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下面给你一份可直接用于课堂讲解或专题训练的【排列组合中的排数字问题】专项题库，共 4 类、12 道题，按难度递进整理。

默认说明：除题目特别说明外，均默认“数字不重复使用”；“按从小到大排列”按自然数大小顺序理解。

先给一个总的方法导航：

看到“0”，先处理首位。
看到“偶数、5的倍数”，先处理末位。
看到“大于某个数”，先按高位分情况。
看到“相邻/不相邻”，优先想到捆绑法、插空法。
看到“字典序第几位”，优先用“按块计数法”。

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一、含“0”的排数字问题（首位不能为 0）

例 1

【题目难度】：基础

【题目描述】：
用数字 0，1，2，3，4 这 5 个数字各用一次，能组成多少个不同的五位整数？

【解题思路】：
首位不能为 0，所以先排首位，再排其余各位。这是“优先排特殊位置法”。

【详细解答】：
五位整数的首位只能从 1，2，3，4 中选，共有 4 种选法。
首位确定后，剩下 4 个数字可任意排列，共有
4! = 24 种。

所以不同五位整数的个数为
4 × 4! = 4 × 24 = 96。

最终答案：96 个。

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例 2

【题目难度】：中档

【题目描述】：
从数字 0，1，2，3，4，5 中任选 4 个不同数字，组成没有重复数字的四位整数，共有多少个？

【解题思路】：
仍然先处理首位；也可用“总数减去首位为 0 的情况”的间接法。

【详细解答】：
四位整数的首位不能为 0，所以首位可以从 1，2，3，4，5 中选，共 5 种。
首位确定后，后面 3 位要从剩下的 5 个数字中按顺序选出 3 个，共有
5 × 4 × 3 = 60 种。

所以总数为
5 × 60 = 300。

也可以这样想：
若不考虑首位不能为 0，则 6 个数字中按顺序选 4 个，共有
6 × 5 × 4 × 3 = 360 种；
其中首位是 0 的情况有
5 × 4 × 3 = 60 种。
所以有效个数为
360 - 60 = 300。

最终答案：300 个。

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例 3

【题目难度】：拔高

【题目描述】：
用数字 0，0，1，2，3 全部排成五位整数，能组成多少个不同的五位整数？

【解题思路】：
先求含重复元素的全排列总数，再减去首位为 0 的无效情况。核心方法是“重复元素排列 + 间接法”。

【详细解答】：
若不考虑首位不能为 0，则数字 0，0，1，2，3 的不同排列总数为
5! / 2! = 120 / 2 = 60。

其中，首位为 0 的排法无效。
固定首位为 0 后，剩下的 4 个数字是 0，1，2，3，它们互不相同，因此排列数为
4! = 24。

所以符合条件的五位整数共有
60 - 24 = 36（个）。

最终答案：36 个。

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二、奇偶数与整除限制问题

例 4

【题目难度】：基础

【题目描述】：
用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的三位偶数，有多少个？

【解题思路】：
偶数先看个位，先定末位。这是“优先排末位法”。

【详细解答】：
三位偶数的个位必须是偶数，因此个位只能是 2 或 4，共 2 种选法。
个位确定后，百位可以从剩下的 4 个数字中任选 1 个，共 4 种。
十位再从剩下的 3 个数字中任选 1 个，共 3 种。

所以符合条件的三位偶数共有
2 × 4 × 3 = 24（个）。

最终答案：24 个。

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例 5

【题目难度】：中档

【题目描述】：
用数字 0，1，2，3，4，5 组成没有重复数字的四位整数，其中能被 5 整除的有多少个？

【解题思路】：
能被 5 整除，末位只能是 0 或 5，因此按末位分类讨论。

【详细解答】：
一个整数能被 5 整除，当且仅当个位是 0 或 5。

情况 1：个位是 0
此时首位只能从 1，2，3，4，5 中选，共 5 种。
中间两位从剩下 4 个数字中按顺序选 2 个，共
4 × 3 = 12 种。
所以这一类共有
5 × 12 = 60（个）。

情况 2：个位是 5
此时首位不能是 0，也不能是 5，所以首位只能从 1，2，3，4 中选，共 4 种。
中间两位从剩下 4 个数字中按顺序选 2 个，共
4 × 3 = 12 种。
所以这一类共有
4 × 12 = 48（个）。

