peux tu resoudre ceci et m'expliquer comment le fa...

Voici une résolution pas-à-pas de chacun des cinq exercices du TD 3 « Premier principe » en nous appuyant explicitement sur les méthodes et rappels contenus dans les supports de cours CA 1, CA 2 et CM 3 que vous avez joints. J’emploie la convention « travail reçu par le gaz > 0 en compression » utilisée dans le poly CM 3.

---

1. Expressions différentielles de la chaleur

a) Détermination de l et h

Pour une transformation élémentaire réversible d’un corps pur monophase :

$$\delta Q=C_v\,\mathrm dT+l\,\mathrm dV=C_p\,\mathrm dT+h\,\mathrm dP\qquad\text{(CM 3, diapositive 7)}$$

On écrit la différentielle de T dans le repère (P,V) :

$$\mathrm dT=\Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{V}\!\mathrm dP+\Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial V}\Bigr)_{P}\!\mathrm dV.$$

• À P = cste $(\mathrm dP=0)$

  $$\delta Q=C_p\,\mathrm dT=C_v\,\mathrm dT+l\,\mathrm dV \Longrightarrow l=(C_p-C_v)\Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial V}\Bigr)_{P}.$$

• À V = cste $(\mathrm dV=0)$

  $$\delta Q=C_v\,\mathrm dT=C_p\,\mathrm dT+h\,\mathrm dP \Longrightarrow h=(C_p-C_v)\Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{V}.$$

b) Cas du gaz parfait

Équation d’état $PV=nRT$ (CA 2, diapo 21)

$$T(P,V)=\frac{PV}{nR}\quad\Longrightarrow\quad \Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial V}\Bigr)_{P}=\frac{P}{nR}=\frac{T}{V},\qquad \Bigl(\tfrac{\partial T}{\partial P}\Bigr)_{V}=\frac{V}{nR}=\frac{T}{P}.$$ $$\boxed{\,l=(C_p-C_v)\,\frac{T}{V}}, \qquad \boxed{\,h=(C_p-C_v)\,\frac{T}{P}}.$$

Le terme $C_p-C_v=nR$ est la relation de Mayer rappelée en CM 3 (diapo 7) .

c) Exactitude différentielle

En variables (T,V) pour un gaz parfait :

$$\delta Q=C_v\,\mathrm dT+\bigl(C_p-C_v\bigr)\frac{T}{V}\,\mathrm dV.$$

La condition d’exactitude $\frac{\partial}{\partial V}(C_v)=\frac{\partial}{\partial T}\bigl[(C_p-C_v)\,T/V\bigr]$ n’est pas satisfaite (le second membre dépend de V) ⇒ $\delta Q$ n’est pas une différentielle totale.
En revanche

$$\frac{\delta Q}{T}=C_v\frac{\mathrm dT}{T}+(C_p-C_v)\frac{\mathrm dV}{V}=dS,$$

ce qui est une différentielle exacte : on retrouve la définition de l’entropie d’un gaz parfait réversible (CM 3, rappel sur $dS$).

---

2. Travaux reçus par un gaz parfait dans un cylindre à piston horizontal

Données communes

• Piston de section S, masse M, effort extérieur ponctuel $F$ (orienté vers la gauche ⇢ compression).
• Parois diathermes ⇒ T_gaz suit la température de l’ambiance $T_a$.
• État initial à l’équilibre avec l’extérieur :

$$P_0=P_a,\quad T_0=T_a,\quad V_0=\frac{nRT_a}{P_a}. \qquad\text{}$$

---

2.1 Compression irréversible, effort constant

L’effort maintenu vaut $F$. Le piston voit alors une pression extérieure constante

$$P_\text{ext}=P_a+\frac{F}{S}.$$

La transformation s’arrête quand $P_1=P_\text{ext}$ et $T_1=T_a$ (les parois sont diathermes).

$$V_1=\frac{nRT_a}{P_1}.$$

Travail reçu par le gaz

Pour une évolution irréversible à pression extérieure constante :

$$W_{irr}=P_\text{ext}\,(V_0-V_1)\;>0 \qquad\text{(CM 3, diapo 5).}$$

Caractère irréversible

On a $P_\text{gaz}\neq P_\text{ext}$ sauf aux états initial et final ; il existe donc des gradients de pression finis ⇒ production d’entropie → irréversible (CA 2, diapo 17).

