Реши вариант 1 Сделай все как решенные варианты

По методическому письму для варианта 1 указаны задания: 201, 211, 221, 241, 261, 271, 281, 291, 301, 311. Задания 231 и 251 в таблице варианта 1 не указаны, поэтому их не включаю. (Метод_письмо_13_03_02_2_сем_3,4_к_р_2026_г_ (1).docx) Решение оформляю с промежуточными выкладками, как требуется в методичке. (МУ_Математика ч.2 13.03.02.doc)

№201

Дано:

$$z=\ln(x^2+y^2), \qquad F=\frac{\partial^2z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2z}{\partial y^2}.$$

Найдем частные производные:

$$z_x=\frac{2x}{x^2+y^2}, \qquad z_y=\frac{2y}{x^2+y^2}.$$ $$z_{xx}=\frac{2(x^2+y^2)-4x^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2y^2-2x^2}{(x^2+y^2)^2}.$$ $$z_{yy}=\frac{2(x^2+y^2)-4y^2}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}.$$

Тогда

$$F=z_{xx}+z_{yy} =\frac{2y^2-2x^2+2x^2-2y^2}{(x^2+y^2)^2}=0.$$

Ответ:

$$\boxed{F=0}$$

---

№211

Дано:

$$z=2x^3+4x^2+y^2-2xy,$$

область

$$x^2\le y\le 4.$$

Это область между параболой $y=x^2$ и прямой $y=4$, где $-2\le x\le2$.

Найдем стационарные точки:

$$z_x=6x^2+8x-2y,$$ $$z_y=2y-2x.$$

Приравниваем к нулю:

$$\begin{cases} 6x^2+8x-2y=0,\\ 2y-2x=0. \end{cases}$$

Из второго уравнения:

$$y=x.$$

Подставим:

$$6x^2+8x-2x=0,$$ $$6x^2+6x=0,$$ $$6x(x+1)=0.$$ $$x=0 \quad \text{или} \quad x=-1.$$

Точки:

$$(0;0), \qquad (-1;-1).$$

Точка $(-1;-1)$ не принадлежит области, так как при $x=-1$:

$$x^2=1, \qquad y=-1<1.$$

Точка $(0;0)$ лежит на границе.

Рассмотрим границы.

1) Граница $y=x^2$, $-2\le x\le2$

$$z=2x^3+4x^2+x^4-2x\cdot x^2.$$ $$z=x^4+4x^2.$$

Обозначим:

$$\varphi(x)=x^4+4x^2.$$ $$\varphi'(x)=4x^3+8x=4x(x^2+2).$$ $$\varphi'(x)=0 \Rightarrow x=0.$$

Значения:

$$\varphi(0)=0,$$ $$\varphi(-2)=16+16=32,$$ $$\varphi(2)=16+16=32.$$

2) Граница $y=4$, $-2\le x\le2$

$$z=2x^3+4x^2+16-8x.$$

Обозначим:

$$\psi(x)=2x^3+4x^2-8x+16.$$ $$\psi'(x)=6x^2+8x-8.$$ $$6x^2+8x-8=0.$$ $$3x^2+4x-4=0.$$ $$x=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{6} =\frac{-4\pm8}{6}.$$ $$x=\frac23, \qquad x=-2.$$

Значения:

$$\psi(-2)=32,$$ $$\psi(2)=32,$$ $$\psi\left(\frac23\right) =2\cdot\frac{8}{27}+4\cdot\frac49-8\cdot\frac23+16$$ $$=\frac{16}{27}+\frac{16}{9}-\frac{16}{3}+16 =\frac{352}{27}.$$

Сравниваем:

$$0,\quad 32,\quad \frac{352}{27}.$$

Ответ:

$$\boxed{z_{\min}=0 \text{ при } (0;0)}$$ $$\boxed{z_{\max}=32 \text{ при } (-2;4) \text{ и } (2;4)}$$

---

№221

Дано:

$$z=x^2+3y^3-xy,$$ $$A(1;1), \qquad \vec a=(-5;12).$$

Найти:

$$\operatorname{grad}z(A)$$

и производную по направлению $\vec a$.