综上，符合条件的四位整数共有
60 + 48 = 108（个）。

最终答案：108 个。

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例 6

【题目难度】：拔高

【题目描述】：
从数字 0，1，2，3，4，5 中任选 3 个不同数字组成三位整数，其中能被 6 整除的有多少个？

【解题思路】：
能被 6 整除，需要同时满足“能被 2 整除”和“能被 3 整除”。
所以先分个位是哪个偶数，再利用“各位数字和能被 3 整除”的条件筛选。

【详细解答】：
一个三位整数能被 6 整除，当且仅当：

1. 个位是偶数，即个位只能是 0，2，4；
2. 三个数字之和能被 3 整除。

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情况 1：个位是 0
则前两位要从 1，2，3，4，5 中选，并且这两位数字之和应能被 3 整除。
符合条件的无序数对有：

• 1 和 2（和为 3）
• 1 和 5（和为 6）
• 2 和 4（和为 6）
• 4 和 5（和为 9）

共 4 对。
每一对都可以在百位和十位上交换顺序，所以每对有 2 种排法。
故这一类共有
4 × 2 = 8（个）。

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情况 2：个位是 2
则前两位要从 0，1，3，4，5 中选，并且前两位数字之和与 2 相加后能被 3 整除。
也就是前两位数字之和除以 3 余 1。

符合条件的无序数对有：

• 0 和 1
• 0 和 4
• 1 和 3
• 3 和 4

其中：

• 0 和 1：只能排成 102，不能排成 012，所以有 1 种；
• 0 和 4：只能排成 402，所以有 1 种；
• 1 和 3：有 132，312，共 2 种；
• 3 和 4：有 342，432，共 2 种。

所以这一类共有
1 + 1 + 2 + 2 = 6（个）。

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情况 3：个位是 4
则前两位要从 0，1，2，3，5 中选，并且前两位数字之和除以 3 余 2。

符合条件的无序数对有：

• 0 和 2
• 0 和 5
• 2 和 3
• 3 和 5

对应排法数分别为：

• 0 和 2：1 种；
• 0 和 5：1 种；
• 2 和 3：2 种；
• 3 和 5：2 种。

所以这一类共有
1 + 1 + 2 + 2 = 6（个）。

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综上，所求个数为
8 + 6 + 6 = 20。

最终答案：20 个。

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三、大小限制与字典序问题

例 7

【题目难度】：基础

【题目描述】：
从数字 0，1，2，3，4 中任选 4 个不同数字组成四位整数，其中大于 2300 的有多少个？

【解题思路】：
比较大小时，优先比较高位，所以按千位、百位分类讨论。

【详细解答】：
四位整数大于 2300，先看千位。

情况 1：千位是 3 或 4
只要千位是 3 或 4，这个四位数一定大于 2300。
千位有 2 种选法。
确定千位后，后面 3 位从剩下 4 个数字中按顺序选出 3 个，共有
4 × 3 × 2 = 24 种。

所以这一类共有
2 × 24 = 48（个）。

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情况 2：千位是 2
此时要大于 2300，就必须百位是 3 或 4。
若百位是 3，则后两位从剩下 3 个数字中按顺序选 2 个，有
3 × 2 = 6 种；
若百位是 4，同理也有 6 种。

所以这一类共有
6 + 6 = 12（个）。

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综上，所求个数为
48 + 12 = 60。

最终答案：60 个。

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例 8

【题目难度】：中档

【题目描述】：
用数字 1，2，3，4，5 组成的所有五位整数按从小到大的顺序排列，求数 34125 排在第几位。

【解题思路】：
这是典型的“字典序按块计数”问题。
先数出在它前面有多少个数，再加 1。

【详细解答】：
我们按位比较。

第一位比 3 小的数
第一位可以是 1 或 2，共 2 种。
每一种第一位固定后，后面 4 位可任意排列，共有
4! = 24 种。
所以这部分共有
2 × 24 = 48（个）。

第一位固定为 3，第二位比 4 小的数
此时可用数字为 1，2，4，5。
第二位比 4 小，只能是 1 或 2，共 2 种。
每种情况下，后面 3 位可任意排列，共有
3! = 6 种。
所以这部分共有
2 × 6 = 12（个）。