---

2.2 Atteindre le même état via une compression réversible isotherme

• Extérieur : $T=T_a$ constant, on fait varier $P_\text{ext}$ quasi-statistiquement pour garder $P_\text{int}=P_\text{ext}$.
• Pour un gaz parfait, l’isotherme relie directement $(P_0,V_0)$ à $(P_1,V_1)$.

$$W_{rev}=nRT_a\ln\!\frac{V_1}{V_0}=nRT_a\ln\!\frac{P_0}{P_1}. \quad\text{(CM 3, diapo 14)}$$

Effort à appliquer : $F(t)=S\,P_\text{gaz}(t)=S\,\frac{nRT_a}{V(t)}$ (varie durant la manœuvre).

---

2.3 Chaîne isobare $P_0$ puis isochore jusqu’à $(P_1,T_1)$

• Étape 1 : isobare à $P_0$ ⇒ compression (T monte), jusqu’à $V=V_1$. $$W_1=P_0\,(V_0-V_1).$$
• Étape 2 : isochore $V_1$ ⇒ chauffage à $T_1=T_a$ impossible si l’ambiance reste à $T_a$ (on ne peut pas réchauffer un gaz à la même température que le thermostat) ; la condition ne peut donc être tenue : la chaîne n’est pas faisable sans thermostat plus chaud.

Si l’on admettait un thermostat variable, l’effort serait nul en isochore ($dV=0$) ; le travail total serait donc $W_1$ seulement.

---

2.4 Comparaison des travaux

$$W_\text{irr}=P_\text{ext}(V_0-V_1),\qquad W_\text{rev}=nRT_a\ln\dfrac{V_1}{V_0}<W_\text{irr},\qquad W_{\text{iso}\;P_0}=P_0(V_0-V_1).$$

On retrouve le résultat général : à même variation d’état, $|W_{rev}|$ est le minimum absolu (inégalité de Clausius). La méthode à effort constant est plus « coûteuse » que la réversible.

---

3. Soulèvement d’un poids : thermo-mécanique vs mécanique pure

• Système 1 : poids + gaz dans un cylindre adiabatique (fig. 1).

  • Le poids monte de $z_1\to z_2$, le gaz se détend de $V_1\to V_2$.

  • Premier principe (CM 3, diapo 8) avec $Q=0$:

    $$\Delta U + Mg(z_2-z_1)= -W_{gaz},$$

    mais $W_{gaz} = \int_{V_1}^{V_2} P\,\mathrm dV$.
    Comme $\Delta U=C_v\bigl(T_2-T_1\bigr)$, on obtient

    $$W_1 = Mg(z_2-z_1)+C_v(T_2-T_1).$$

• Système 2 : même poids soulevé directement par une force mécanique (fig. 2) ⇒

$$W_2 = Mg(z_2 - z_1).$$

Donc $W_1=W_2+C_v\Delta T$. Soulever au moyen du gaz coûte davantage si le gaz se réchauffe (ΔT > 0) ; l’excédent vient de l’énergie interne puisée dans le fluide.

---

4. Piston vertical, hélium monoatomique (γ = 5/3)

4.1 Parois adiabatiques

• Compression lente (quasi-statique, adiabatique réversible)

  $$P_1=P_0+\frac{Mg}{S},\quad V_0=Sh_0,\; V_1=Sh_1.$$

  Laplace $P_0V_0^{\gamma}=P_1 V_1^{\gamma}$ (CM 3, diapo 15).

  $$h_1=h_0\Bigl(\frac{P_0}{P_1}\Bigr)^{1/\gamma},\qquad T_1=T_0\Bigl(\frac{P_1}{P_0}\Bigr)^{(\gamma-1)/\gamma}.$$

• Chute brusque (adiabatique irréversible)
  Le même $P_1$ donne l’équilibre mécanique final, mais l’énergie potentielle du piston $Mg(h_0-h'_1)$ se dissipe en chaleur interne du gaz ; on conserve l’enthalpie totale :

  $$C_v(T'_1-T_0)=Mg(h_0-h'_1).$$

  Avec $P_1 V'_1 = nRT'_1$ et $V'_1=Sh'_1$, on résout le système et l’on trouve $T'_1>T_1$ et $h'_1<h_1$.

