Найти скалярное произведение векторов, если их мод...

Frage

Найти скалярное произведение векторов, если их модули равны 24 и 68, а синус тупого угла между ними равен 15/17

Gedanke

Calculating dot product

The user has asked me to find the dot product of two vectors where their magnitudes are 24 and 68, and the sine of their obtuse angle is 15/17. To compute this, I’ll use the formula for the dot product: a·b = |a||b| cos(θ). Since the angle is obtuse, I'll need to find cos(θ) carefully using the Pythagorean identity. Given sin(θ) = 15/17, I'll calculate cos(θ) as negative, as cosine is negative for angles between 90° and 180°.

Thought for 8 seconds

Antwort

Скалярное произведение двух векторов $\mathbf a$ и $\mathbf b$ выражается через их модули и косинус угла между ними:

\mathbf a\!\cdot\!\mathbf b = |\mathbf a|\;|\mathbf b|\;\cos\theta .

Нам даны

|\mathbf a| = 24,\qquad |\mathbf b| = 68,\qquad \sin\theta=\tfrac{15}{17},

причём угол $\theta$ — тупой ( $90^{\circ}<\theta<180^{\circ}$ ).

1. Находим $\cos\theta$

\sin^2\theta+\cos^2\theta = 1 \;\Longrightarrow\; \cos\theta = \pm\sqrt{1-\sin^2\theta} = \pm\sqrt{1-\left(\frac{15}{17}\right)^2} = \pm\sqrt{\frac{64}{289}} = \pm\frac{8}{17}.

Поскольку угол тупой, $\cos\theta<0$ .
Следовательно,

\cos\theta = -\frac{8}{17}.

2. Вычисляем скалярное произведение

\mathbf a\!\cdot\!\mathbf b = 24 \times 68 \times \left(-\frac{8}{17}\right) = -\frac{24 \times 68 \times 8}{17} = -\frac{1632 \times 8}{17} = -\frac{13\,056}{17} = -768.

\boxed{-768}

Таким образом, скалярное произведение векторов равно $-768$ .