logoChat01.ai

В треугольнике ABC угол A равен 30∘, угол B равен ...

Erstellt am: 11. Januar 2026

Beantwortet mit GPT-5.2 Thinking von Chat01

Frage

В треугольнике ABC угол A равен 30∘, угол B равен 105∘. Медианы треугольника ABC пересекаются в точке M, высоты пересекаются в точке H. Длина медианы, проведённой из вершины B, равна 27/8. Найдите длину отрезка MH.

Gedanke

Solving for distance between centroid and orthocenter

I need to compute the distance between the centroid M and the orthocenter H in a triangle with known angles and median length. The Euler line has the centroid G on it, and G divides the segment from the circumcenter to the orthocenter in a 1:2 ratio. I’ll express MH using formulas involving the circumradius R and side lengths.

Analyzing centroid and orthocenter in an obtuse triangle

I’m working through the geometry of an obtuse triangle where H, O, and G are collinear. The ratio is important, with OG:GH = 1:2. Since this is an obtuse triangle (angle B = 105°), the orthocenter lies outside, but the Euler line still holds with G dividing OH. The vector relationship works out with H being 3 times G.

Relating sides, circumradius, and median

I'm expressing the sides of the triangle in terms of the circumradius R using the law of sines. From the angles known, I can find the sides: a = R, b = R * √2(√3+1)/2, and c = R√2. Then, I need to compute the median from B using the formula in terms of R, and I’ll simplify the expressions step-by-step.

Computing the distance MH

After breaking down calculations, I find that GH = (4/3) * m_b, where m_b is the median, and substituting the given value of m_b = 27/8 leads to GH = 9/2. Since M is the centroid, MH equals GH, so MH = 9/2, which is the desired result!

Thought for 1m 51s

Antwort

Обозначим стороны a=BC,  b=CA,  c=ABa=BC,\; b=CA,\; c=AB. Даны углы:

A=30∘,B=105∘,C=45∘.A=30^\circ,\quad B=105^\circ,\quad C=45^\circ.

1) Выразим стороны через радиус описанной окружности RR

По теореме синусов a=2Rsin⁡A,  b=2Rsin⁡B,  c=2Rsin⁡Ca=2R\sin A,\; b=2R\sin B,\; c=2R\sin C:

a=2Rsin⁡30∘=R,c=2Rsin⁡45∘=R2.a=2R\sin30^\circ=R,\qquad c=2R\sin45^\circ=R\sqrt2. sin⁡105∘=sin⁡(60∘+45∘)=6+24⇒b=2Rsin⁡105∘=R⋅2(3+1)2.\sin105^\circ=\sin(60^\circ+45^\circ)=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4} \Rightarrow b=2R\sin105^\circ=R\cdot\frac{\sqrt2(\sqrt3+1)}{2}.

Тогда

b2=R2⋅2(3+1)24=R2⋅(3+1)22=R2(2+3).b^2=R^2\cdot\frac{2(\sqrt3+1)^2}{4}=R^2\cdot\frac{(\sqrt3+1)^2}{2} =R^2(2+\sqrt3).

2) Медиана из BB

mb=122a2+2c2−b2.m_b=\frac12\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}.

Подставим:

2a2+2c2−b2=2R2+2⋅(2R2)−R2(2+3)=R2(4−3).2a^2+2c^2-b^2=2R^2+2\cdot(2R^2)-R^2(2+\sqrt3)=R^2(4-\sqrt3).

Значит,

mb=12 R4−3.m_b=\frac12\,R\sqrt{4-\sqrt3}.

3) Связь MHMH с mbm_b

Пусть OO — центр описанной окружности, MM — центр масс (центроид), HH — ортоцентр. Из векторного факта (при OO в начале координат) OH⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗ \vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}, а OM⃗=OA⃗+OB⃗+OC⃗3\vec{OM}=\frac{\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}}{3}, получаем

OH⃗=3OM⃗  ⇒  H,O,M коллинеарны и MH=2 OM.\vec{OH}=3\vec{OM}\;\Rightarrow\; H, O, M \text{ коллинеарны и } MH=2\,OM.

Из известной формулы

OM2=R2−a2+b2+c29.OM^2=R^2-\frac{a^2+b^2+c^2}{9}.

Считаем сумму квадратов:

a2+b2+c2=R2+R2(2+3)+2R2=R2(5+3).a^2+b^2+c^2=R^2+R^2(2+\sqrt3)+2R^2=R^2(5+\sqrt3).

Тогда

OM2=R2−R2(5+3)9=R2⋅4−39⇒OM=R34−3.OM^2=R^2-\frac{R^2(5+\sqrt3)}{9}=R^2\cdot\frac{4-\sqrt3}{9} \Rightarrow OM=\frac{R}{3}\sqrt{4-\sqrt3}.

Следовательно,

MH=2OM=2R34−3.MH=2OM=\frac{2R}{3}\sqrt{4-\sqrt3}.

Но mb=12R4−3\displaystyle m_b=\frac12 R\sqrt{4-\sqrt3}. Поэтому

MH=43 mb.MH=\frac{4}{3}\,m_b.

4) Подставляем mb=278m_b=\frac{27}{8}

MH=43⋅278=10824=92.MH=\frac{4}{3}\cdot\frac{27}{8}=\frac{108}{24}=\frac{9}{2}. MH=92\boxed{MH=\frac{9}{2}}

Diesen Q&A teilen