Конечно. Решим 13.2.24 и 13.6.1 подробно, с объяснением физического смысла.

13.2.24

Условие. По гладкой горизонтальной направляющей длины $2l$ скользит бусинка массы $m$ с положительным зарядом $Q$. На концах направляющей находятся одинаковые положительные заряды $q$. Бусинка совершает малые колебания около положения равновесия с периодом $T$.

Найти новый период, если заряд бусинки увеличить в 2 раза.

1. Где находится положение равновесия?

Так как заряды на концах одинаковые, в середине направляющей силы от них одинаковы по модулю и противоположны.

Поэтому равновесие находится ровно посередине.

Пусть бусинка сместилась вправо на небольшое расстояние $x$.

Тогда расстояния до зарядов:

$$r_1=l+x,\qquad r_2=l-x.$$

Правый заряд находится ближе и отталкивает бусинку сильнее, поэтому результирующая сила направлена обратно к центру — это и обеспечивает колебания.

2. Запишем результирующую силу

По закону Кулона:

$$F_1=k\frac{Qq}{(l+x)^2},$$ $$F_2=k\frac{Qq}{(l-x)^2}.$$

Если направление вправо считать положительным,

$$F=kQq\left(\frac1{(l+x)^2}-\frac1{(l-x)^2}\right).$$

Приведём к общему знаменателю:

$$F=kQq\, \frac{(l-x)^2-(l+x)^2}{(l^2-x^2)^2}.$$

В числителе:

$$(l-x)^2-(l+x)^2=-4lx.$$

Поэтому

$$F=-\frac{4kQqlx}{(l^2-x^2)^2}.$$

Поскольку колебания малые, $x\ll l$, поэтому $x^2$ можно пренебречь:

$$(l^2-x^2)^2\approx l^4.$$

Получаем

$$F\approx-\frac{4kQq}{l^3}x.$$

Это имеет вид закона Гука

$$F=-k_{\text{эфф}}x,$$

где

$$k_{\text{эфф}}=\frac{4kQq}{l^3}.$$

3. Период колебаний

Для гармонического осциллятора

$$T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k_{\text{эфф}}}}.$$

Следовательно,

$$T=2\pi\sqrt{\frac{ml^3}{4kQq}}.$$

Главное здесь:

$$\boxed{T\propto\frac1{\sqrt Q}}.$$

Если заряд увеличить в два раза,

$$Q'=2Q,$$

то

$$T'=T\sqrt{\frac{Q}{2Q}} =\frac{T}{\sqrt2}.$$

Ответ:

$$\boxed{T'=\frac{T}{\sqrt2}}$$

То есть период уменьшится в $\sqrt2$ раза.

Физически это понятно: больший заряд означает более сильное электрическое отталкивание. При смещении от центра возвращающая сила становится больше, поэтому бусинка колеблется быстрее.

---

13.6.1

Условие. На сколько отстанут маятниковые часы за сутки, если перенести их с полюса на экватор?

На полюсе часы идут правильно:

$$g_p=9.83\ \text{м/с}^2,$$

на экваторе:

$$g_e=9.78\ \text{м/с}^2.$$

1. Как зависит период маятника от $g$?

Для математического маятника

$$T=2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}.$$

Длина маятника не меняется, поэтому

$$T\propto\frac1{\sqrt g}.$$

На экваторе $g$ меньше:

$$g_e<g_p.$$

Значит период станет больше. Маятник будет качаться медленнее, следовательно часы начнут отставать.

2. Сравним периоды

На полюсе:

$$T_p=2\pi\sqrt{\frac l{g_p}}.$$

На экваторе:

$$T_e=2\pi\sqrt{\frac l{g_e}}.$$

Отношение:

$$\frac{T_e}{T_p} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e}}.$$

Или

$$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}}.$$

За реальное время $t$ часы покажут

$$t_{\text{часы}} =t\frac{T_p}{T_e} =t\sqrt{\frac{g_e}{g_p}}.$$

За сутки

$$t=24\cdot3600=86400\ \text{с}.$$

Подставляем:

$$t_{\text{часы}} = 86400\sqrt{\frac{9.78}{9.83}}.$$

Тогда отставание

$$\Delta t = 86400- 86400\sqrt{\frac{9.78}{9.83}}.$$ $$\Delta t = 86400\left(1-\sqrt{\frac{9.78}{9.83}}\right).$$

Численно:

$$\Delta t\approx220\ \text{с}.$$

Переведём в минуты:

$$220\ \text{с}=3\ \text{мин}\ 40\ \text{с}.$$

Ответ:

$$\boxed{\Delta t\approx220\ \text{с} \approx3\ \text{мин}\ 40\ \text{с}}$$

То есть после переноса с полюса на экватор часы будут отставать примерно на 3 минуты 40 секунд за сутки.

Главная идея: на экваторе $g$ меньше $\rightarrow$ период маятника больше $\rightarrow$ маятник делает меньше колебаний за сутки $\rightarrow$ часы отстают.