logoChat01.ai

Количество синих чисел

Creado el: 26 de diciembre de 2024

Respondido usando OpenAI 01 por OpenAI01

Pregunta

Дан приведённый кубический многочлен P(x). Известно, что
P(11)+P(14)=P(12)+P(13).
Найдите удвоенную сумму всех корней P(x).

Pensamiento

Analyzing polynomial relationships

Now I'm thinking about P(x) as a cubic polynomial and equating specific values to derive coefficient relationships for determining the sum of roots.

Examining symmetry

I'm considering if P(x) is symmetrical around x = 12.5 due to specific x-value sums, and exploring how this symmetry might link to coefficient relationships.

Breaking down the equation

I’m calculating individual polynomial values and simplifying the expression. This helps pinpoint coefficient relationships, which are key for determining the polynomial's traversal and symmetry.

Calculating coefficients

I’m figuring out the polynomial coefficients using specific x-values and simplifying to find the relationship between a and b, leading to b = -37.5a.

Thought about сумме корней кубического многочлена für 10 Sekunden

Respuesta

Разбор задачи

Пусть дан кубический многочлен

P(x)=ax3+bx2+cx+d.P(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d.

Из условия задачи известно, что

P(11)+P(14)  =  P(12)+P(13).P(11) + P(14) \;=\; P(12) + P(13).

Требуется найти 2S2S, где SS — сумма всех корней многочлена P(x)P(x).

1. Используем формулу Виета для суммы корней

Для кубического многочлена P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d:

  • сумма корней равна −ba-\dfrac{b}{a}.

Следовательно, если мы найдём отношение ba\frac{b}{a}, то сразу сможем найти сумму корней, а затем её удвоенное значение.

2. Запишем условие P(11)+P(14)=P(12)+P(13)P(11) + P(14) = P(12) + P(13)

Подставим в P(x)P(x) значения x=11, 12, 13, 14x = 11,\,12,\,13,\,14 и сложим/вычтем:

P(11)=a⋅113+b⋅112+c⋅11+d,P(11) = a \cdot 11^3 + b \cdot 11^2 + c \cdot 11 + d, P(14)=a⋅143+b⋅142+c⋅14+d,P(14) = a \cdot 14^3 + b \cdot 14^2 + c \cdot 14 + d, P(12)=a⋅123+b⋅122+c⋅12+d,P(12) = a \cdot 12^3 + b \cdot 12^2 + c \cdot 12 + d, P(13)=a⋅133+b⋅132+c⋅13+d.P(13) = a \cdot 13^3 + b \cdot 13^2 + c \cdot 13 + d.

Тогда условие

P(11)+P(14)  −  P(12)  −  P(13)  =  0P(11) + P(14)\;-\;P(12)\;-\;P(13) \;=\; 0

даёт:

[a(113)+b(112)+c(11)+d]  +  [a(143)+b(142)+c(14)+d]  −  [a(123)+b(122)+c(12)+d]  −  [a(133)+b(132)+c(13)+d]=0.\bigl[a(11^3) + b(11^2) + c(11) + d\bigr] \;+\; \bigl[a(14^3) + b(14^2) + c(14) + d\bigr] \;-\; \bigl[a(12^3) + b(12^2) + c(12) + d\bigr] \;-\; \bigl[a(13^3) + b(13^2) + c(13) + d\bigr] = 0.

Сгруппируем по коэффициентам a,b,c,da, b, c, d.

  1. Коэффициент при aa:

    113+143−123−133  =  1331+2744−1728−2197  =  4075−3925  =  150.11^3 + 14^3 - 12^3 - 13^3 \;=\; 1331 + 2744 - 1728 - 2197 \;=\; 4075 - 3925 \;=\; 150.

    Значит вклад от aa равен 150a150a.

  2. Коэффициент при bb:

    112+142−122−132  =  121+196−144−169  =  317−313  =  4.11^2 + 14^2 - 12^2 - 13^2 \;=\; 121 + 196 - 144 - 169 \;=\; 317 - 313 \;=\; 4.

    Значит вклад от bb равен 4b4b.

  3. Коэффициент при cc:

    11+14−12−13=25−25=0.11 + 14 - 12 - 13 = 25 - 25 = 0.

    Вклад от cc равен 00.

  4. Коэффициент при dd:

    1+1−1−1=0.1 + 1 - 1 - 1 = 0.

    Вклад от dd равен 00.

Следовательно, условие сводится к:

150a+4b=0⟹4b=−150a⟹b=−1504 a  =  −752 a.150a + 4b = 0 \quad\Longrightarrow\quad 4b = -150a \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{150}{4}\,a \;=\; -\frac{75}{2}\,a.

3. Находим сумму корней многочлена

Из формулы Виета для кубического многочлена:

S  =  x1+x2+x3  =  −ba.S \;=\; x_1 + x_2 + x_3 \;=\; -\frac{b}{a}.

У нас получилось b=−752ab = -\tfrac{75}{2} a. Значит

S=−−752aa=752=37,5.S = -\frac{-\tfrac{75}{2}a}{a} = \frac{75}{2} = 37{,}5.

4. Находим удвоенную сумму корней

Требуется вычислить 2S2S:

2S=2×37,5=75.2S = 2 \times 37{,}5 = 75.

Ответ

75\boxed{75}

Compartir este Q&A