На оптической оси расположены собирающая тонкая ли...

Frage

На оптической оси расположены собирающая тонкая линза с фокусным расстоянием 24 см и плоское зеркало, перпендикулярное оптической оси системы. Источник нужно расположить на оптической оси между линзой и зеркалом. Источник образует два действительных изображения: на расстоянии 40 и 30 см от линзы. Одно изображение получено при прохождении света напрямую через линзу, другое – после отражения от зеркала и прохождения через линзу. Найдите расстояние от зеркала до источника.

Gedanke

Solving optics problem with lens and mirror setup

I’m working through an optics problem, involving a converging lens and a plane mirror. The lens has a focal length of 24 cm. The source is between the lens and the mirror, and I need to determine the object distance from the lens. I'll carefully apply the lens formula and sign conventions to analyze light paths. The direct path of light could lead to a real image formed on the left, opposite from the object position on the right.

Modeling light paths and image formation

So, the object distance is the distance from the lens to the source, which I'll call "x." The object is placed on the right side, with light traveling leftward. After passing through the lens, the image forms on the left, about 40 cm from the lens. I’ll model the light paths in more detail to account for reflections. The mirror causes light to reflect back, which then passes through the lens as if coming from a virtual object behind it.

Applying lens equation with real and reflected images

For the lens, the equation is 1/f = 1/x + 1/b, where b is the real image distance. Given f = 24, x must be greater than 24 for a real image. For reflected imaging, the rays form a virtual object behind the mirror. The object distance for this virtual image is x2 = x + 2d. Using that, I can calculate b2 for this case. We’re told the two real image distances are 40 cm and 30 cm, but they didn’t specify which corresponds to which type of image.

Solving for the object and mirror distances

I need to find d (distance from the mirror to the source) and x (distance from lens to source). The relationship between x2 and the mirror position is x2 = x + 2d. Using the lens formula, I calculate x and d using two cases of real image distances (40 cm and 30 cm). Case A gives x = 60 cm and d = 30 cm, making the lens-mirror distance 90 cm. In Case B, x = 120 cm, and I can check the consistency of the solution.

Thought for 37s

Antwort

Обозначим:

$f=24\text{ см}$ — фокус линзы
$a$ — расстояние от линзы до источника (источник справа от линзы, между линзой и зеркалом)
$d$ — расстояние от зеркала до источника (то, что нужно найти)
$b_1, b_2$ — расстояния от линзы до двух действительных изображений (они на другой стороне линзы)

1) Изображение при прямом прохождении через линзу

Для тонкой собирающей линзы:

\frac1f=\frac1a+\frac1{b}

Пробуем $b_1=40\text{ см}$ :

\frac1{24}=\frac1a+\frac1{40} \Rightarrow \frac1a=\frac1{24}-\frac1{40}=\frac{40-24}{960}=\frac1{60} \Rightarrow a=60\text{ см}

2) Изображение после отражения от зеркала и прохождения через линзу

Зеркало даёт мнимое изображение источника на таком же расстоянии за зеркалом, поэтому для линзы «эквивалентный объект» находится на расстоянии

a' = a + 2d

(источник до зеркала — $d$ , и ещё $d$ «за» зеркалом).

Для второго изображения $b_2=30\text{ см}$ :

\frac1{24}=\frac1{a'}+\frac1{30} \Rightarrow \frac1{a'}=\frac1{24}-\frac1{30}=\frac{30-24}{720}=\frac1{120} \Rightarrow a'=120\text{ см}

Тогда:

a+2d = 120 \Rightarrow 60 + 2d = 120 \Rightarrow 2d=60 \Rightarrow d=30\text{ см}

(Если поменять $30$ и $40$ местами, получится $d<0$ , что физически невозможно.)

Ответ: $30\text{ см}$ .