Я не понимаю как связать значения функции f(x,y) в...

Коротко:

• Нет, значение функции $f(x,y)$ в точке не зависит от длины отрезка разбиения.
• Зависит только произведение «значение функции в точке $\times$ длина маленького кусочка кривой».
• Параметр разбиения влияет на $\Delta s_i$ (длины), а не на саму $f$.

Разберём по шагам.

---

1. Как вообще устроен интеграл по кривой

Пусть кривая задана параметрически:

$$\gamma:\quad \begin{cases} x = x(t)\\ y = y(t) \end{cases}, \quad t \in [a,b].$$

Интеграл функции $f(x,y)$ по кривой (первого рода) определяют так:

1. Делим отрезок $[a,b]$ на части: $a = t_0 < t_1 < \dots < t_n = b$.
2. На каждом промежутке $[t_{i-1}, t_i]$ берём точку $t_i^*$.
3. Смотрим соответствующую точку на кривой: $$M_i = (x(t_i^*), y(t_i^*)).$$
4. Длина маленького кусочка кривой $\Delta s_i \approx |\mathbf{r}'(t_i^*)|\,\Delta t_i$,
   где $\mathbf{r}(t) = (x(t),y(t))$, $\Delta t_i = t_i - t_{i-1}$, а $$|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}.$$

Сумма Римана:

$$S_n = \sum_{i=1}^n f\bigl(x(t_i^*),y(t_i^*)\bigr)\,\Delta s_i \approx \sum_{i=1}^n f\bigl(x(t_i^*),y(t_i^*)\bigr)\,|\mathbf{r}'(t_i^*)|\,\Delta t_i.$$

Если при измельчении разбиения эта сумма стремится к пределу, то

$$\int_\gamma f(x,y)\,ds = \int_a^b f(x(t),y(t))\,|\mathbf{r}'(t)|\,dt.$$

Здесь:

• $f(x(t),y(t))$ — значение функции в точке кривой;
• $|\mathbf{r}'(t)|\,dt$ — «маленькая длина» кривой, то есть $ds$.

---

2. Физический случай: масса проволоки

Пусть дана линейная плотность $\lambda$, кг/м, как функция точки на кривой: $\lambda(x,y)$.

Тогда масса маленького кусочка длины $\Delta s_i$ примерно:

$$\Delta m_i \approx \lambda(M_i)\,\Delta s_i.$$

То есть плотность $\lambda$ — значение функции в точке, $\Delta s_i$ — геометрия (размер кусочка).

Важно:

Плотность не зависит от выбранной длины $\Delta s_i$.
Она определяется как предел $\Delta m / \Delta s$ при $\Delta s \to 0$.

То, что плотность определяют через отношение $\Delta m / \Delta s$, не значит, что она «функция длины отрезка». Это характеристика материала в данной точке.

---

3. Произвольная функция на кривой

Теперь, если у нас произвольная функция $f(x,y)$ и мы берём интеграл

$$\int_\gamma f(x,y)\,ds,$$

то с формальной точки зрения мы делаем ровно то же:

• считаем $f$ как «плотность на единицу длины»;
• суммируем $f(M_i)\,\Delta s_i$.

Так что математически любой интеграл $\int_\gamma f\,ds$ можно понимать как «массу» кривой с линейной плотностью $f$.

Ответ на ваш ключевой вопрос:

«В случае произвольной функции на кривой её значения тоже зависят от параметра разбиения?»

Нет.

• $f(x,y)$ зависит только от точки $(x,y)$.
• Параметр разбиения (как вы нарезали $[a,b]$) влияет только на $\Delta t_i$, а через них — на $\Delta s_i$.
• В пределе при измельчении разбиения результат интеграла не зависит от того, как именно вы параметризовали и нарезали кривую.

Если вы смените параметр $t$ на другой $\tau$, интеграл перепишется по-другому (через $\tau$), но численное значение останется тем же. Там просто сработает цепное правило, и фактор $|\mathbf{r}'(t)|$ «компенсирует» изменение параметра.