4.2 Fond diatherme à $T_0$

• Compression lente (équilibre isotherme $T=T_0$)

  $$P_1^{\star}=P_0+\frac{Mg}{S},\quad h_2 = h_0\frac{P_0}{P_1^{\star}},\qquad Q = -W = -P_1^{\star}\bigl(V_2-V_0\bigr)<0,$$

  (la chaleur sort du gaz vers le thermostat).

• Chute brusque puis relaxation thermique
  À long terme, le gaz revient à $T_0$ mais garde $P_1^{\star}$, donc la hauteur finale est de nouveau $h_2$. La chaleur $Q'$ transférée égale l’énergie dissipée dans la chute :

  $$Q' = Mg(h_0-h_2).$$

---

5. Paroi diatherme mobile entre deux gaz parfaits, même n

5.1 Premier principe appliqué aux deux compartiments

Système global fermé, parois adiabatiques ⇒ $Q_{tot}=0,\; W_{tot}=0$ (support CA 1, méthode pas-à-pas, diapo 28).
Donc $\Delta U_1+\Delta U_2=0$.

$$nC_v(T_3-T_1)+nC_v(T_3-T_2)=0 \Longrightarrow \boxed{T_3=\dfrac{T_1+T_2}{2}}.$$

5.2 Pression d’équilibre et nature de la transformation

La paroi s’arrête quand $P_3$ est commun aux deux côtés et $T=T_3$. Volume total constant $V_1+V_2$.

$$P_3=\frac{nRT_3}{V_1'}=\frac{nRT_3}{V_2'}\quad\Longrightarrow\quad \frac{V_1'}{V_2'}=\frac{T_3}{T_3}=1.$$

La paroi se place au milieu : $V_1'=V_2'=\tfrac12(V_1+V_2)$. Transformation : irréversible avec échanges de chaleur et de travail internes.

5.3 Bilans énergétiques individuels

$$\begin{aligned} W_1 &= P_3\,(V_1'-V_1), & Q_1 &= nC_p\,(T_3-T_1)-W_1,\\ W_2 &= P_3\,(V_2'-V_2), & Q_2 &= nC_p\,(T_3-T_2)-W_2. \end{aligned}$$

En remplaçant $V_1',V_2'$ et $T_3$ ci-dessus on obtient les expressions demandées en fonction de $n,R,C_p,T_1,T_2$.

---

Méthode employée

À chaque question, j’ai suivi la démarche « en 7 étapes » proposée dans le support CA 1 (diapo 28) :

1. lecture du problème, 2. schéma, 3. hypothèses (gaz parfait, parois adiabatiques/diathermes, quasi-statique ou non), 4. application du 1ᵉʳ principe (CM 3), 5. équation d’état (CA 2), 6. calculs, 7. vérification des unités et du bon sens physique (ex. $T'_1>T_1$ car dissipation).

N’hésitez pas si vous souhaitez le détail mathématique complet d’une étape particulière !

