Выведи формулу 6.9. Сделай явно, подробно и послед...

В загруженной статье формула (6.9) — это условие взаимной локальности общего левого вертекса с токами пространственно-временной supersymmetry $J^+_\sigma$ и $J^-_{\dot\sigma}$ из (6.8). Вывод ниже опирается на общий левый вертекс (5.7), правило монодромии (5.12) и вид токов (6.7)–(6.8). (2506.01068v8 (1).pdf)

Чтобы не путать два разных символа $q$, я временно пишу:

$$q_\varphi$$

для заряда супергоста $\varphi$, то есть для $q$ из формулы (6.9), а коэффициент при $X^+$ обозначаю через $\vec r$. В обозначениях статьи потом надо просто заменить $\vec r\to \vec q$.

Общий левый вертекс имеет экспоненциальную часть

$$V^L_{\mu_L} \sim \exp\left( q_\varphi\varphi +i\sum_{a=1}^{2}\lambda^a\widetilde H_a +i\sum_{i=1}^{5}S_iH_i +\vec p\cdot \vec X^- +\vec r\cdot \vec X^+ \right).$$

Осцилляторный многочлен $P(\partial^kx^\mu,\ldots)$ здесь не важен для вывода (6.9), потому что он может давать только целые степени $(u-z)$, то есть полюса, но не дробные ветвления. Условие GSO возникает именно из дробной части OPE экспонент.

Критерий взаимной локальности такой: если

$$V_{\mu}(u)V_{\mu'}(z)\sim (u-z)^{\nu}\cdot(\text{регулярная экспонента}),$$

то при обходе $u$ вокруг $z$ появляется фаза

$$e^{2\pi i\nu}.$$

Чтобы не было ветвления, нужно

$$\nu\in \mathbb Z.$$

По формуле (5.12) показатель $\nu$ для двух левых экспонент равен

$$\nu = -q_\varphi q'_\varphi + \sum_{a=1}^{2}\lambda^a\lambda'^a + \sum_{i=1}^{5}S_iS'_i + \vec p\cdot \vec r' + \vec p'\cdot \vec r.$$

Теперь берём ток суперзаряда

$$J^+_\sigma = \exp\left( -\frac12\varphi +i\vec\sigma\cdot \vec{\widetilde H} +\frac12 H^L_{CY} \right),$$

где

$$H^L_{CY} = \sum_{i=1}^{5} \left( iH_i-a_i^+X_i^-+a_i^-X_i^+ \right).$$

Раскрываем $\frac12H^L_{CY}$:

$$\frac12H^L_{CY} = \frac{i}{2}\sum_{i=1}^{5}H_i -\frac12\vec a^+\cdot \vec X^- +\frac12\vec a^-\cdot \vec X^+.$$

Значит параметры тока $J^+_\sigma$ таковы:

$$q'_\varphi=-\frac12, \qquad \lambda'^a=\sigma^a, \qquad S'_i=\frac12, \qquad \vec p'=-\frac12\vec a^+, \qquad \vec r'=\frac12\vec a^-.$$

Подставляем их в показатель монодромии:

$$\nu_+ = -q_\varphi\left(-\frac12\right) + \sum_a\lambda^a\sigma^a + \sum_i S_i\frac12 + \vec p\cdot \frac12\vec a^- + \left(-\frac12\vec a^+\right)\cdot \vec r.$$

Упрощаем каждое слагаемое:

$$-q_\varphi\left(-\frac12\right)=\frac12q_\varphi,$$ $$\sum_i S_i\frac12=\frac12\sum_iS_i,$$ $$\vec p\cdot \frac12\vec a^-=\frac12\vec p\cdot\vec a^-,$$ $$\left(-\frac12\vec a^+\right)\cdot \vec r = -\frac12\vec r\cdot\vec a^+.$$

Следовательно,

$$\nu_+ = \frac12q_\varphi + \sum_a\lambda^a\sigma^a + \frac12 \left( \sum_iS_i + \vec p\cdot\vec a^- - \vec r\cdot\vec a^+ \right).$$

Величина в скобках — это как раз левый $U(1)$-заряд Calabi–Yau-сектора:

$$Q^L_{CY} = \sum_{i=1}^{5}S_i + \vec p\cdot\vec a^- - \vec r\cdot\vec a^+.$$

Поэтому

$$\nu_+ = \frac12q_\varphi + \sum_a\lambda^a\sigma^a + \frac12Q^L_{CY}.$$

Теперь выбираем компоненту спинора

$$\vec\sigma=\left(\frac12,\frac12\right).$$

Тогда

$$\sum_a\lambda^a\sigma^a = \frac12\lambda^1+\frac12\lambda^2 = \frac12\sum_{a=1}^{2}\lambda^a.$$

Значит

$$\nu_+ = \frac12q_\varphi + \frac12\sum_a\lambda^a + \frac12Q^L_{CY}.$$

Выносим общий множитель $\frac12$:

$$\nu_+ = \frac12 \left( q_\varphi + \sum_a\lambda^a + Q^L_{CY} \right).$$

Условие взаимной локальности есть

$$\nu_+\in \mathbb Z.$$

То есть

$$\frac12 \left( q_\varphi + \sum_a\lambda^a + Q^L_{CY} \right) \in \mathbb Z.$$

Умножаем на $2$:

$$q_\varphi + \sum_a\lambda^a + Q^L_{CY} \in 2\mathbb Z.$$

Возвращаясь к обозначению статьи $q_\varphi\to q$ и $\vec r\to \vec q$, получаем ровно формулу (6.9):

$$\boxed{ q+\sum_a\lambda^a+Q^L_{CY}\in 2\mathbb Z }$$

где

$$\boxed{ Q^L_{CY} = \sum_iS_i + \vec p\cdot\vec a^- - \vec q\cdot\vec a^+ }.$$

Смысл формулы простой: полный “левый заряд”

$$q+\sum_a\lambda^a+Q^L_{CY}$$

должен быть чётным. Это и есть GSO-условие в левом секторе: оно отбрасывает те вертексы, у которых OPE с суперзарядами имеет ветвление, и оставляет только вертексы, совместимые с $N=1$ пространственно-временной суперсимметрией.