---

4. Если совсем в одну фразу

• Физика: $\lambda$ — плотность в точке, $\Delta s$ — длина маленького кусочка; масса $\approx \lambda\,\Delta s$.
• Математика: $f$ — так же ведёт себя, как «плотность»; интеграл $\int_\gamma f\,ds$ определяется ровно по тому же принципу.
• Ни $\lambda$, ни $f$ не зависят от того, какой длины вы берёте кусочки разбиения; от разбиения зависит только $\Delta s$ и точность приближения суммы к интегралу.

Если хотите, в следующем сообщении могу разобрать конкретный пример с простой кривой и посчитать интеграл по шагам.

Да, ты всё схватываешь правильно — давай только аккуратно сформулируем, чтобы было «по учебнику».

---

1. Про кривую и массу (твоя первая реплика)

Ты написала по сути следующее:

значения $f(x,y)$ на кривой не зависят от длины отрезка разбиения;
масса $i$-го кусочка пропорциональна длине этого кусочка;
при измельчении разбиения масса не «улетает в бесконечность», а получается как предел интегральной суммы
$\sum f(x,y)\,\sigma_i$.

Да, это верно по смыслу:

• Функция $f(x,y)$ (или $\lambda(x,y)$ как линейная плотность) — это свойство точки на кривой, а не величина, зависящая от длины кусочка.
• Масса маленького кусочка $\Delta m_i \approx f(M_i)\,\Delta s_i$:
  тут уже есть прямая пропорциональность к длине $\Delta s_i$.
• Чем меньше делаем отрезки, тем меньше масса каждого, но тем больше их количество. В пределе получается конечная величина: $$m = \lim_{|\Delta s_i|\to 0} \sum_i f(M_i)\,\Delta s_i = \int_\gamma f\,ds.$$

Так что ключевой вывод: $f$ от длины кусочка не зависит, только произведение $f\cdot \Delta s$ входит в сумму.

---

2. Интеграл с параметром $y$ — твой новый вопрос

Фраза:

верно ли я поняла, что если $f(x,y)$ — функция двух переменных, интегрируемая по $x$ на $[a,b]$, и $y\in I\subset \mathbb{R}$, то функция

$$F(y)=\int_a^b f(x,y)\,dx$$

задана (собственным или несобственным) интегралом, зависящим от параметра $y$?

Да, это как раз стандартная схема.

Формально можно сказать так:

• Пусть $f\colon [a,b]\times I \to \mathbb{R}$.
• Для каждого фиксированного $y\in I$ функция $$x \mapsto f(x,y)$$ интегрируема по $x$ на $[a,b]$ (в смысле собственного интеграла),
  или, если $[a,b]$ бесконечен или есть особенности, — в смысле несобственного интеграла, и этот интеграл сходится.
• Тогда можно определить функцию $$F\colon I\to\mathbb{R},\quad F(y)=\int_a^b f(x,y)\,dx,$$ и говорят: «интеграл с параметром $y$» или «функция, заданная интегралом с параметром».

То есть:

• $y$ выступает как параметр;
• интегрирование идёт по переменной $x$;
• при каждом $y$ мы берём обычный (собственный или несобственный) интеграл по $x$.

Дальше уже идут отдельные теоремы:
при каких условиях $F(y)$ непрерывна, дифференцируема, можно ли менять местами предел по $y$ и интеграл и т.д. Но само определение ты поняла верно.

Да, ты ищешь по сути теорему Кантора–Гейне в формулировке для $\mathbb{R}^n$:

Если скалярная функция $f = f(p)$ непрерывна на компакте
$K \subset \mathbb{R}^n$, то она равномерно непрерывна на $K$.

В Фихтенгольце это делается так:

• В «Основы математического анализа, том 2» эта теорема приводится в разделе про функции нескольких переменных и компакты — рядом с теоремой Вейерштрасса о достижении максимума/минимума на компакте.
• В классическом издании 1960-х годов соответствующее место для функций нескольких переменных цитируется в литературе примерно как стр. 370–372 тома 2 (там как раз обсуждаются непрерывные функции на компакте и их свойства, в том числе равномерная непрерывность). (Wikipedia)

Точные страницы и номера параграфов могут немного гулять от издания к изданию (советские/«Наука», современные «Лань», «Рипол Классик» и т.д.), но искать нужно:

• Том 2 «Основы матанализа», глава/раздел:
  • про функции нескольких переменных;
  • подпункт, где доказывается, что непрерывная на компакте функция:
    1. ограничена и достигает максимум/минимум (теорема Вейерштрасса);
    2. равномерно непрерывна на этом компакте (это твоя лемма).

