Минимальное n для прямоугольников

Examining the board's dimensions and creating rectangles with different color cells, calculating every horizontal and vertical 1x2 rectangle.

I’m uncovering the number of vertical 1x2 rectangles and considering a checkerboard pattern. For even n, each row has all horizontal pairs with different colors.

I’m looking at the even n rows on a checkerboard: each row has n-1 horizontal pairs of different colors (B W B W ...), leading to n*(n-1) horizontal pairs per row, totaling n*(n-1).

Confirming that a checkerboard pattern yields 2n(n-1) dichromatic pairs. I'm thinking about adjusting this pattern to achieve exactly 1195 pairs, noting the adjustment would include some same-colored cells.

I’m mapping out various n values to find the smallest n where exactly 1195 dichromatic pairs occur, recognizing that larger numbers yield higher pairs and smaller n values are too few.

Calculating the smallest n for 1195 dichromatic pairs involves solving 2n(n-1) >= 1195, pinpointing n around 25, and confirming the number of 1x2 rectangles for validation.

Considering if 1195 dichromatic pairs are feasible with a slight deviation from the standard checkerboard coloring, yielding 5 same-color pairs out of 1200 total.

OK, I’m thinking about flipping the color of one cell to yield 5 same-color pairs in a 25x25 board. This step balances the disparity between different and same-color pairs.

Thought about прямоугольники на доске für 52 Sekunden

Разбор задачи

Нам дана доска $n\times n$, клетки которой раскрашены в чёрный и белый цвета (необязательно в «шахматном» порядке). Рассматриваем все возможные прямоугольники $1\times 2$ (они бывают двух видов — горизонтальные и вертикальные), и нас интересует количество таких прямоугольников, в которых две клетки оказались разного цвета. Известно, что это число равно $1195$. Нужно найти минимальное $n$, при котором существует подходящая раскраска.

1. Сколько всего прямоугольников $1 \times 2$ на $n\times n$-доске?

1. Горизонтальные $1\times 2$-прямоугольники: в каждой из $n$ строк можно выбрать $(n-1)$ пары соседних клеток, итого

   $$n \times (n - 1).$$

2. Вертикальные $1\times 2$-прямоугольники: в каждом из $n$ столбцов можно выбрать $(n-1)$ пары соседних клеток по вертикали, итого

   $$n \times (n - 1).$$

Суммарно всех $1\times 2$-прямоугольников

2. Необходимое условие: общее число пар должно быть не меньше 1195

Если нам нужно ровно $1195$ «двухцветных» прямоугольников $1\times 2$, то прежде всего их общее число (вне зависимости от цвета) не может быть меньше $1195$. Значит,

Обозначим $m = n(n-1)$. Тогда неравенство переходит в

Следовательно,

Теперь найдём наименьшее $n$, удовлетворя этому:

• При $n=24$: $24\times 23 = 552 < 598$, не подходит.
• При $n=25$: $25\times 24 = 600 \ge 598$, подходит.

Значит, минимально возможное $n$, при котором общее число прямоугольников $1\times 2$ хотя бы $1195$, — это $n=25$.

3. Можно ли добиться ровно 1195 «двухцветных» пар при $n=25$?

1. Всего $1\times 2$-прямоугольников на $25\times25$-доске:

   $$2 \times 25 \times 24 \;=\; 1200.$$

2. Если бы мы раскрасили доску строго «шахматно» (клетка чёрная, рядом белая и т. д.), то все 1200 прямоугольников $1\times 2$ оказались бы «двухцветными». То есть в таком случае счётчик «разноцветных» пар был бы

   $$1200.$$

3. Нам нужно уменьшить это число до $1195$, то есть сделать ровно 5 пар одноцветными.

   • Одно «перекрашивание» одной клетки из чёрного в белый (или наоборот) в окружении из 4 соседей (слева, справа, сверху, снизу) может создать до 4 одноцветных пар (если все соседи были другого цвета изначально).
   • При аккуратном подборе клеток, где делать такие «перекрашивания» (например, на краю или в углу), можно добиться ровно 5 одноцветных пар.

Таким образом, реализовать ровно $1195$ «двухцветных» пар вполне возможно при $n=25$, «слегка» отклонившись от строго шахматной раскраски.

Вывод

• Для $n < 25$ общее число $1\times 2$-прямоугольников меньше 1195, значит нужного количества «двухцветных» пар получить нельзя в принципе.
• При $n=25$ общее число пар равно 1200, и есть способ «подправить» шахматную раскраску так, чтобы ровно 5 пар оказались одноцветными, а оставшиеся $1200 - 5 = 1195$ — разноцветными.

Ответ: $n = 25$.