Находим частные производные:

$$z_x=2x-y,$$ $$z_y=9y^2-x.$$

В точке $A(1;1)$:

$$z_x(1;1)=2\cdot1-1=1,$$ $$z_y(1;1)=9\cdot1^2-1=8.$$

Следовательно,

$$\operatorname{grad}z(A)=(1;8).$$

Длина вектора $\vec a$:

$$|\vec a|=\sqrt{(-5)^2+12^2}=\sqrt{25+144}=13.$$

Единичный вектор направления:

$$\vec e=\left(-\frac5{13};\frac{12}{13}\right).$$

Производная по направлению:

$$\frac{\partial z}{\partial \vec a} =\operatorname{grad}z(A)\cdot \vec e.$$ $$\frac{\partial z}{\partial \vec a} =1\cdot\left(-\frac5{13}\right)+8\cdot\frac{12}{13} =\frac{-5+96}{13} =\frac{91}{13}=7.$$

Ответ:

$$\boxed{\operatorname{grad}z(A)=(1;8)}$$ $$\boxed{\frac{\partial z}{\partial \vec a}=7}$$

---

№241

а)

$$\int x\sqrt{9-17x^2}\,dx.$$

Пусть

$$u=9-17x^2.$$

Тогда

$$du=-34x\,dx,$$ $$x\,dx=-\frac1{34}du.$$

Получаем:

$$\int x\sqrt{9-17x^2}\,dx =-\frac1{34}\int u^{1/2}\,du.$$ $$=-\frac1{34}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C.$$ $$=-\frac1{51}(9-17x^2)^{3/2}+C.$$

Ответ:

$$\boxed{\int x\sqrt{9-17x^2}\,dx =-\frac1{51}(9-17x^2)^{3/2}+C}$$

Проверка:

$$\left[-\frac1{51}(9-17x^2)^{3/2}\right]' =x\sqrt{9-17x^2}.$$

---

б)

$$\int (3t^2+1)\sin 2t\,dt.$$

Разобьем:

$$\int (3t^2+1)\sin 2t\,dt =3\int t^2\sin2t\,dt+\int \sin2t\,dt.$$

Для

$$\int t^2\sin2t\,dt$$

берем интегрирование по частям:

$$u=t^2,\qquad dv=\sin2t\,dt.$$

Тогда

$$du=2t\,dt,\qquad v=-\frac12\cos2t.$$ $$\int t^2\sin2t\,dt =-\frac{t^2}{2}\cos2t+\int t\cos2t\,dt.$$

Теперь

$$\int t\cos2t\,dt.$$

Берем:

$$u=t,\qquad dv=\cos2t\,dt.$$ $$du=dt,\qquad v=\frac12\sin2t.$$ $$\int t\cos2t\,dt =\frac t2\sin2t-\frac12\int \sin2t\,dt.$$ $$=\frac t2\sin2t+\frac14\cos2t.$$

Значит,

$$\int t^2\sin2t\,dt =-\frac{t^2}{2}\cos2t+\frac t2\sin2t+\frac14\cos2t.$$

Тогда:

$$3\int t^2\sin2t\,dt =-\frac{3t^2}{2}\cos2t+\frac{3t}{2}\sin2t+\frac34\cos2t.$$

И

$$\int \sin2t\,dt=-\frac12\cos2t.$$

Итого:

$$\int (3t^2+1)\sin2t\,dt =-\frac{3t^2}{2}\cos2t+\frac{3t}{2}\sin2t+\frac14\cos2t+C.$$

Ответ:

$$\boxed{\int (3t^2+1)\sin2t\,dt =-\frac{3t^2}{2}\cos2t+\frac{3t}{2}\sin2t+\frac14\cos2t+C}$$

Проверка дифференцированием дает:

$$(3t^2+1)\sin2t.$$

---

в)

$$\int \frac{4x+3}{8x^3+27}\,dx.$$

Разложим знаменатель:

$$8x^3+27=(2x+3)(4x^2-6x+9).$$

Представим дробь:

$$\frac{4x+3}{8x^3+27} = -\frac{1}{9(2x+3)} +\frac{2x+12}{9(4x^2-6x+9)}.$$

Тогда

$$\int \frac{4x+3}{8x^3+27}\,dx = -\frac19\int\frac{dx}{2x+3} +\frac19\int\frac{2x+12}{4x^2-6x+9}\,dx.$$

После интегрирования получаем:

$$-\frac1{18}\ln|2x+3| +\frac1{36}\ln(4x^2-6x+9) +\frac{\sqrt3}{6}\arctg\frac{4x-3}{3\sqrt3} +C.$$

Ответ:

$$\boxed{ \int \frac{4x+3}{8x^3+27}\,dx = -\frac1{18}\ln|2x+3| +\frac1{36}\ln(4x^2-6x+9) +\frac{\sqrt3}{6}\arctg\frac{4x-3}{3\sqrt3} +C }$$

---

г)

$$\int \frac{\sqrt{x}\,dx}{4\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}}.$$

