По условию $S=63$, значит:

Тогда

Ответ

Высота данной трапеции равна $21$.

Understanding the problem

I’m thinking through the geometry of trapezoid ABCD, noting that AB equals CD, with an angle CAD having a tangent of 7 and an area of 63. The aim is to find the height.

Mapping the trapezoid

I’m defining the trapezoid with AD as the base, B and C on top, and a height of h. Using the tangent of angle CAD and the area, I’ll determine the height.

Defining coordinates

I’m setting point A at (0, 0) and D at (a, 0), with B and C having coordinates (xB, h) and (xC, h), respectively. This creates vectors AD and AC, aiding in calculating the height.

Equating distances

I’m equating the distances AB and CD to solve for the height h, given that the area of the trapezoid is 63 and points AB and BC are parallel.

Considering right triangles

I’m thinking about constructing a right triangle from the height to simplify the problem. Since the legs are equal, the trapezoid is isosceles.

Considering properties

I’m realizing that in an isosceles trapezoid with AB = CD, the angles at A and D are equal. This leads to simplifying expressions for the height and the difference between bases.

Analyzing symmetry

I’m examining the symmetry of the isosceles trapezoid ABCD, noting that the angles at A and B are equal, and using this to derive expressions for the height and area.

Analyzing symmetry

I’m thinking about the midpoints and perpendiculars in the isosceles trapezoid. The horizontal distance is (b - a)/2, and the vertical distance is the height h.

Revisiting trapezoid symmetry

I’m thinking about the trapezoid as symmetrical around the y-axis, with AD and BC aligned with the axis and points B and C positioned symmetrically above it.

Defining points

Mapping out points A, D, B, and C on a symmetrical trapezoid, I determine the vectors and angle CAD, leading to the height equation h = 7*(b+a)/2.

Thought about альтернативное решение задачи por 1m 0s

Ниже приведён второй возможный путь решения (отличный от “координатного”) с опорой на свойства равнобедренной (т.е. боковые стороны равны) трапеции.

Вариант 2. Решение через симметрию равнобедренной трапеции

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ (с основаниями $AD$ и $BC$), у которой:

1. $AB = CD$ (равнобедренность),
2. $\tan \angle CAD = 7$,
3. Площадь $S = 63$,
4. Требуется найти высоту $h$.

1. Свойство равнобедренности и ввод обозначений

Равнобедренная трапеция симметрична относительно вертикальной прямой, проходящей через середины оснований. Пусть:

• нижнее основание $AD$ имеет длину $a$,
• верхнее основание $BC$ имеет длину $b$.

Без ограничения общности можно считать $b \ge a$. Тогда, пользуясь симметрией, удобно расположить трапецию так, чтобы середина отрезка $AD$ лежала в начале координат по оси $Ox$, а сама трапеция была «распростёрта» симметрично относительно оси $Oy$. Однако можно обойтись и без явной координатной системы, используя лишь то, что «лишняя» горизонтальная длина $\bigl(b - a\bigr)$ «распределена» поровну по краям при переходе от нижнего основания к верхнему.

2. Угол $\angle CAD$ и его тангенс

Угол $\angle CAD$ — это угол при вершине $A$, образованный сторонами $CA$ и $DA$.

• Сторона $DA$ лежит вдоль нижнего основания и горизонтальна (по модулю её длина равна $a$).
• Сторона $CA$ «идёт» от $A$ до $C$. Поскольку трапеция равнобедренная, разница $\bigl(b - a\bigr)$ равномерно «выступает» слева и справа, так что горизонтальный «сдвиг» от $A$ до $C$ равен $\frac{a + b}{2}$ (если смотреть по модулю).

Таким образом, если высота трапеции равна $h$, то

Отсюда

3. Формула площади равнобедренной трапеции

Общая формула площади трапеции (с основаниями $a$ и $b$ и высотой $h$) есть:

По условию $S = 63$. Подставим сюда $h$ из (1):

Упростим:

4. Находим высоту $h$

Теперь из (1):

Ответ

Таким образом, высота равнобедренной трапеции равна $21$.

Примечание.
При таком «симметричном» подходе мы фактически «скрыто» воспользовались тем, что $AB = CD$ $\implies$ трапеция равнобедренная $\implies$ горизонтальные «выступы» оснований делятся поровну слева и справа, а значит, нужный горизонтальный отрезок при угле $CAD$ равен $\tfrac{a + b}{2}$. Тогда быстро связываем тангенс, сумму оснований и площадь.