请对PINN网络优化得原理、梯度优化算法原理和拉格朗日迭代算法进行讲解说明

Question

Answer 1

下面分别从三个方面进行系统讲解：

一、PINN（Physics-Informed Neural Network）网络优化原理

核心思想
PINN 的目标是在神经网络中同时拟合观测数据和满足物理定律（PDE/ODE）。它通过构造复合损失函数，将物理约束以“残差”形式纳入网络训练，从而网络输出不仅能逼近数据，还能满足物理方程。
损失函数构成
$\mathcal{L}(\theta) \;=\; \underbrace{\frac{1}{N_d}\sum_{i=1}^{N_d}\bigl\|u_\theta(x_i)-u_i^\text{obs}\bigr\|^2}_{\displaystyle\mathcal{L}_\text{data}} \;+\; \underbrace{\frac{1}{N_r}\sum_{j=1}^{N_r}\bigl\|\mathcal{N}[u_\theta](x_j)\bigr\|^2}_{\displaystyle\mathcal{L}_\text{PDE}}$
- $u_\theta$ ：网络以参数 $\theta$ 给出的近似解
- $\mathcal{L}_\text{data}$ ：数据点 $\{x_i,u_i^\text{obs}\}$ 的监督损失
- $\mathcal{L}_\text{PDE}$ ：在残差点 $\{x_j\}$ 处 PDE 残差 $\mathcal{N}[u]=0$ 的 MSE
自动微分与残差计算
PINN 利用深度学习框架的自动微分（autograd）功能，直接对网络输出进行微分，得到偏导数 $\partial u_\theta/\partial x$ 、 $\partial^2 u_\theta/\partial x^2$ 等，从而评估 PDE 残差。
优化流程
- 随机采样数据点与残差点
- 计算总损失 $\mathcal{L}(\theta)$
- 使用梯度优化算法（见下节）更新 $\theta$
- 迭代直至损失收敛或满足精度要求

二、梯度优化算法原理

梯度优化算法通过利用损失函数关于参数的梯度信息，沿负梯度方向更新参数，以最小化损失。

梯度下降（GD）
$\theta_{k+1} = \theta_k - \eta\,\nabla_\theta \mathcal{L}(\theta_k)$
- $\eta$ ：学习率
- 计算全量数据上的梯度，收敛稳定但计算开销大
随机梯度下降（SGD）及变种
- Mini-batch SGD：每次仅用一小批样本估计梯度，效率更高
- Momentum 动量法：引入动量项加速收敛 $v_{k+1} = \beta v_k + (1-\beta)\,\nabla_\theta \mathcal{L},\quad \theta_{k+1} = \theta_k - \eta\,v_{k+1}$
- AdaGrad/RMSProp：根据历史梯度自适应调整学习率
- Adam（Adaptive Moment Estimation）：结合动量和二阶矩估计，是目前最常用的优化器之一 $\begin{aligned} m_{k+1}&=\beta_1 m_k + (1-\beta_1)\,\nabla_\theta\mathcal{L},\\ v_{k+1}&=\beta_2 v_k + (1-\beta_2)\,(\nabla_\theta\mathcal{L})^2,\\ \hat m_{k+1}&=m_{k+1}/(1-\beta_1^{k+1}),\quad \hat v_{k+1}=v_{k+1}/(1-\beta_2^{k+1}),\\ \theta_{k+1}&=\theta_k - \eta\,\frac{\hat m_{k+1}}{\sqrt{\hat v_{k+1}}+\epsilon}. \end{aligned}$
二阶方法
- 牛顿法：利用 Hessian 矩阵 $H=\nabla^2\mathcal{L}$ ，更新为 $\theta_{k+1}=\theta_k - H^{-1}\nabla\mathcal{L}$ 。收敛快，但 Hessian 计算与存储代价高。
- L-BFGS：拟牛顿法，使用历史梯度近似 Hessian 的逆，适合中小规模问题。

三、拉格朗日迭代算法（Augmented Lagrangian 与乘子法）

用于求解带等式或不等式约束的优化问题：

\min_{x}\;f(x) \quad\text{s.t.}\quad c(x)=0.

经典拉格朗日函数
$\mathcal{L}(x,\lambda) = f(x) + \lambda^\top c(x),$
在 KKT 条件下，对 $x$ 与乘子 $\lambda$ 同时求驻点。
乘子法（Method of Multipliers）
为提高数值稳定性，引入罚函数，构造增广拉格朗日函数：
$\mathcal{L}_\rho(x,\lambda) = f(x) + \lambda^\top c(x) + \frac{\rho}{2}\|c(x)\|^2,$
其中 $\rho>0$ 为惩罚参数。
迭代步骤
对 $k=0,1,2,\dots$ ：
```
text
x^{k+1} &larr; argmin_x  L_ρ(x, λ^k)
λ^{k+1} &larr; λ^k + ρ c(x^{k+1})
```
- 第一步：在固定乘子 λ^k 时，求解无约束子问题
- 第二步：更新拉格朗日乘子，相当于对约束残差进行累积校正
算法特点
- 结合了罚函数法和乘子法的优点，收敛时既满足可行性 $c(x)=0$ ，也满足最优性
- 对惩罚参数 $\rho$ 不太敏感，且一般无需趋近于无穷
- 每步子问题可用常规梯度或二阶优化器（如 L-BFGS）求解

小结

PINN 优化：通过在神经网络训练中同时最小化数据损失与物理残差，实现对 PDE/ODE 的“物理感知”求解。
梯度优化算法：从最基础的 GD/SGD，到动量、Adam，再到拟牛顿的 L-BFGS，不同方法在收敛速度、稳定性和计算开销上各有取舍。
拉格朗日迭代算法：面向约束优化，增广拉格朗日方法通过交替求解子问题与乘子更新，有效兼顾了可行性与最优性。

以上内容可为您掌握 PINN 网络的训练机制、常用优化器的原理及约束优化框架下的迭代策略提供全面指导。若需进一步深入某一部分（如代码示例或收敛分析），欢迎继续交流！

Answer 2

下面给出一段 MATLAB 示例脚本，演示如何把两组损失曲线画在两个子图里，并强制它们使用完全相同的坐标轴范围、刻度和标签风格。你只要把自己原来的 steps1, LF1, LObj1 和 steps2, L1, L2, L3… 换进去即可。

matlab
% 假设你已经有两组数据：
% steps1, LF1, LObj1   — 第一个图的数据
% steps2, L_a, L_b, L_c … — 第二个图的数据

% 先计算一下所有 step 的最大值，用于统一 xlim
all_steps = [steps1; steps2];
xmax = max(all_steps);