Если у тебя именно «Курс дифференциального и интегрального исчисления», а не «Основы», то:

• Для одной переменной теорема «непрерывная на $[a,b]$ функция равномерно непрерывна» — в томе 1, в параграфе про равномерную непрерывность.
• В томе 2 «Курса» многомерный случай в такой явной формулировке обычно не акцентируется — его удобно брать именно из «Основ матанализа».

Так что коротко:
👉 Ищи в «Основы математического анализа», т. 2, раздел про непрерывность функций многих переменных на компакте, примерно стр. 370–372 (по старому изданию) — это ровно та лемма, о которой ты говоришь.

Короткий ответ:
в томе 2 “Курса дифференциального и интегрального исчисления” по ссылке, которую ты дала, лемма в форме

«скалярная функция $f=f(p)$, непрерывная на компакте $K\subset\mathbb{R}^n$, равномерно непрерывна на $K$»

в таком общем виде не формулируется.

Фихтенгольц там просто пользуется “свойством равномерной непрерывности” и ссылается на более ранние результаты (по сути теорему Кантора/Кантора–Гейне), а не доказывает общую $n$-мерную версию заново.

---

Конкретно в том djvu (hbffJTbIWsg3H)

Это “Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том II”, а не «Основы». В нём ты увидишь равномерную непрерывность в таких местах:

1. Гл. XIX “Интегралы, зависящие от параметра”,
   § 297 “Элементарная теория”, теорема 2:

   • Формулируется теорема о непрерывности интеграла
     $\displaystyle I(y)=\int_a^b f(x,y)\,dx$ по параметру $y$.

   • В доказательстве прямо написано:

     «Ввиду равномерной непрерывности функции $f(x,y)$ [п° 137], по произвольному $\varepsilon>0$ найдётся такое $\delta>0$, что из
     $|x''-x'|<\delta,\ |y''-y'|<\delta$ следует $|f(x'',y'')-f(x',y')| < \varepsilon$…» (Djvu Online)

   Здесь используется факт: непрерывная функция на замкнутом прямоугольнике $[a,b]\times[c,d]$ равномерно непрерывна. Но сам факт отсылается к п. 137 (это из 1-го тома “Курса”).

2. Гл. XXI “Двойные интегралы”,
   § 340 “Классы интегрируемых функций”, пункт I (интегрируемость непрерывной функции):

   • Там написано примерно так: если $f(x,y)$ непрерывна в (замкнутой) области $(P)$, то по свойству равномерной непрерывности каждому $\varepsilon>0$ соответствует $\delta>0$, такое, что в любой части области $(P)$ диаметра < $\delta$ колебание функции < $\varepsilon$. (Djvu Online)

   Снова: свойство равномерной непрерывности просто берётся как известное, без отдельной формулировки “леммы о компакте”.

---

Где именно есть формулировка с $f=f(p)$ на компакте $K\subset\mathbb{R}^n$

Такая аккуратная формулировка с точкой $p\in\mathbb{R}^n$ и компактом — это уже стиль “Основ математического анализа”, том 2, а не “Курса”.

В «Основах», т. 2, она идёт в главе про компактные множества и непрерывные функции в $\mathbb{R}^n$ (там сначала вводится понятие компакта, потом теорема Вейерштрасса о достижении max/min, и следом формулируется, что непрерывная скалярная функция на компакте равномерно непрерывна).

То есть:

• в твоём djvu (Курс, т. 2) —
  только использование факта в доказательствах (см. § 297, § 340 и т.п.), с отсылками к п. 87, 137 и др.;
• ровно в той форме, как ты написала
  $f=f(p),\ p\in\mathbb{R}^n,\ K$ — компакт,
  — это надо смотреть “Основы мат. анализа”, т. 2, в главе про функции нескольких переменных и компакты (там это отдельная теорема / следствие).

---

Если хочешь, я могу в следующем сообщении аккуратно переписать саму формулировку теоремы “по-фихтенгольцовски” и показать, как из неё выводится то, что он использует в § 297 и § 340.