Положим:

$$t=\sqrt[6]{x}.$$

Тогда

$$x=t^6, \qquad dx=6t^5\,dt,$$ $$\sqrt{x}=t^3, \qquad \sqrt[3]{x}=t^2.$$

Подставляем:

$$\int \frac{t^3\cdot 6t^5\,dt}{4t^3-3t^2} = \int \frac{6t^8}{t^2(4t-3)}\,dt = \int \frac{6t^6}{4t-3}\,dt.$$

Делим многочлен:

$$\frac{6t^6}{4t-3} = \frac32t^5+\frac98t^4+\frac{27}{32}t^3 +\frac{81}{128}t^2+\frac{243}{512}t +\frac{729}{2048} +\frac{2187}{2048(4t-3)}.$$

Интегрируем:

$$\int \frac{6t^6}{4t-3}\,dt = \frac14t^6+\frac9{40}t^5+\frac{27}{128}t^4 +\frac{27}{128}t^3 +\frac{243}{1024}t^2 +\frac{729}{2048}t +\frac{2187}{8192}\ln|4t-3|+C.$$

Возвращаемся к $x$:

$$t=\sqrt[6]{x}.$$

Ответ:

$$\boxed{ \begin{aligned} \int \frac{\sqrt{x}\,dx}{4\sqrt{x}-3\sqrt[3]{x}} &= \frac{x}{4} +\frac9{40}x^{5/6} +\frac{27}{128}x^{2/3} +\frac{27}{128}x^{1/2} \\ &\quad +\frac{243}{1024}x^{1/3} +\frac{729}{2048}x^{1/6} +\frac{2187}{8192}\ln|4x^{1/6}-3| +C. \end{aligned} }$$

---

№261

$$\int_0^{+\infty}\frac{\arctg x}{1+x^2}\,dx.$$

Пусть

$$u=\arctg x.$$

Тогда

$$du=\frac{dx}{1+x^2}.$$

Пределы:

при $x=0$:

$$u=0;$$

при $x\to+\infty$:

$$u\to\frac\pi2.$$

Следовательно,

$$\int_0^{+\infty}\frac{\arctg x}{1+x^2}\,dx = \int_0^{\pi/2}u\,du.$$ $$=\left.\frac{u^2}{2}\right|_0^{\pi/2} =\frac12\cdot\frac{\pi^2}{4} =\frac{\pi^2}{8}.$$

Интеграл сходится.

Ответ:

$$\boxed{\int_0^{+\infty}\frac{\arctg x}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi^2}{8}}$$

---

№271

Фигура ограничена линиями:

$$xy=4,\qquad y=1,\qquad y=2,\qquad x=0.$$

Вращение вокруг оси $Oy$.

Из уравнения

$$xy=4$$

получаем:

$$x=\frac4y.$$

При $1\le y\le2$ радиус вращения:

$$R(y)=\frac4y.$$

Объем тела вращения вокруг оси $Oy$:

$$V=\pi\int_1^2 R^2(y)\,dy.$$ $$V=\pi\int_1^2\left(\frac4y\right)^2dy.$$ $$V=16\pi\int_1^2\frac{dy}{y^2}.$$ $$V=16\pi\left[-\frac1y\right]_1^2.$$ $$V=16\pi\left(-\frac12+1\right) =16\pi\cdot\frac12 =8\pi.$$

Ответ:

$$\boxed{V=8\pi}$$

---

№281

Дано:

$$xy'=y+x\sin\frac yx.$$

Это однородное уравнение. Положим:

$$y=ux.$$

Тогда

$$y'=u+xu'.$$

Подставим:

$$x(u+xu')=ux+x\sin u.$$ $$xu+x^2u'=xu+x\sin u.$$ $$x^2u'=x\sin u.$$ $$xu'=\sin u.$$ $$\frac{du}{dx}=\frac{\sin u}{x}.$$

Разделяем переменные:

$$\frac{du}{\sin u}=\frac{dx}{x}.$$ $$\int \frac{du}{\sin u}=\int\frac{dx}{x}.$$ $$\ln\left|\tg\frac u2\right|=\ln|x|+C.$$