% 设定一个 y 轴上下限（根据两幅图的实际 loss 值来调整）
ymin = 1e-6;
ymax = 1e1;

% 统一的刻度
x_ticks = 0 : 2e4 : xmax;     % 每隔 2&times;10^4 一个刻度
y_ticks = [1e-6,1e-5,1e-4,1e-3,1e-2,1e-1,1e0,1e1];

% 开新 figure
figure('Color','w','Position',[100 100 600 800]);

% 用 tiledlayout 把两个图排成上下两行
tiledlayout(2,1,'TileSpacing','Compact','Padding','Compact');

%% —— 第一个子图 —— 
nexttile;
semilogy(steps1, LF1,   '-','Color',[.85 0 0],'LineWidth',1.5); hold on;
semilogy(steps1, LObj1,'-','Color',[0 0 0],  'LineWidth',1.5);
hold off;

% 统一格式
xlim([0 xmax]);
ylim([ymin ymax]);
set(gca, ...
    'XScale','linear', ...
    'YScale','log', ...
    'XTick', x_ticks, ...
    'YTick', y_ticks, ...
    'FontName','Helvetica', ...
    'FontSize',12, ...
    'Box','on', ...
    'GridAlpha',0.2, ...
    'GridLineStyle','-');
grid on;

xlabel('step','FontSize',14);
ylabel('loss','FontSize',14);
title('Ring Structure Loss','FontSize',16,'FontWeight','normal');
legend({'$L_F$','$L_\mathrm{Obj}$'}, ...
       'Interpreter','latex','Location','northeast','FontSize',12);

%% —— 第二个子图 —— 
nexttile;
% 这里假设第二张图你有三条曲线，自己替换为实际变量
semilogy(steps2, L_a, '-','Color',[0 .6 0],'LineWidth',1.5); hold on;
semilogy(steps2, L_b, '-','Color',[0 0 .7],'LineWidth',1.5);
semilogy(steps2, L_c, '-','Color',[.7 .3 0],'LineWidth',1.5);
hold off;

% 同样的坐标轴设置
xlim([0 xmax]);
ylim([ymin ymax]);
set(gca, ...
    'XScale','linear', ...
    'YScale','log', ...
    'XTick', x_ticks, ...
    'YTick', y_ticks, ...
    'FontName','Helvetica', ...
    'FontSize',12, ...
    'Box','on', ...
    'GridAlpha',0.2, ...
    'GridLineStyle','-');
grid on;

xlabel('step','FontSize',14);
ylabel('loss','FontSize',14);
title('Your Second Loss Title','FontSize',16,'FontWeight','normal');
legend({'曲线A','曲线B','曲线C'}, ...
       'Location','northeast','FontSize',12);

% 整体美化
sgtitle('统一坐标与标签示例','FontSize',18,'FontWeight','bold');

解释要点：

tiledlayout + nexttile：把两个子图排成一列，且去掉多余空白。
统一的 xlim/ylim/刻度：强制所有子图都在 [0, xmax]、[ymin, ymax] 范围内，并且使用相同的 XTick/YTick。
log 纵轴：用 semilogy 或者 set(gca,'YScale','log')。
字体和网格：设置 FontName、FontSize 保证一致，打开网格并调低透明度让图不杂乱。
LaTeX 公式：如果需要，可以在 legend、xlabel 等中用 'Interpreter','latex'。

把上面脚本里所有变量名（例如 steps1, LF1, LObj1, steps2, L_a, L_b, L_c）换成你真实的数据即可，一键绘制出两幅格式完全一致的对比图。

Answer 3

要在论文里插入既美观又清晰的 MATLAB 作图，关键在于：

使用矢量格式保存

PDF/EPS/SVG 都是矢量图，可以无损缩放。

MATLAB R2020a 及以后可以直接用 exportgraphics 导出矢量图：

matlab
fig = gcf;
% 设置页面大小（单位：厘米）与图像大小保持一致
fig.PaperUnits = 'centimeters';
fig.PaperPosition = [0 0 8 6];  % 8cm &times; 6cm
exportgraphics(fig, 'myfigure.pdf', 'ContentType','vector');

旧版 MATLAB 或想要 EPS：
```
matlab
print(gcf, 'myfigure.eps', '-depsc2', '-r300');
```
这里 -depsc2 产生彩色 EPS，-r300 设置栅格元素（如图像、色块）300 dpi，矢量部分不受 dpi 限制。

配置清晰可读的字体与线宽
在作图前就设好论文模板常用的字号（比如 8 pt 或 10 pt）和线宽（1.0–1.5 pt）：

matlab
set(gca, ...
    'FontName','Times New Roman', ...
    'FontSize',10, ...
    'LineWidth',1);
% 如果有多条曲线，也可以统一线宽
plot(x, y, 'LineWidth',1.2);

控制图像物理尺寸
论文一栏（single‐column）宽度一般 8 cm 左右，两栏（double‐column）约 16 cm。

matlab
fig = gcf;
fig.PaperUnits = 'centimeters';
fig.PaperPosition = [0 0 8 6];  % single‐column: 8&times;6 cm

去除多余留白
导出前用 tight 选项或手动裁剪坐标轴边距：
```
matlab
set(gca, 'LooseInset', max(get(gca,'TightInset'), 0.02));
```
或直接用 exportgraphics(...,'BackgroundColor','none','ContentType','vector')，在 PDF 编辑器（如 Adobe Illustrator、Inkscape）里进一步裁剪。
高级工具：export_fig
export_fig 是社区常用的第三方导出脚本，能更好地保留透明度、抗锯齿等：
```
matlab
export_fig myfigure -pdf -painters -transparent -r300
```
LaTeX 进一步排版
如果你的图里有大量数学标注，可以用 matlab2tikz 导出成 TikZ 代码，直接在 LaTeX 文档里编译，字体与主文档完美一致：
```
matlab
matlab2tikz('myfigure.tex','width','\figurewidth','height','\figureheight');
```
然后在 LaTeX 中：
```
latex
\begin{figure}
  \centering
  \input{myfigure.tex}
  \caption{…}
\end{figure}
```

示例完整流程：

matlab
% 1）绘图
figure('Color','w');
plot(x, y, 'LineWidth',1.2);
grid on;
xlabel('Time (s)', 'FontSize',10);
ylabel('Amplitude', 'FontSize',10);
set(gca, 'FontName','Times New Roman', 'FontSize',10, 'LineWidth',1);

% 2）设置物理尺寸
fig = gcf;
fig.PaperUnits = 'centimeters';
fig.PaperPosition = [0 0 8 6];  % 8&times;6 cm