Panorama général des “méthodes” mobilisées

Étape	Outil / document de référence	Idée clé	Où elle est appliquée dans les exercices
1. Définir le système et rédiger les hypothèses	Grille « 7 étapes » (CA 1, diapo 28)	Clarifier : système fermé / frontière adiabatique ou diatherme, piston sans frottement, etc.	Début de chaque exercice : choix du gaz seul, du gas + piston, ou des 2 compartiments.
2. Choisir la bonne forme du 1ᵉʳ principe	CM 3, diapo 8–9 (bilan ΔU + ΔEₘ = W + Q)	Liaison énergie interne / travail / chaleur; prise en compte éventuelle d’Eₚ = mgz.	Ex. 3 (poids + gaz), Ex. 4 (piston vertical).
3. Identifier le type de transformation	CA 2, diapo 17–18 (isobare, isochore, isotherme, adiabatique, réversible vs irréversible)	Permet d’associer directement la bonne paire d’équations (U, H, S) et les lois de Laplace ou de Gay-Lussac.	Ex. 2 (compression constante P_ext), Ex. 4 (adiabatique vs isotherme).
4. Évaluer le travail	CM 3, diapo 5 (δW = −P_ext dV irrév.; δW = −P dV rév.)	Intégration de la pression extérieure (irrév.) ou interne (rév.) sur la variation de volume.	Ex. 2c, Ex. 2 – 3b, Ex. 4.
5. Évaluer la chaleur	CM 3, diapo 7 (δQ = C_v dT + l dV etc.)	Choix de l’expression (T,V) ou (T,P) selon les variables indépendantes; utilisation de C_p, C_v, l, h.	Ex. 1 (détermination de l & h) et calculs Q dans Ex. 4, 5.
6. Faire le lien d’état	Équation des gaz parfaits P V = n R T (CA 2, diapo 21)	Convertir P⇔T⇔V, vérifier l’équilibre final, déterminer Cp–Cv = nR (Mayer).	Ex. 1b, Ex. 2–5 (toutes les évaluations d’état final).
7. Boucler : vérifications	“Homogénéité des unités, sens physique” (étape 7 du tableau CA 1)	Signes (+ compression, − détente), cohérence T > 0, ΔS≥0 si irréversible.	Commentaires finaux dans chaque question.

---

Illustration détaillée, exercice par exercice

Exercice 1 : coefficients calorimétriques

1. Repère : prendre δQ dans les deux écritures de la diapo 7 CM 3.
2. Cas P = cste : on pose dP = 0 et on identifie l, exactement comme proposé dans les “coefficients calorimétriques” (CM 3).
3. Cas V = cste : même logique pour h.
4. Gaz parfait : on remplace ∂T/∂V|P et ∂T/∂P|V à l’aide de P V = nRT (CA 2).
5. Exactitude différentielle : on applique la condition de Schwarz (∂/∂V)(…) – (∂/∂T)(…) ≠ 0 → δQ non-exact, tandis que δQ/T est exact => définition différentielle de dS (CM 3).

Exercice 2 : travaux de compression

• Système : gaz seul (piston = frontière mobile).
• Transformation 2a (irrév.) : P_ext constant ⇒ intégration directe W = P_ext (V_0−V_1).
• Transformation 3b (rév. isotherme) : P = nRT/V, donc W = ∫P dV = nRT ln(V_1/V_0).
• Comparaison : on applique l’inégalité de Clausius (|W|_rev minimum).

Exercice 3 : poids soulevé

• Système 1 : {gaz+piston+masse}. 1ᵉʳ principe complet avec ΔU + Mg Δz = −W_gaz.
• Système 2 : masse seule → c’est le théorème de l’énergie mécanique (CM 3).
• On fait bien apparaître l’énergie interne C_v ΔT dans W_1, ce qui explicite le “coût” thermo-mécanique.

Exercice 4 : piston vertical

• Quasi-statique adiabatique : on reconnaît une Laplace (T V^{γ−1}=cste). Travail = ΔU (Q=0).
• Chute brusque : on abandonne la condition de réversibilité → bilan global pour retrouver T′_1 via conservation énergie + dissipation.
• Cas fond diatherme : on impose T=T_0 (isotherme) donc W = −Q et on détermine la chaleur transférée.

Exercice 5 : cloison diatherme mobile

• Système global fermé, parois adiabatiques → Q_tot=0, W_tot=0. Premier principe ⇒ ΔU_1+ΔU_2=0 ⇒ T_3 = (T_1+T_2)/2.
• Pression finale : même P des deux côtés + volumes complémentaires.
• Chaque compartiment : on applique ΔU = nC_v ΔT et H = U+P V pour décomposer Q et W individuellement.

---

Résumé pratique à garder à l’esprit

1. Toujours commencer par le “7-points check-list” (CA 1).
2. Identifier si la transformation est réversible / irréversible → choisir l’intégrale de travail appropriée (CM 3).
3. Savoir quelle variable est constante → utiliser la capacité calorifique ou la loi de Laplace correspondante.
4. Réserver le premier principe pour fermer le système d’équations une fois W ou Q calculé.
5. Terminer par une vérification physique : signes, unités, ordre de grandeur, entropie.

Avec ces briques (et les formules‐clés repérées dans les trois supports), vous pouvez reconstituer pas à pas toutes les résolutions présentées plus haut.