Так как

$$u=\frac yx,$$

получаем:

$$\ln\left|\tg\frac{y}{2x}\right|=\ln|x|+C.$$

Или

$$\tg\frac{y}{2x}=Cx.$$

Ответ:

$$\boxed{\tg\frac{y}{2x}=Cx}$$

Также существуют частные прямолинейные решения:

$$\boxed{y=k\pi x,\quad k\in\mathbb Z.}$$

---

№291

Дано:

$$(1-x^2)y''=xy'.$$

Положим:

$$p=y'.$$

Тогда

$$p'=y''.$$

Получаем:

$$(1-x^2)p'=xp.$$ $$\frac{p'}p=\frac{x}{1-x^2}.$$

Интегрируем:

$$\int\frac{dp}{p}=\int\frac{x}{1-x^2}\,dx.$$ $$\ln|p|=-\frac12\ln|1-x^2|+\ln|C_1|.$$ $$p=\frac{C_1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Так как $p=y'$, то

$$y'=\frac{C_1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Интегрируем:

$$y=C_1\arcsin x+C_2.$$

Ответ:

$$\boxed{y=C_1\arcsin x+C_2}$$

---

№301

Дано:

$$y''-2y'+y=16e^x,$$ $$y(0)=1,\qquad y'(0)=2.$$

Сначала решим однородное уравнение:

$$y''-2y'+y=0.$$

Характеристическое уравнение:

$$\lambda^2-2\lambda+1=0.$$ $$(\lambda-1)^2=0.$$ $$\lambda=1.$$

Общее решение однородного уравнения:

$$y_{\text{одн}}=(C_1+C_2x)e^x.$$

Правая часть:

$$16e^x.$$

Так как $e^x$ соответствует корню $\lambda=1$ кратности 2, частное решение ищем в виде:

$$y_{\text{ч}}=Ax^2e^x.$$

Удобно использовать свойство:

$$(D-1)^2(e^xv)=e^xv''.$$

Пусть

$$y=e^xv.$$

Тогда уравнение дает:

$$e^xv''=16e^x.$$ $$v''=16.$$ $$v=8x^2.$$

Значит,

$$y_{\text{ч}}=8x^2e^x.$$

Общее решение:

$$y=e^x(C_1+C_2x+8x^2).$$

Обозначим:

$$P(x)=C_1+C_2x+8x^2.$$

Тогда

$$y=e^xP(x),$$ $$y'=e^x(P+P').$$

По условию:

$$y(0)=1.$$ $$C_1=1.$$

Теперь

$$P'(x)=C_2+16x.$$ $$y'(0)=P(0)+P'(0)=C_1+C_2.$$ $$2=1+C_2.$$ $$C_2=1.$$

Ответ:

$$\boxed{y=e^x(1+x+8x^2)}$$

---

№311

Дана система:

$$\begin{cases} \dfrac{dx}{dt}=2x+y,\\[4pt] \dfrac{dy}{dt}=-6x-3y. \end{cases}$$

Запишем в матричной форме:

$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} 2&1\\ -6&-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}.$$

Матрица системы:

$$A= \begin{pmatrix} 2&1\\ -6&-3 \end{pmatrix}.$$

Составим характеристическое уравнение:

$$\det(A-\lambda E)=0.$$ $$\begin{vmatrix} 2-\lambda&1\\ -6&-3-\lambda \end{vmatrix}=0.$$ $$(2-\lambda)(-3-\lambda)+6=0.$$ $$\lambda^2+\lambda=0.$$ $$\lambda(\lambda+1)=0.$$ $$\lambda_1=0,\qquad \lambda_2=-1.$$

Для $\lambda_1=0$

$$A\vec v=0.$$ $$\begin{cases} 2v_1+v_2=0,\\ -6v_1-3v_2=0. \end{cases}$$ $$v_2=-2v_1.$$

Берем собственный вектор:

$$\vec v_1=(1;-2).$$

Для $\lambda_2=-1$

$$(A+E)\vec v=0.$$ $$\begin{pmatrix} 3&1\\ -6&-2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1\\v_2 \end{pmatrix} =0.$$ $$3v_1+v_2=0.$$ $$v_2=-3v_1.$$

Берем собственный вектор:

$$\vec v_2=(1;-3).$$

Общее решение:

$$\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} = C_1 \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix} + C_2e^{-t} \begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix}.$$

То есть

$$x=C_1+C_2e^{-t},$$ $$y=-2C_1-3C_2e^{-t}.$$

Ответ:

$$\boxed{ \begin{cases} x=C_1+C_2e^{-t},\\ y=-2C_1-3C_2e^{-t}. \end{cases} }$$

Матричная форма решения:

$$\boxed{ X(t)= C_1 \begin{pmatrix} 1\\-2 \end{pmatrix} + C_2e^{-t} \begin{pmatrix} 1\\-3 \end{pmatrix} }$$

Готово, сделал Word-документ с решением варианта 1.

Скачать Word-документ

Готово. Сделал Word-документ с решением варианта 1 по задачам из загруженного задачника. (НОВЫЙ ЗАДАЧНИК.pdf)

В задаче 2.100 оставил примечание: по расчету схемы получается 0,24 А, а в ответнике указано 0,33 А.

Скачать Word-документ