% 3）裁剪多余空白
set(gca, 'LooseInset', max(get(gca,'TightInset'), 0.02));

% 4）导出矢量 PDF
exportgraphics(fig, 'myfigure.pdf', 'ContentType','vector');

这样生成的 myfigure.pdf 直接插入到 LaTeX、Word 或其他排版工具里，都能保持线条、文字的锐利和一致的风格。

Answer 4

下面是一份 MATLAB 示例脚本，演示如何把你那幅两列竖排损失曲线图调整为1×2 横排子图，并导出单栏论文（约 8.6 cm 宽）可直接插入的矢量 PDF，且图中中文不会乱码。

matlab
%% —— 1. 全局默认设置 —— 
% 中文字体：这里用“Microsoft YaHei”，也可以改成“SimHei”
set(groot, ...
    'defaultFigureColor','w', ...
    'defaultAxesFontName','Microsoft YaHei', ...
    'defaultTextFontName','Microsoft YaHei', ...
    'defaultAxesFontSize',8, ...
    'defaultTextFontSize',8, ...
    'defaultLineLineWidth',1);

%% —— 2. 创建 Figure 和布局 —— 
% 单栏论文宽度约 8.6cm，高度可设 4cm 左右
fig = figure('Units','centimeters', ...
             'Position',[0,0,8.6,4]);

% 1 行 2 列，紧凑排版
t = tiledlayout(1,2, ...
       'TileSpacing','Compact', ...
       'Padding','Compact');

%% —— 3. 左侧子图 —— 连续介质分布训练损失 —— 
ax1 = nexttile;
% 换成你的数据变量
semilogy(steps1, LF1,   'r-'); hold on;
semilogy(steps1, LObj1,'k-'); hold off;

% 坐标轴、网格
xlim([0,1.6e5]);
ylim([1e-6,1e1]);
set(ax1, ...
    'XScale','linear', ...
    'YScale','log', ...
    'XTick',0:2e4:1.6e5, ...
    'YTick',10.^(-6:1:1), ...
    'Box','on', ...
    'GridLineStyle','--', ...
    'GridAlpha',0.3);

% 中文标签
xlabel('训练步数');
ylabel('损失');
title('连续介质分布训练损失');

% 图例（用 LaTeX 保持 $L_F$ 上下标格式）
legend({'$L_F$','$L_{\rm Obj}$'}, ...
       'Interpreter','latex', ...
       'Location','northeast', ...
       'Box','off');

%% —— 4. 右侧子图 —— 二值化介质结构训练损失 —— 
ax2 = nexttile;
% 换成你的数据变量
semilogy(steps2, LF2,   'g-'); hold on;
semilogy(steps2, LObj2,'b-'); hold off;

% 同样的轴范围和网格
xlim([0,1.6e5]);
ylim([1e-6,1e1]);
set(ax2, ...
    'XScale','linear', ...
    'YScale','log', ...
    'XTick',0:2e4:1.6e5, ...
    'YTick',10.^(-6:1:1), ...
    'Box','on', ...
    'GridLineStyle','--', ...
    'GridAlpha',0.3);

xlabel('训练步数');
ylabel('损失');
title('二值化介质结构训练损失');

legend({'$L_F$','$L_{\rm Obj}$'}, ...
       'Interpreter','latex', ...
       'Location','northeast', ...
       'Box','off');

%% —— 5. 导出矢量 PDF —— 
% exportgraphics 从 R2020a 开始支持，能自动嵌入字体
exportgraphics(fig, 'loss_compare.pdf', ...
               'ContentType','vector', ...
               'BackgroundColor','none');

% — 或者用传统 print（确保使用 painters 渲染器） —
% print(fig, 'loss_compare.pdf', '-dpdf', '-painters', '-r300');

关键点说明

物理尺寸
用 Units='centimeters' + Position=[0,0,8.6,4]，保证整图宽 8.6 cm（单栏宽度），高 4 cm。
中文字体
全局设置 defaultAxesFontName 和 defaultTextFontName 为“Microsoft YaHei”或“SimHei”，可确保 PDF 中嵌入中文。
矢量输出
exportgraphics(...,'ContentType','vector') 或 print -dpdf -painters，线条、文字都保持矢量，无论放大还是缩小都清晰。
子图排版
tiledlayout(1,2,'Compact') 消除了子图间的多余空白，让两个面板紧凑排列，更符合论文排版要求。
网格与刻度
统一 xlim/ylim、XTick/YTick，并用细虚线网格 (GridLineStyle='--') 增强可读性。

运行这段脚本后，你会在当前工作目录得到一个 loss_compare.pdf，直接插入到 LaTeX/Word 中即可，中文、曲线与刻度都不会出现乱码或锯齿。

Answer 5

下面给出一段 MATLAB 脚本，将你的两列竖排损失图调整为 1×2 横排 子图，并导出宽度约 17.2 cm（双栏论文全宽）、高度 4 cm 的矢量 PDF。脚本中已经统一设置了中文字体，保证导出后中文不乱码。

matlab
%% —— 1. 全局默认设置 —— 
% 设置白底、中文字体（可改成 'SimHei'）、统一字号、线宽
set(groot, ...
    'defaultFigureColor','w', ...
    'defaultAxesFontName','Microsoft YaHei', ...
    'defaultTextFontName','Microsoft YaHei', ...
    'defaultAxesFontSize',8, ...
    'defaultTextFontSize',8, ...
    'defaultLineLineWidth',1);

%% —— 2. 创建 Figure 和布局 —— 
% 双栏全宽约 17.2cm，高度可设 ~4cm
fig = figure('Units','centimeters', ...
             'Position',[0, 0, 17.2, 4]);

t = tiledlayout(1,2, ...
       'TileSpacing','Compact', ...
       'Padding','Compact');

%% —— 3. 左子图 —— 连续介质分布训练损失 —— 
ax1 = nexttile;
semilogy(steps1, LF1,   'r-'); hold on;
semilogy(steps1, LObj1,'k-'); hold off;

xlim([0,1.6e5]);
ylim([1e-6,1e1]);
set(ax1, ...
    'XScale','linear', ...
    'YScale','log', ...
    'XTick',0:2e4:1.6e5, ...
    'YTick',10.^(-6:1:1), ...
    'Box','on', ...
    'GridLineStyle','--', ...
    'GridAlpha',0.3);

xlabel('训练步数');
ylabel('损失');
title('连续介质分布训练损失');

legend({'$L_F$','$L_{\rm Obj}$'}, ...
       'Interpreter','latex', ...
       'Location','northeast', ...
       'Box','off');

