logoChat01.ai

Вычисление выражения алгебры

Creado el: 5 de enero de 2025

Respondido usando OpenAI 01 por OpenAI01

Pregunta

Известно, что a+b+c=0 и ab+bc+ac=−49. Найдите величину a^3b+b^3c+c^3a.

Pensamiento

Solving symmetrical equations

I’m working through a system of symmetrical equations given a + b + c = 0 and ab + bc + ac = -49, aiming to find a^3b + b^3c + c^3a using symmetrical polynomials.

Substituting values

OK, let me see. By substituting c = -(a + b) into ab + bc + ac = -49. précédente, I get a way to express ab in terms of a and b.

Breaking down the target

I’m mapping out a^3b + b^3c + c^3a by expressing c in terms of a and b, leading to the expansion and combination of each term.

Breaking down and simplifying

I’m expanding and combining terms for S = a^3b + b^3c + c^3a, carefully simplifying each segment and grouping them together for easier computation.

Breaking down the final term

Thoughtful decomposing of (a + b)^3 * a leads to a^4 + 3a^3b + 3a^2b^2 + ab^3, which I ultimately negate.

Unraveling the expression

I’m meticulously redistributing and grouping terms to streamline the final expression for clarity and computational efficiency. This meticulous process ensures accuracy throughout.

Reevaluating term structure

I’m rethinking that -b^3a and -ab^3 are identical, so effectively, each represents -ab^3. This realization simplifies the expression, clarifying the process and boosting computational efficiency.

Reorganizing terms

I’m reordering and simplifying the expression to streamline the computation, making the final expression more concise and easier to manage.

Breaking it down

I’m mapping out the factorization of a^4 + 2a^3b + 3a^2b^2 + 2ab^3 + b^4, noticing that it simplifies to (a^2 + ab + b^2)^2.

Verifying the result

I’m transforming S into - (a^2 + ab + b^2)^2, which equals -2401, recalling that a^2 + b^2 + ab = 49.

Confirming the equation

I’m piecing together that ab + bc + ac = -49 simplifies to a^2 + ab + b^2, confirming our earlier derivation with the value of 49.

Думал о выражении a^3b+b^3c+c^3a pendant 24 secondes

Respuesta

Рассмотрим систему условий:

  1. a+b+c=0a + b + c = 0.
  2. ab+bc+ca=−49ab + bc + ca = -49.

Нужно найти значение выражения

a3b  +  b3c  +  c3a.a^3 b \;+\; b^3 c \;+\; c^3 a.

Шаг 1. Выразим cc через aa и bb

Из первого условия имеем

c=− (a+b).c = -\,\bigl(a + b\bigr).

Шаг 2. Найдём связь между aa и bb из второго условия

Подставим c=−(a+b)c = -(a+b) во второе условие:

ab+b(−(a+b))+a(−(a+b))=ab−ab−b2  −  a2−ab=− (a2+b2+ab).ab + b\bigl(- (a + b)\bigr) + a\bigl(- (a + b)\bigr) = ab - ab - b^2 \;-\; a^2 - ab = -\,\bigl(a^2 + b^2 + ab\bigr).

По условию это равно −49-49, следовательно

− (a2+b2+ab)=−49⟹a2+b2+ab=49.-\,\bigl(a^2 + b^2 + ab\bigr) = -49 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + b^2 + ab = 49.

Шаг 3. Вычислим a3b+b3c+c3aa^3 b + b^3 c + c^3 a

Теперь рассмотрим искомое выражение:

a3b  +  b3c  +  c3a.a^3 b \;+\; b^3 c \;+\; c^3 a.

Подставим c=−(a+b)c = -(a+b):

  1. b3c=b3⋅(−(a+b))=−b3(a+b)=− b3a  −  b4.b^3 c = b^3 \cdot \bigl(- (a+b)\bigr) = - b^3(a+b) = -\,b^3 a \;-\; b^4.

  2. c3a=(−(a+b))3⋅a=− (a+b)3 a.c^3 a = \bigl(-(a+b)\bigr)^3 \cdot a = -\,(a+b)^3 \, a.

Тогда

a3b+b3c+c3a=a3b  −  b3a  −  b4  −  (a+b)3 a.a^3 b + b^3 c + c^3 a = a^3 b \;-\; b^3 a \;-\; b^4 \;-\; (a+b)^3\,a.

Раскроем (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Тогда

(a+b)3 a=(a3+3a2b+3ab2+b3) a=a4+3a3b+3a2b2+ab3.(a+b)^3 \, a = \bigl(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\bigr)\,a = a^4 + 3a^3 b + 3a^2 b^2 + a b^3.

Подставляя это, получаем:

a3b  +  b3c  +  c3a=a3b−b3a−b4−(a4+3a3b+3a2b2+ab3)=a3b−b3a−b4−a4−3a3b−3a2b2−ab3.\begin{aligned} a^3 b \;+\; b^3 c \;+\; c^3 a &= a^3 b - b^3 a - b^4 - \bigl(a^4 + 3a^3 b + 3a^2 b^2 + a b^3 \bigr)\\[6pt] &= a^3 b - b^3 a - b^4 - a^4 - 3a^3 b - 3a^2 b^2 - a b^3. \end{aligned}

Сгруппируем подобные слагаемые и заметим, что −b3a=−ab3-b^3 a = -a b^3:

=− a4  +  ( a3b−3a3b)  −  3a2b2  +  (−ab3−b3a)  −  b4=− a4  −  2a3b  −  3a2b2  −  2ab3  −  b4.\begin{aligned} &= -\,a^4 \;+\; (\,a^3 b - 3a^3 b) \;-\; 3a^2 b^2 \;+\; \bigl(- a b^3 - b^3 a\bigr) \;-\; b^4\\[4pt] &= -\,a^4 \;-\; 2a^3 b \;-\; 3a^2 b^2 \;-\; 2a b^3 \;-\; b^4. \end{aligned}

Заметим, что выражение в скобках:

a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4a^4 + 2a^3 b + 3a^2 b^2 + 2a b^3 + b^4

можно свернуть в полный квадрат:

(a2+ab+b2)2=a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4.(a^2 + a b + b^2)^2 = a^4 + 2a^3 b + 3a^2 b^2 + 2a b^3 + b^4.

Таким образом,

a3b+b3c+c3a=−(a2+ab+b2)2.a^3 b + b^3 c + c^3 a = -\bigl(a^2 + a b + b^2\bigr)^2.

Но из шага 2 мы знаем, что

a2+b2+ab=49⟹(a2+ab+b2)2=492=2401.a^2 + b^2 + ab = 49 \quad\Longrightarrow\quad (a^2 + ab + b^2)^2 = 49^2 = 2401.

Отсюда окончательно получаем:

a3b+b3c+c3a=−2401.\boxed{a^3 b + b^3 c + c^3 a = -2401}.

Compartir este Q&A