Гоночный болид готов начать движение по очень длин...

Пилоту нужно включить ускоритель сразу в момент старта, то есть при $\tau=0$.

Пусть ускоритель включают в момент $\tau$, где $0\le \tau \le T-t$. Двигатель всё время даёт ускорение $a$, поэтому его вклад в путь не зависит от выбора $\tau$. Нужно максимизировать только добавку от ускорителя.

Дополнительное ускорение $a_+$, полученное в момент времени $s$, увеличивает скорость на всё оставшееся время $T-s$. Поэтому добавочный путь равен

$$\Delta S(\tau)=\int_{\tau}^{\tau+t} a_+(T-s)\,ds = a_+\left(Tt-\tau t-\frac{t^2}{2}\right).$$

Эта величина линейно убывает с ростом $\tau$, потому что

$$\frac{d\Delta S}{d\tau}=-a_+t<0.$$

Значит, чем раньше включить ускоритель, тем больше расстояние он даст. Максимум достигается при

$$\boxed{\tau=0}.$$

Идея простая: ускоритель выгоднее включать как можно раньше, потому что полученная прибавка скорости будет действовать дольше.