%% —— 4. 右子图 —— 二值化介质结构训练损失 —— 
ax2 = nexttile;
semilogy(steps2, LF2,   'g-'); hold on;
semilogy(steps2, LObj2,'b-'); hold off;

xlim([0,1.6e5]);
ylim([1e-6,1e1]);
set(ax2, ...
    'XScale','linear', ...
    'YScale','log', ...
    'XTick',0:2e4:1.6e5, ...
    'YTick',10.^(-6:1:1), ...
    'Box','on', ...
    'GridLineStyle','--', ...
    'GridAlpha',0.3);

xlabel('训练步数');
ylabel('损失');
title('二值化介质结构训练损失');

legend({'$L_F$','$L_{\rm Obj}$'}, ...
       'Interpreter','latex', ...
       'Location','northeast', ...
       'Box','off');

%% —— 5. 导出矢量 PDF —— 
% R2020a+ 推荐 exportgraphics；也可用 print(...,'-painters')
exportgraphics(fig, 'loss_compare_fullwidth.pdf', ...
               'ContentType','vector', ...
               'BackgroundColor','none');

说明：

尺寸 – Position=[0,0,17.2,4] 把图宽固定为 17.2 cm（双栏全宽），高 4 cm。
中文 – 全局 defaultAxesFontName/defaultTextFontName 设置为 “Microsoft YaHei”，可保证 PDF 嵌入正确字形，无乱码。
矢量输出 – exportgraphics(...,'vector') 或者
```
matlab
print(fig,'loss_compare_fullwidth.pdf','-dpdf','-painters','-r300');
```
均可生成可缩放、无锯齿的矢量图。
排版紧凑 – tiledlayout(...,'Compact') 消除子图间多余间距，更适合论文版面。

执行后得到的 loss_compare_fullwidth.pdf，直接插入双栏 LaTeX/Word 即可，保证线条、文字与中文都清晰美观。

Answer 6

好的！请将第三章的具体内容或主要段落发给我，或概述其中的关键点，这样我就能基于这些信息为您撰写大约1000字的本章小结。

Answer 7

第三章小结

本章以“基于物理授息神经网络（PINN）的高增益介质超表面加载天线设计”为核心，系统阐述了在电磁透射器件研究中，如何利用PINN技术实现高增益天线的逆向设计与优化。章节内容围绕以下三个方面展开：一是高增益天线设计的背景与原理；二是基于PINN的超表面逆设计方法；三是对称式与离轴式两类高增益天线罩的设计与仿真验证。

首先，本章从高增益天线在毫米波通信、远距离低功耗传输等复杂电磁环境中的关键作用出发，剖析了传统高增益天线设计所面临的瓶颈：结构体积大、加工复杂、多物理场耦合优化难度高等问题。针对现有反射面天线、阵列天线和透镜天线在波束扫描灵活性、多频段兼容性及环境敏感性方面的不足，提出通过在天线传播路径上加载可逆设计的介质超表面，以控制电磁波传播行为来提升远场方向图扁平度，从而达到增益增强的目的。

在设计方法上，本章创新性地将物理授息神经网络引入天线罩逆设计。PINN通过在损失函数中嵌入麦克斯韦方程与边界条件，使神经网络在少量数据支撑下便能准确刻画电磁场传播特性，并规避了纯数据驱动模型的“黑箱”缺陷与高计算成本。具体而言，首先选用谐振频率30 GHz 的漏波边射天线作为辐射源，该馈源兼具低剖面、高效率、较小副瓣等优点；其次针对平面波TM极化下的二维电磁传输问题，构建包含完美匹配层与设计域的2D模型，运用Sobol采样对设计域进行均匀离散；然后通过PINN优化，获得设计域内的相对介电常数分布，并将二维超表面沿垂直方向拉伸生成三维天线罩结构。

为验证方法的普适性与工程可行性，本章以对称式与离轴式两种天线罩为例开展案例研究。在对称式方案中，聚焦位置位于设计域对称轴，最终获得相对介电常数2.8 的超表面结构，并在全波仿真中实现21.58 dBi的增益，较仅天线情况提高约2.44 dBi；在离轴式方案中，聚焦点相对对称轴偏移1 cm，同样得到目标介电常数2.8 的超表面，仿真增益达到21.01 dBi，上升1.87 dBi。对比三种结构的辐射场分布可知，加载超表面后，主瓣方向的电磁波前趋于平坦、幅值衰减显著减小，从物理互易原理层面与高增益天线的理论特性高度吻合。

本章研究工作具有以下核心贡献与创新点：

设计思路
利用电磁互易原理，将远场平面波接收与聚焦过程反向映射为天线罩介质分布优化，从传播路径入手实现增益控制；相较于重构天线本体结构，此方法可在原有天线上直接加载罩体，成本低、适应性强。
PINN 逆设计
将电磁波动方程与边界条件融入深度网络训练，通过PINN在二维截面内高效求解介质优化问题，并通过三维拉伸获得可制造结构，极大降低了传统全波优化的计算量。
案例验证
通过对称式与离轴式天线罩的设计与全波仿真，展现了1 cm聚焦域变化对增益提升的灵活响应，以及在不同辐射源位置下保持良好旁瓣水平与工作频段稳定性的能力。
工程适应性
所提方法支持辐射源位置动态调整，设计域形状与聚焦点数量可灵活设定，具备在多频点、多聚焦点需求下的扩展潜力，为未来在天线阵列、波束成形网络和其它电磁系统中推广应用奠定基础。

综上，本章提出的基于PINN的高增益介质超表面加载天线设计方法，突破了传统高增益天线在体积、带宽和制造难度等方面的局限，实现了在低计算成本下的高效逆向优化。通过系统的理论分析、数值优化与全波仿真验证，证明了所提方案在毫米波天线设计领域的实用价值和推广前景。下一步，将进一步探索多频段、多聚焦点及宽带宽容性设计，以满足未来高性能电磁透射器件的复杂需求。

Answer 8

在神经网络的训练过程中，梯度优化算法（Gradient‐Based Optimization）扮演着核心角色：它们通过迭代地沿着损失函数在参数空间的负梯度方向更新网络参数，从而使模型的预测误差不断减小。下文将系统介绍主流的梯度优化算法及其变体。

1. 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）

基本思想
对整个训练集上的损失函数 $L(\theta)$ 计算一次精确梯度

\nabla_\theta L(\theta)

再按

\theta \leftarrow \theta - \eta\,\nabla_\theta L(\theta)

进行更新，其中 $\eta$ 为学习率（step size）。

优缺点

优点：收敛稳定，计算出的梯度方向精确；
缺点：每次迭代都要扫描全量数据，开销大，且对大规模数据不友好。

2. 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）

核心思想
每次仅用一个样本 $(x_i,y_i)$ 估计梯度：

\theta \leftarrow \theta - \eta\,\nabla_\theta \ell(\theta; x_i,y_i)

其中 $\ell$ 为单样本损失。这样更新频繁、迭代速度快，但梯度噪声大。

3. 小批量随机梯度下降（Mini‐Batch SGD）

折衷做法：每次从训练集中随机抽取一个小批量（batch size $m$ ，如 32、64）样本，计算平均梯度：

g_t = \frac{1}{m}\sum_{i=1}^m\nabla_\theta \ell(\theta; x_i,y_i),\quad \theta\leftarrow\theta-\eta\,g_t.