前两位固定为 34，第三位比 1 小的数
没有，因为剩余数字中没有比 1 更小的。

前三位固定为 341，第四位比 2 小的数
也没有。

所以排在 34125 前面的数共有
48 + 12 = 60（个）。

因此，34125 的排名为
60 + 1 = 61。

最终答案：第 61 位。

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例 9

【题目难度】：拔高

【题目描述】：
用数字 1，2，3，4，5 组成的所有五位整数按从小到大的顺序排列，求第 68 个数。

【解题思路】：
仍然用“按块计数法”，但这是反向定位：
先确定首位，再确定第二位、第三位，逐步缩小范围。

【详细解答】：
用 1，2，3，4，5 组成的五位整数共有
5! = 120 个。
固定第一位后，每一块有
4! = 24 个数。

因为
2 × 24 = 48，
3 × 24 = 72，
所以第 68 个数落在“第一位是 3”的这一块中。

于是第一位是 3。
在这一块中，它是第
68 - 48 = 20 个数。

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现在固定第一位为 3，剩余数字按从小到大是 1，2，4，5。
固定第二位后，每一小块有
3! = 6 个数。

因为
3 × 6 = 18，
4 × 6 = 24，
所以第 20 个数落在第 4 小块，即第二位是 5。

于是前两位是 35。
在“35”这一块中，它是第
20 - 18 = 2 个数。

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此时剩余数字是 1，2，4。
固定第三位后，每一块有
2! = 2 个数。

第 2 个数落在第一块，所以第三位是 1。
于是前三位是 351。

在“351”这一块中，它仍是第 2 个数。

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此时剩余数字是 2，4。
固定第四位后，每一块有
1! = 1 个数。

第 2 个数落在第二块，所以第四位是 4，第五位自然是 2。

所以第 68 个数是
35142。

最终答案：35142。

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四、特定位置 / 元素限制问题

例 10

【题目难度】：基础

【题目描述】：
用数字 1，2，3，4，5 组成五位整数，要求数字 3 必须排在百位上，问有多少个不同的五位整数？

【解题思路】：
先把受限制的位置固定，再排其他数字。这是“优先排特殊位置法”。

【详细解答】：
五位整数的百位固定放 3。
其余 4 个数字 1，2，4，5 排在剩下的 4 个位置上，共有
4! = 24 种排法。

所以满足条件的五位整数共有
24 个。

最终答案：24 个。

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例 11

【题目难度】：中档

【题目描述】：
用数字 1，2，3，4，5 组成五位整数，要求数字 1 和 2 必须相邻，问有多少个不同的五位整数？

【解题思路】：
把相邻的两个数字看成一个整体，用“捆绑法”。

【详细解答】：
把数字 1 和 2 视为一个整体。
但要注意，这个整体内部有两种顺序：12 或 21。

于是我们相当于排列下面 4 个对象：
“12（或 21）”、3、4、5。

这 4 个对象的排法共有
4! = 24 种。
又因为整体内部还有 2 种顺序，所以总数为
2 × 4! = 2 × 24 = 48。

最终答案：48 个。

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例 12

【题目难度】：拔高

【题目描述】：
用数字 1，2，3，4，5 组成五位整数，要求数字 1 在数字 2 的左边，且 1 与 2 不相邻，问有多少个不同的五位整数？

【解题思路】：
先排其余数字，再用“插空法”安排 1 和 2。由于要求“1 在 2 左边”，选定空位后放法唯一。

【详细解答】：
先排列 3，4，5，共有
3! = 6 种排法。

例如排成 3，4，5 时，可以形成 4 个空位：

_ 3 _ 4 _ 5 _

要使 1 和 2 不相邻，就必须把 1 和 2 放入两个不同的空位。
从 4 个空位中选 2 个，共有
C(4,2) = 6 种选法。

又因为要求“1 在 2 的左边”，所以一旦选定两个空位，左边的空位只能放 1，右边的空位只能放 2，放法只有 1 种。

因此总数为
3! × C(4,2) = 6 × 6 = 36。

最终答案：36 个。

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这个专题的核心方法小结

1. 首位限制问题
   先排首位，或用“总数 - 首位不合法”的间接法。

2. 偶数、5 的倍数问题
   先定个位，再排其余位置。

3. 被 3、9 整除问题
   重点看“各位数字和”的特征，常与分类讨论结合。

4. 大小比较问题
   先按高位分情况；高位一旦确定，后面往往直接排列。

5. 字典序问题
   本质是“按块计数”：
   固定首位是一大块，固定前两位是更小的一块。

6. 相邻 / 不相邻问题
   相邻用捆绑法；
   不相邻常用插空法；
   复杂限制也可以用总数减去不满足条件的个数。

这 12 道题已经覆盖了“排数字问题”的高频模型，拿来做一轮专题训练是比较完整的。下一步最适合做的是每类再配 2 道变式题，把“分类标准”练熟。