Um recipiente contém dois líquidos homogêneos e im...

Um recipiente contém dois líquidos homogêneos e imiscíveis, A e B, com densidades respectivas ρA e ρB.
Uma esfera sólida, maciça e homogênea, de massa m = 5 kg, permanece em equilíbrio sob ação de uma mola de constante elástica k = 800 N/m, com metade de seu volume imerso em cada um dos líquidos, respectivamente, conforme a figura.
Sendo ρA = 4ρ e ρB = 6ρ, em que ρ é a densidade da esfera, pode-se afirmar que a deformação da mola é de:

a) 0 m
b) 9/16 m
c) 3/8 m
d) 1/4 m
e) 1/8 m

retire o latex, mas mantenha compreensível: A deformação da mola para que a esfera permaneça em equilíbrio é de d) 1/4 m.

Explicação Passo a Passo:

Olá! Para resolver este problema, precisamos aplicar os conceitos de equilíbrio de forças, empuxo e a lei de Hooke. O objetivo é encontrar a deformação "x" da mola quando a soma de todas as forças que atuam na esfera for nula.

Vamos analisar as forças envolvidas:

1. Força Peso (P): Atua sempre para baixo, devido à gravidade.
2. Força de Empuxo (E): É a força que os líquidos exercem sobre a esfera, atuando para cima. Como a esfera está submersa em dois líquidos, o empuxo total será a soma dos empuxos de cada líquido.
3. Força Elástica (Fₑ): A força exercida pela mola.

1. Calculando a Força Peso (P)

Usando a fórmula $P = m \cdot g$, onde $m = 5\,\text{kg}$ e $g \approx 10\,\text{m/s}^2$:

$$P = 5 \cdot 10 = 50\,\text{N}$$

2. Calculando a Força de Empuxo (E)

O empuxo depende do volume de líquido deslocado. Primeiro, vamos relacionar o volume (V) e a densidade ($\rho$) da esfera com sua massa (m):

$$m = \rho \cdot V \Rightarrow \rho V = 5$$

O empuxo total (E) é a soma do empuxo no líquido A ($E_A$) e no líquido B ($E_B$). Como metade do volume está em cada líquido, temos:

• Empuxo em A: $E_A = \rho_A \cdot \frac{V}{2} \cdot g = (4\rho) \cdot \frac{V}{2} \cdot g = 2\rho Vg$
• Empuxo em B: $E_B = \rho_B \cdot \frac{V}{2} \cdot g = (6\rho) \cdot \frac{V}{2} \cdot g = 3\rho Vg$

O empuxo total é:

$$E = E_A + E_B = 2\rho Vg + 3\rho Vg = 5\rho Vg$$

Como sabemos que $m = \rho V$, podemos substituir na equação:

$$E = 5 \cdot (m \cdot g) = 5 \cdot P$$ $$E = 5 \cdot 50\,\text{N} = 250\,\text{N}$$

3. Encontrando a Força Elástica (Fₑ) e a Deformação (x)

Para que a esfera fique em equilíbrio, a soma das forças verticais deve ser zero.

• Forças para cima: Empuxo (E = 250 N)
• Forças para baixo: Peso (P = 50 N)

Como a força para cima (250 N) é maior que a força para baixo (50 N), a mola deve exercer uma força para baixo para equilibrar o sistema. A força da mola será:

$$F_e = E - P = 250 - 50 = 200\,\text{N}$$

Agora, usamos a Lei de Hooke ($F_e = k \cdot x$) para encontrar a deformação:

$$200 = 800 \cdot x$$ $$x = \frac{200}{800} = \frac{1}{4}\,\text{m}$$

Portanto, a deformação da mola é de 1/4 m ou 0,25 m.