小批量既能兼顾计算效率，也能利用现代硬件（GPU）并行加速。

4. 动量法（Momentum）与 Nesterov 加速梯度（NAG）

4.1 经典动量（Heavy‐Ball）

引入“速度”向量 $v$ ，累积之前的梯度：

v_{t+1} = \beta\,v_t + (1-\beta)\,\nabla_\theta L(\theta_t),\quad \theta_{t+1} = \theta_t - \eta\,v_{t+1},

其中 $\beta\in[0,1)$ 为动量系数（常取 0.9）。动量法能在鞍点或狭窄谷底中加速收敛，减少震荡。

4.2 Nesterov 加速梯度

先“预冲”一步，再计算梯度：

v_{t+1} = \beta\,v_t + \eta\,\nabla_\theta L(\theta_t - \beta\,v_t),\quad \theta_{t+1} = \theta_t - v_{t+1}.

这种“看未来”的做法对抑制过冲、加速收敛更有效。

5. 自适应学习率方法

为了克服不同参数、不同维度梯度差异过大，自适应方法动态调整每个参数的学习率。

5.1 AdaGrad

对每个参数累积平方梯度：

r_{t} = r_{t-1} + [\nabla_\theta L(\theta_t)]^2,\quad \theta_{t+1} = \theta_t - \frac{\eta}{\sqrt{r_t} + \epsilon}\,\nabla_\theta L(\theta_t).

对频繁更新的参数自动缩小步长，适合稀疏特征；缺点是 $r_t$ 单调增大，会使学习率过早趋近于 0。

5.2 RMSProp

对梯度平方做指数加权平均，避免 AdaGrad 过度衰减：

r_t = \rho\,r_{t-1} + (1-\rho)\,[\nabla_\theta L(\theta_t)]^2,\\ \theta_{t+1} = \theta_t - \frac{\eta}{\sqrt{r_t}+\epsilon}\,\nabla_\theta L(\theta_t).

典型取 $\rho=0.9$ 。

5.3 Adam（Adaptive Moment Estimation）

结合动量和 RMSProp 思想，对一阶矩和二阶矩同时做指数加权：

\begin{aligned} m_t &= \beta_1\,m_{t-1} + (1-\beta_1)\,\nabla_\theta L(\theta_t),\\ v_t &= \beta_2\,v_{t-1} + (1-\beta_2)\,[\nabla_\theta L(\theta_t)]^2,\\ \hat m_t &= \frac{m_t}{1-\beta_1^t},\quad \hat v_t = \frac{v_t}{1-\beta_2^t},\\ \theta_{t+1} &= \theta_t - \eta\;\frac{\hat m_t}{\sqrt{\hat v_t} + \epsilon}. \end{aligned}

默认 $\beta_1=0.9,\beta_2=0.999,\epsilon=10^{-8}$ 。Adam 在大多数任务上表现优异，收敛速度快，且调参简单。

6. 其他变种与改进

AdamW：在 Adam 基础上增加权重衰减（weight decay）正则化项，更好地防止过拟合；
Nadam：将 Nesterov 加速思想融入 Adam；
AMSGrad：对 $v_t$ 做下界处理，保证二阶矩不减小，改进 Adam 的理论收敛性；
L-BFGS：一种拟牛顿法，利用历史梯度和参数差分近似 Hessian 矩阵，适合中小规模问题，可在 PyTorch/TensorFlow 中作为替代优化器使用。

7. 学习率调度与冷启动

固定步长衰减：训练若干 epoch 后，将 $\eta$ 按比例衰减；
余弦退火（Cosine Annealing）：使学习率在训练中周期性地从大到小；
Warmup + 线性衰减：先以小步长“预热”几百步，再逐步升高至目标 $\eta$ ，然后逐渐衰减；
循环学习率（Cyclical LR）：使 $\eta$ 在上下限间周期性振荡，有助于跳出局部最优。

8. 算法选取与实践建议

小模型／中小数据集：可优先选择 L-BFGS 获得精确解；
大规模深度网络：Adam/AdamW+Warmup+余弦退火为默认组合；
稀疏特征或 NLP 任务：AdaGrad 与 RMSProp 有时更稳健；
注意梯度剪裁（Gradient Clipping）：防止 RNN、Transformer 等模型中出现梯度爆炸；
超参数搜索：学习率 $\eta$ 对训练收敛影响最大，建议先寻找最优 $\eta$ ，再调动量系数、二阶矩衰减率等。

通过上述梯度优化算法及其变体，神经网络训练可以在收敛速度、稳健性和泛化能力上取得良好平衡。实际应用中，应根据模型规模、数据特点以及硬件环境，合理选择并组合上述优化策略，不断调整学习率调度与正则化手段，才能在深度学习任务中获得最优性能。

Answer 9

以下是在二维平面聚焦逆设计问题中，基于物理授息神经网络（PINN）的原理分析与通用优化流程。你可以据此对第二章的方法论框架进行梳理。

一、物理授息神经网络（PINN）原理分析

联合场解与介质分布的网络参数化
- 场网络：用神经网络 $u_\theta(x,y)$ 近似待求电磁场（如 TM 模式下的 $H_z$ 或 $E_z$ ）。
- 介质网络：用另一个神经网络 $\varepsilon_{\phi}(x,y)$ 或者直接将介电常数场 $\varepsilon(x,y)$ 作为待优化的“可训练参数”映射到每个空间点。
  两者共享同一组空间坐标输入 $(x,y)$ ，对应输出场值与局部介电常数。
PDE 残差 “授息”
- Maxwell 方程（或标量波动方程）在设计域内必须满足： $\mathcal{R}(x,y) \;=\;\nabla\cdot\!\Bigl(\tfrac{1}{\varepsilon_{\phi}}\nabla u_\theta\Bigr) + \omega^2\mu_0\,u_\theta \;=\; 0.$
- 利用自动微分，对 $u_\theta$ 和 $\varepsilon_{\phi}$ 同时求一阶、二阶导数，直接计算残差 $\mathcal{R}$ ；将残差平方纳入损失，实现对 Maxwell 方程的“物理授息”。
边界条件与散射条件
- 在设计域边界加上吸收边界（如 PML／完美匹配层）或散射条件（Sommerfeld 条件），同样通过 PINN 强制满足： $\mathcal{B}(u_\theta,\varepsilon_{\phi}) = 0.$
- 将边界残差纳入损失，保证场解物理一致性。
目标场匹配损失
- 在“聚焦平面”或“目标区域”取若干观测点 $\{(x_i,y_i)\}$ ，定义期望场分布 $u^\ast(x_i,y_i)$ （例如一个平面波聚焦的高斯分布或指定相位／幅度），构造数据匹配项： $\mathcal{L}_\text{target} = \frac{1}{N_t}\sum_{i=1}^{N_t}\bigl|\,u_\theta(x_i,y_i)-u^\ast(x_i,y_i)\bigr|^2.$
总损失函数
综合物理残差、边界残差与目标匹配，构建复合损失：

