极限与函数定理总结

高等数学中关于函数与极限的各种定理和结论如下：

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一、极限的定义与性质

1. 极限的ε-δ定义：

   当x趋于a时，函数f(x)的极限为L，若对于任意给定的ε>0，存在δ>0，使得当0<|x−a|<δ时，有|f(x)−L|<ε。

2. 极限的唯一性：

   如果极限存在，则极限唯一。

3. 左右极限：

   若函数f(x)在x趋于a的左、右极限存在且相等，则lim_{x→a}f(x)存在，且等于左右极限的共同值。

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二、极限的运算定理

1. 四则运算：

   • 加法：lim_{x→a}[f(x)+g(x)]=lim_{x→a}f(x)+lim_{x→a}g(x)
   • 减法：lim_{x→a}[f(x)-g(x)]=lim_{x→a}f(x)-lim_{x→a}g(x)
   • 乘法：lim_{x→a}[f(x)·g(x)]=lim_{x→a}f(x)·lim_{x→a}g(x)
   • 除法：lim_{x→a}[f(x)/g(x)]=lim_{x→a}f(x)/lim_{x→a}g(x)（前提是lim_{x→a}g(x)≠0）

2. 复合函数的极限：

   如果lim_{x→a}g(x)=b，且lim_{y→b}f(y)=L，则lim_{x→a}f(g(x))=L。

3. 无穷小的比较：

   • 若φ(x)是比ψ(x)高阶的无穷小，则lim_{x→a}[φ(x)/ψ(x)]=0。

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三、重要极限和结论

1. 基本极限：

   • lim_{x→0}(sin x)/x=1
   • lim_{x→0}(1−cos x)/x²=1/2
   • lim_{x→0}(e^x−1)/x=1
   • lim_{x→∞}(1+1/x)^x=e

2. 等价无穷小替换：

   • 当x→0时，sin x ~ x
   • 当x→0时，tan x ~ x
   • 当x→0时，ln(1+x) ~ x
   • 当x→0时，e^x ~ 1+x

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四、夹逼定理（两边夹定理）

如果对于所有接近于a的x，有f(x)≤g(x)≤h(x)，且lim_{x→a}f(x)=lim_{x→a}h(x)=L，则lim_{x→a}g(x)=L。

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五、洛必达法则（L'Hospital法则）

当求极限时出现未定式0/0或∞/∞，可使用洛必达法则：

lim_{x→a}[f(x)/g(x)]=lim_{x→a}[f'(x)/g'(x)]（前提是f(x)和g(x)在x=a附近可导，且g'(x)≠0）

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六、函数的连续性

1. 函数在点处的连续性：

   函数f(x)在x=a处连续，当且仅当：

   • f(a)存在；
   • lim_{x→a}f(x)存在；
   • lim_{x→a}f(x)=f(a)。

2. 间断点的分类：

   • 可去间断点：lim_{x→a}f(x)存在，但不等于f(a)或f(a)未定义。
   • 第一类间断点（跳跃间断点）：左右极限存在但不相等。
   • 第二类间断点：左右极限至少有一个不存在或无穷大。

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七、中值定理

1. 介值定理（Bolzano定理）：

   如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则存在c∈(a,b)，使得f(c)=0。

2. 罗尔定理：

   如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f'(c)=0。

3. 拉格朗日中值定理：

   如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则存在c∈(a,b)，使得：

   f'(c) = [f(b) - f(a)] / (b - a)

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八、泰勒公式

函数在x=a处的泰勒展开式：

f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + [f''(a)/2!](x - a)² + ... + [f⁽ⁿ⁾(a)/n!](x - a)ⁿ + Rₙ(x)

其中，Rₙ(x)是余项。

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九、极限计算的快捷方法

1. 利用等价无穷小替换：将复杂的表达式替换为等价的无穷小形式。

2. 有理化：对于含有根式的极限，乘以共轭进行有理化，方便计算。

3. 变量替换：通过设定新的变量，简化极限的形式。

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以上是关于高等数学中函数与极限的重要定理和快捷结论，希望对您的学习有所帮助！