\mathcal{L}(\theta,\phi) =\underbrace{\frac{1}{N_r}\sum_{j=1}^{N_r}|\mathcal{R}(x_j,y_j)|^2}_{\displaystyle\mathcal{L}_\text{PDE}} + \underbrace{\frac{1}{N_b}\sum_{k=1}^{N_b}|\mathcal{B}(x_k,y_k)|^2}_{\displaystyle\mathcal{L}_\text{BC}} + \underbrace{\frac{1}{N_t}\sum_{i=1}^{N_t}|u_\theta(x_i,y_i)-u^\ast(x_i,y_i)|^2}_{\displaystyle\mathcal{L}_\text{target}}.

反向传播与梯度优化
- 通过自动微分同时对网络参数 $\theta$ （场）和 $\phi$ （介质）求梯度
  $\nabla_{\theta,\phi}\mathcal{L}$ ，并借助 Adam、L-BFGS 等优化器迭代更新。
- 在迭代过程中，网络不断“向物理与目标场妥协”，最终输出一组满足 Maxwell 方程且能在聚焦面产生所需场分布的介电常数分布 $\varepsilon_\phi(x,y)$ 。

二、通用优化流程

下面给出一个基于 PINN 的二维聚焦逆设计通用流程示意：

问题设定
- 确定工作频率 $\omega$ 、TM／TE 极化类型；
- 指定设计域几何（如二维矩形区域）及 PML／完美匹配层宽度；
- 定义目标平面／聚焦区域位置与期望场分布 $u^\ast$ 。
网络构建
- 场网络 $u_\theta(x,y)$ ：多层全连接或 SIREN（正弦激活）网络；
- 介质网络 $\varepsilon_\phi(x,y)$ ：可用同结构网络，也可直接令每个离散格点为可训练变量；
- 输入：归一化的 $(x,y)$ 坐标；输出：场值与介电常数。
采样点布局
- PDE 内部残差点：均匀或 Sobol 采样 $N_r$ 个；
- 边界点：在各边界／PML 区域采样 $N_b$ 个；
- 目标场点：在聚焦平面采样 $N_t$ 个。
损失构造
- 依据上一节所述，计算 $\mathcal{L}_\text{PDE},\;\mathcal{L}_\text{BC},\;\mathcal{L}_\text{target}$ ，
- 可视需要加权：
  $\mathcal{L}=\alpha\,\mathcal{L}_\text{PDE}+\beta\,\mathcal{L}_\text{BC}+\gamma\,\mathcal{L}_\text{target}$ 。
训练与迭代
- 初始化 $\theta,\phi$ （可随机或基于先验分布）；
- 选用优化器（如 Adam + L-BFGS 混合策略），设置学习率调度与动量；
- 每次迭代：
  1. 前向计算：根据 $(x,y)$ 点批量，评估 $u_\theta$ 、 $\varepsilon_\phi$ 及残差；
  2. 计算总损失 $\mathcal{L}$ ；
  3. 反向传播：自动微分求梯度；
  4. 更新 $\theta,\phi$ 。
收敛监控
- 通过监测 $\mathcal{L}_\text{PDE}$ 与 $\mathcal{L}_\text{target}$ 的下降曲线判断收敛；
- 若目标场误差未达指标，可适当增加采样点、调整权重或换用更深／更宽网络。
结果提取与后处理
- 训练结束后，从介质网络 $\varepsilon_\phi(x,y)$ 中提取连续分布，并在 CAD／SolidWorks 中拉伸成三维超表面；
- 对所得结构做全波仿真验证焦点位置、增益与旁瓣水平；
- 必要时回到第 5 步，针对仿真结果微调 PINN 损失权重或网络结构，进行迭代优化。

通过上述原理分析与流程，PINN 在电磁逆设计中既能保证物理一致性，又能借助深度网络的表达能力灵活优化复杂介质分布，特别适合二维聚焦、超表面等应用场景。

Answer 10

上图展示了基于PINN逆设计的七步流程总览，从“问题设定”到“结果提取与后处理”依次展开，每一步都可在实际实现中对应具体代码模块或实验环节。这样一来，整个优化过程一目了然，便于在科研或工程实现中对照执行。

Answer 11

下面是一段 MATLAB 脚本示例，利用 annotation 函数在图窗中绘制一个从“问题设定”到“结果提取与后处理”的 1×7 垂直流程图。各节点用带边框的文本框表示，节点间用箭头连接，位置和大小均为归一化坐标（相对于图窗）。

matlab
% —— MATLAB 流程图绘制脚本 —— 
figure('Color','w');
% 关闭坐标轴显示
axis off;

% 定义每个步骤文本与位置（[x y w h]）
steps = { ...
    '1. 问题设定',      [0.35, 0.90, 0.30, 0.05]; ...
    '2. 网络构建',      [0.35, 0.78, 0.30, 0.05]; ...
    '3. 采样点布局',    [0.35, 0.66, 0.30, 0.05]; ...
    '4. 损失构造',      [0.35, 0.54, 0.30, 0.05]; ...
    '5. 训练与迭代',    [0.35, 0.42, 0.30, 0.05]; ...
    '6. 收敛监控',      [0.35, 0.30, 0.30, 0.05]; ...
    '7. 结果提取与后处理',[0.35, 0.18, 0.30, 0.05]  ...
};

% 绘制每个步骤的文本框
for i = 1:size(steps,1)
    annotation('textbox', steps{i,2}, ...
        'String', steps{i,1}, ...
        'FitBoxToText','off', ...
        'HorizontalAlignment','center', ...
        'VerticalAlignment','middle', ...
        'EdgeColor','k', ...
        'LineWidth',1, ...
        'FontSize',10, ...
        'FontName','Microsoft YaHei', ...
        'BackgroundColor','w');
end

% 在每两个步骤之间画箭头
for i = 1:size(steps,1)-1
    pos1 = steps{i,2};
    pos2 = steps{i+1,2};
    % 箭头起点在上一个框底部中点，终点在下一个框顶部中点
    x = pos1(1) + pos1(3)/2;
    y1 = pos1(2) - 0.005;
    y2 = pos2(2) + pos2(4) + 0.005;
    annotation('arrow', [x x], [y1 y2], 'LineWidth',1);
end

% 添加标题
uicontrol('Style','text', ...
    'Units','normalized', ...
    'Position',[0.25, 0.94, 0.50, 0.04], ...
    'String','PINN 二维聚焦逆设计优化流程', ...
    'FontSize',12, ...
    'FontWeight','bold', ...
    'BackgroundColor','w', ...
    'FontName','Microsoft YaHei', ...
    'HorizontalAlignment','center');

说明：

归一化坐标：所有位置都以 [0,1] 区间内的相对坐标给出，保证在不同尺寸的图窗中布局一致。
中文支持：脚本中指定了 FontName='Microsoft YaHei'（或改为 SimHei），确保中文字符在导出矢量图时不发生乱码。

导出为矢量图：在绘制完成后，可用

matlab
exportgraphics(gcf, 'pinn_flowchart.pdf', 'ContentType','vector');

或者

matlab
print(gcf, 'pinn_flowchart.pdf', '-dpdf', '-painters', '-r300');

生成可缩放、无锯齿的流程图，直接插入论文。

Answer 12

在 PINN 逆设计问题中，由于损失函数同时包含 PDE 残差、边界条件残差和目标场匹配误差，优化过程既要保证物理一致性，又要快速收敛、避免陷入局部最优，因而实际上常用到以下几类算法：

算法 1：Adam（Adaptive Moment Estimation）

适用场景：大规模网络、噪声梯度、多目标损失的“预热”阶段
核心思路：对一阶梯度做一阶、二阶矩估计，动态自适应学习率

超参数

学习率 $\eta$ （常取 $10^{-3}\sim10^{-4}$ ）

一阶矩衰减率 $\beta_1$ （推荐 0.9）

二阶矩衰减率 $\beta_2$ （推荐 0.999）

数值稳定项 $\epsilon$ （推荐 $10^{-8}$ ）

text
输入：网络参数 θ_0, 初始一阶矩 m_0=0, 二阶矩 v_0=0
for t = 0,1,2,…,T-1:
    1. 随机或小批量采样 PDE 点、BC 点、目标场点
    2. 计算总损失 L(θ_t) 及其梯度 g_t = &nabla;_θ L(θ_t)
    3. 更新一阶、二阶矩：
         m_{t+1} = β1·m_t + (1−β1)·g_t
         v_{t+1} = β2·v_t + (1−β2)·(g_t⊙g_t)
    4. 纠偏：
         \(\hat m_{t+1} = m_{t+1}/(1−β1^{t+1}),\quad
            \hat v_{t+1} = v_{t+1}/(1−β2^{t+1})\)
    5. 参数更新：
         θ_{t+1} = θ_t − η·$\hat m_{t+1}/(\sqrt{\hat v_{t+1}}+ε)$
end for

算法 2：L-BFGS（Limited-Memory BFGS）

适用场景：网络规模中等、需要高精度收敛的“精炼”阶段
核心思路：利用过去若干次梯度和参数增量，近似构造 Hessian 的逆矩阵，实现二阶优化

text
输入：初始参数 θ_0；记忆深度 m；初始 Hessian 近似 H_0 = I  
for k = 0,1,2,…,K−1:
    1. 在全量或大批量点上计算梯度 g_k = &nabla;L(θ_k)
    2. 如果 ||g_k|| < tol，则停止
    3. 利用最近 m 次 {s_i=θ_{i+1}−θ_i, y_i=g_{i+1}−g_i} 计算 H_k·g_k
       （双循环算法，参见 Nocedal “L-BFGS 算法”）
    4. 确定步长 α_k（通常用线搜索满足 Wolfe 条件）
    5. 更新参数： θ_{k+1} = θ_k − α_k·H_k·g_k
end for

算法 3：Augmented Lagrangian（增广拉格朗日法）

适用场景：当介质分布有硬约束（如 $\varepsilon_{\min}\leε(x,y)\le\varepsilon_{\max}$ ）或希望严格满足 PDE 时
核心思路：将 PDE 约束和边界条件视为附加拉格朗日乘子项，并加入二次罚函数，通过交替更新网络参数 θ 与乘子 λ 来收敛

text
输入：初始 θ^0, 乘子 λ^0, 惩罚参数 ρ>0
for k = 0,1,2,…:
  1. 固定 λᵏ, 最小化增广拉格朗日对 θ:
       θ^{k+1} = arg min_θ { L_target + λᵏ⋅R(θ) + (ρ/2)∥R(θ)∥^2 }
     （可用 Adam 或 L-BFGS 在若干步内近似求解）
  2. 更新乘子：
       λ^{k+1} = λᵏ + ρ⋅R(θ^{k+1})
  3. 如果 ∥R(θ^{k+1})∥ < tol，则停止
end for

其中 $R(θ)$ 包含 PDE 残差和边界残差
步骤 1 内部常嵌套梯度优化

算法 4：混合训练流程（Two-Stage Training）

动机：Adam 在初期能快速下降，L-BFGS 在后期能精细收敛；二者结合可兼顾速度与精度。
流程：

Stage I（预热）
- 用 Adam 训练 $N_1$ 次迭代，快速降低大部分损失
- 动态衰减学习率或启用 Warmup + Cosine Annealing
Stage II（精炼）
- 以 Adam 最终参数为初始值，切换到 L-BFGS
- 精细优化至 PDE 残差与目标场误差共同收敛

text
输入：θ^0
Stage I (Adam):
  θ^{I} &larr; Adam(θ^0, η=1e−3, steps=N_1)

Stage II (L-BFGS):
  θ^* &larr; L-BFGS(θ^{I}, tol=1e−6)
输出：θ^*

实践建议

超参数搜索：先单独在小模型上调优学习率、动量、记忆深度 m，再放到大模型。
梯度归一化 / 裁剪：当 PDE 残差过大或多目标权重不均时，常用 gradient clipping 或者 loss weighting 动态平衡。
并行与混合精度：大规模 3D 问题下，可用 FP16+梯度累积或多 GPU 并行加速。
收敛判据：监测 $\mathcal{L}_\text{PDE} < 10^{-6}$ 且 $\mathcal{L}_\text{target} < 10^{-4}$ 时即可停止。

以上四类优化策略及其混合应用，构成了 PINN 逆设计中最常见也最有效的求解框架，能够在保证物理精度的同时实现高效、稳定的收敛。

Answer 13

总结与展望

一、工作总结
本文以“基于知识神经网络的电磁透射器件研究”为主题，围绕物理授息神经网络（PINN）与经验嵌入神经网络两大范式，系统探讨了三类典型电磁透射器件的智能化设计方法与实现效果。

首先，在第二章中提出并实现了基于PINN的透射超表面逆向设计流程。我们将二维平面上的波动方程及边界条件“授息”进神经网络损失函数，通过自动微分高效计算PDE残差，将平面波期望聚焦场作为目标匹配项。为解决连续介电常数分布难以加工的难题，创新性地引入二值化模块：在连续结构模型参数的基础上，借助可调节陡峭度的Sigmoid函数，使网络输出逼近指定的两种介电常数，实现可加工超表面结构。两个不同聚焦距离的案例及COMSOL正向仿真验证，充分证明了所提方法在设计灵活性、计算效率和制造可行性方面的优势。

在第三章中，我们将PINN技术拓展到高增益天线罩设计领域，提出了一种基于电磁互易原理的增益优化思路：不改变天线本体结构，而是在辐射路径上加载反向聚焦超表面介质罩，直接提升主瓣方向的平面波特性。针对30 GHz 漏波边射天线馈源，分别设计了对称式和离轴式两种高增益罩体，通过训练获得相对介电常数为2.8的三维结构。全波仿真结果表明，与裸天线相比，所提方案可分别获得2.44 dBi和1.87 dBi的增益提升，同时保持良好的旁瓣水平与工作频段稳定性，验证了PINN逆设计在毫米波天线领域的工程可行性。

第四章则聚焦于经验嵌入神经网络在滤波器设计中的应用。结合经典耦合矩阵综合方法与深度学习技术，针对3.75 GHz–4.25 GHz 通带滤波器，构建了以回波损耗为目标的多尺度数据集，并通过经验嵌入网络完成尺寸参数的快速预测。仿真与电路实验结果均显示，该方法在保持传统电磁理论准确性的同时，大幅提升了滤波器设计效率，减少了试错成本。

总体来看，本文工作体现了以下三点核心贡献：

理论与工程的紧密结合——将麦克斯韦方程、互易原理等先验知识显式嵌入神经网络架构，既保证了物理可解释性，又通过逆设计大幅降低了千层试错的计算负担；
可加工性与灵活性的统一——在超表面二值化与天线罩三维拉伸环节，引入连续结构参数和可调节函数，实现了设计结果从数学模型到可制造器件的无缝转化；
方法的普适性与扩展性——无论是超表面聚焦、天线增益提升，还是滤波器参数预测，知识神经网络范式均能提供高效、可靠的解决方案，证明了其在更大范围电磁器件设计中的推广价值。

二、未来展望
尽管本文在电磁透射器件智能化设计方面取得了重要进展，但面向更复杂、更高性能的应用场景，仍有若干关键问题与挑战亟待解决：

多目标、多频段及宽带性能优化
实际无线系统往往对器件的带宽、增益、旁瓣、回波损耗等多项性能同时提出苛刻要求。未来可在PINN损失函数中引入多目标加权机制，或采用多网络协同训练，实现跨频段、宽带级的超表面与天线罩设计。
三维全波PINN建模与实际制造误差
本文针对超表面聚焦问题采用二维截面简化，后续可将PINN扩展到三维全波场景，直接在三维设计域内优化介质分布。同时，需要将制造公差、材料非理想性等因素纳入约束或随机变量，以增强设计方案的鲁棒性和实用性。
自适应与在线重构能力
随着可重构超表面与智能天线的兴起，器件需根据环境、信道即时调整结构。可在PINN架构中融入强化学习或元学习机制，实现模型的在线微调与自适应重构，加快实战部署速度。
多物理场耦合与联合优化
在高功率、低温度敏感性或电-热双耦合场景下，需同时考虑功率耗散、热分布、机械变形等多物理效应。未来可构建多任务PINN，将电磁、热力、结构力学等方程联合纳入网络，实现跨学科的智能协同优化。
实验验证与系统集成
大规模部署需要在实验室与野外环境中进行更多实体样机的测量与调试。下一步将结合3D打印、毫米波测量系统，对PINN设计器件进行全面验证，并探讨其在5G/6G基站、卫星通信、雷达等系统级应用中的集成与产业化路径。
知识神经网络范式拓展
除了PINN与经验嵌入网络，还可以引入图神经网络（GNN）、物理引导变分自编码器（Physics-VAE）等深度生成模型，进一步提升设计空间的探索效率与多样性，加速电磁器件从概念到原型的迭代过程。

综上所述，知识神经网络在电磁透射器件设计领域展现了强大的理论价值和工程意义。在未来的研究中，通过多物理场耦合、多目标在线自适应以及三维全波建模等方向的深入拓展，必能推动电磁智能化设计技术迈向更高水平，为新一代无线通信、成像雷达及传感系统提供更加高效、可靠的核心器件解决方案。

Frage

Frage

Frage

Gedanke

Antwort

一、PINN（Physics-Informed Neural Network）网络优化原理

二、梯度优化算法原理

三、拉格朗日迭代算法（Augmented Lagrangian 与乘子法）

小结

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Antwort

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关键点说明

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Antwort

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Antwort

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Gedanke

Antwort

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Gedanke

Antwort

1. 批量梯度下降（Batch Gradient Descent）

2. 随机梯度下降（Stochastic Gradient Descent, SGD）

3. 小批量随机梯度下降（Mini‐Batch SGD）

4. 动量法（Momentum）与 Nesterov 加速梯度（NAG）

4.1 经典动量（Heavy‐Ball）

4.2 Nesterov 加速梯度

5. 自适应学习率方法

5.1 AdaGrad

5.2 RMSProp

5.3 Adam（Adaptive Moment Estimation）

6. 其他变种与改进

7. 学习率调度与冷启动

8. 算法选取与实践建议

Frage

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Antwort

一、物理授息神经网络（PINN）原理分析

二、通用优化流程

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Antwort

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Generating MATLAB flowchart

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Generating flowchart in MATLAB

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Gedanke

Antwort

算法 1：Adam（Adaptive Moment Estimation）

算法 2：L-BFGS（Limited-Memory BFGS）

算法 3：Augmented Lagrangian（增广拉格朗日法）

算法 4：混合训练流程（Two-Stage Training）

实践建议

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